Nullpunkter og ekstremalpunkter

 

Nullpunkter

En funksjons nullpunkter er eventuelle punkter der funksjonsverdien er $0$. Grafisk sett er dette de punktene der grafen skjærer x-aksen.

Eksempel 1:

Under vises grafen til funksjonene $f(x) = x^2 + x – 2$ med blått og $g(x) = x^2 + x + 2$ med grønt. Vi ser at den blå grafen skjærer x-aksen i $-2$ og $1$, så $(-2, 0)$ og $(1, 0)$ er nullpunktene til $f(x)$. Den grønne grafen skjærer ikke x-aksen, så $g(x)$ har ingen nullpunkter.

 

Grafer til funksjoner med og uten nullpunkter

 

Nullpunktene til en funksjon, $f(x)$, finner vi ved å løse den tilhørende likningen $f(x) = 0$. For en andregradsfunksjon er det lett, for andre funksjoner kan det være vanskelig. Men hvis vi vet at en kontinuerlig funksjon har både positive og negative verdier, kan vi ved hjelp av skjæringssetningen slå fast at den i det minste har ett nullpunkt.

$\fbox{$ \text{Skjæringssetningen: } \\
\text{Hvis } f \text{ er kontinuerlig på } [a, b] \text{, og } K \text{ er et tall mellom } f(a) \text{ og } f(b) \text{,} \\
\text{så finnes en } c \in [a, b] \text{, slik at } f(c) = K$}$

Med andre ord vil en funksjon, $f$, som er kontinuerlig i et intervall $[a, b]$, anta alle mulige verdier mellom $f(a)$ og $f(b)$. Dersom $f(a)$ og $f(b)$ har forskjellig fortegn, innbefatter dette verdien $0$.

Eksempel 2:

Grafen under viser funksjonen $f(x) = x^3 + 2x^2 – 2x + 1$ definert på intervallet $[-3, 1]$.

Graf til funksjon med ett nullpunkt

Siden funksjonen er kontinuerlig, sier skjæringssetningen at funksjonen kan anta alle mulige verdier mellom $f(-3) = -2$ og $f(1) = 2$, det vil si intervallet $[-2, 2]$. Siden $0$ ligger i dette intervallet, betyr det at funksjonen har minst ett nullpunkt.

En polynomfunksjon av odde grad, det vil si en førstegradsfunksjon, tredjegradsfunksjon, femtegradsfunksjon, osv. er kontinuerlig på hele $\mathbb{R}$. Siden funksjonsverdien går mot minus uendelig når $x$ går mot minus uendelig og mot pluss uendelig når $x$ går mot pluss uendelig, betyr det at funksjonen kan anta alle mulige verdier, deriblant $0$. En polynomfunksjon av odde grad har derfor alltid minst ett nullpunkt. Det betyr at den tilhørende likningen har minst én løsning.

Eksempel 3:

Vi skal avgjøre om fjerdegradsfunksjonen $f(x) = 3x^4 + 8x^3 – 6x^2 – 24x + 6$ har nullpunkter, når vi vet at den har et minimumspunkt i $f(1) = -13$.

Vi vet at funksjonsverdien til en polynomfunksjon går mot uendelig når $x$ går mot uendelig. Funksjonen $f(x)$ vil derfor kunne anta alle mulige verdier i et intervall fra $-13$ til uendelig. Siden $0$ ligger i dette intervallet garanterer skjæringssetningen at $f(x)$ har minst ett nullpunkt. Det betyr at likningen $f(x) = 0$ har minst én løsning.

Oppgave 1:

Vis at likningen $x^5 + x^4 + x^3 + x – 1 = 0$ har en løsning i intervallet $[-1, 1]$.

ScreencastSe film med løsningsforslag
 

Ekstremalpunkter

En funksjon har et globalt maksimumspunkt der funksjonsverdien er høyest, og et globalt minimumspunkt der funksjonsverdien er lavest. Mer formelt sier vi at:

$\fbox{$ \text{En funksjon, } f \text{, har et } \\
\text{globalt maksimumspunkt for } x = a \text{ hvis } f(x) \le f(a) \text{ for alle } x \text{ i definisjonsmengden } \\
\text{globalt minimumspunkt for } x = a \text{ hvis } f(x) \ge f(a) \text{ for alle } x \text{ i definisjonsmengden}$}$

Andre ord for maksimumspunkt er maksimalpunkt eller toppunkt. Andre ord for minimumspunkt er minimalpunkt eller bunnpunkt.

Maksimumspunkter og minimumspunkter kalles med et fellesnavn ekstremalpunkter. Av og til kalles globale ekstremalpunkter for absolutte ekstremalpunkter.

En funksjon som er definert for hele $\mathbb{R}$, trenger ikke ha noen globale maksimums- eller minimumspunkter. For eksempel strekker $f(x) = x^3$ seg fra minus uendelig til pluss uendelig, funksjonen har ingen største eller minste verdi. For en funksjon som er definert på et lukket intervall, $[a, b]$, garanterer imidlertid ekstremalverditeoremet at funksjonen alltid vil ha minst ett globalt maksimumspunkt og minst ett globalt minimumspunkt. Dette er intuitivt riktig. Minst ett sted må være øverst og minst ett sted må være nederst på en graf som ikke går mot uendelig.

Ekstremalverdier kan også være lokale. Det vil si at en funksjon har et maksimums- eller minimumspunkt en plass, men kan ha et punkt med større eller mindre verdi en annen plass. Mer formelt sier vi at:

$\fbox{$ \text{En funksjon, } f \text{, har et } \\
\text{lokalt maksimumspunkt for } x = a \text{ hvis } f(x) \le f(a) \text{ for en omegn } U \text{ om } a\\
\text{lokalt minimumspunkt for } x = a \text{ hvis } f(x) \ge f(a)  \text{ for en omegn } U \text{ om } a$}$

Alle globale ekstremalpunkter er også lokale.

Eksempel 4:

Grafen under viser funksjonen $f(x) = x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 5x – 1$.

Illustrasjon av ekstremalverdier

Her ser vi at $A$ er et globalt minimumspunkt for $f(x)$, fordi dette er grafens laveste punkt. $C$ er også et minimumspunkt, men det er kun lokalt fordi $C$ bare er laveste punkt i en viss omegn. $B$ er et maksimumspunkt for $f(x)$, men det er kun lokalt fordi $B$ bare er høyeste punkt i en viss omegn. Funksjonen har ingen globale maksimumspunkter fordi funksjonsverdien vokser mot uendelig.

Eksempel 5:

Grafen under viser samme funksjon som eksempel 4, men med definisjonsområdet begrenset til $[-4,1]$.

Illustrasjon av ekstremalverdier

Grafen har nå fått to endepunkter, $D$ og $E$. Endepunktene vil alltid utgjøre maksimums- eller minimumspunkter. I eksemplet over er begge maksimumspunkter. $D$ er lokalt fordi punktet bare ligger øverst i en viss omkrets, mens $E$ er globalt fordi punktet ligger øverst i hele definisjonsområdet.

Oppgave 2:

Studer grafen under og klassifiser ekstremalpunktene $A$, $B$, $C$ og $D$.

Illustrasjon av ekstremalverdier

ScreencastSe film med løsningsforslag
 

For å finne ekstremalpunktene til en vilkårlig funksjon brukes derivasjon, som behandles i en serie artikler på dette nettstedet.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia