Om differensiallikninger

Differensiallikninger er likninger som inneholder funksjoner og en eller flere av funksjonenes deriverte. Løsningen til en differensiallikning er også en funksjon. Det er vanlig å kalle denne funksjonen $y(x)$, og de deriverte blir $y'(x)$$y''(x)$ og så videre. For enkelhets skyld skriver vi imidlertid ofte bare $y$$y'$$y''$ og så videre, det er underforstått at $y$ er en funksjon av $x$.

Eksempel 1:

Likningen $y'+2y-6x=0$ er en differensiallikning.

Likningens løsning er $y = 3x – {\large \frac{3}{2}} + Ce^{-2x}$, der $C$ er en vilkårlig konstant. Det finnes altså uendelig mange løsninger til likningen, avhengig av verdien til $C$.

Differensiallikninger kan ha forskjellig orden, der ordenen er den høyeste ordenen til den deriverte til $y$. Inneholder likningen bare første ordens deriverte, altså $y'$, er den av første orden, inneholder den andre ordens deriverte, altså $y''$ er den av andre orden, og så videre. Likningen i eksempel 1 er av første orden.

Det finnes ingen generell metode til å løse alle differensiallikninger. Det finnes imidlertid en del undergrupper som kan løses ved forskjellige metoder. På dette nettstedet ser vi på to slike grupper: Første ordens separable, og første ordens lineære differensiallikninger.

Differensiallikninger som ikke kan løses, kan vi finne tilnærmede løsninger til ved å bruke numeriske metoder på en datamaskin.

Differensiallikninger er helt nødvendige for å kunne beskrive mange fenomener i naturen, for eksempel temperaturen til et objekt som avkjøles og halveringstid for radioaktive materialer. I økonomifaget trenger vi for eksempel differensiallikninger for å kunne beregne beløp på en konto med kontinuerlig forrentning.

På dette nettstedet arbeider vi bare med første ordens differensiallikninger. Hvis vi i andre artikler bare sier "differensiallikning", er det underforstått at den er av første orden.

Oppgave 1:

I eksempel 1 har vi en differensiallikning og løsningen til likningen. Sett prøve på løsningen, det vil si, sett $y = 3x – {\large \frac{3}{2}} +Ce^{-2x}$ inn i likningen og vis at venstre side stemmer med høyre side.

Se løsningsforslag