Polarkoordinater

I funksjons-artikkelen om representasjonsformer diskuterte vi det rettvinklede, kartesiske koordinatsystemet som er det vi bruker til vanlig. 

I en del sammenhenger kan det imidlertid være praktisk å bruke et annet koordinatsystem, polarkoordinater. I stedet for å angi et punkts x– og y-koordinater angir vi da punktets avstand fra origo, og vinkelen linja fra origo danner med x-aksen. Det er vanlig å bruke bokstavene $r$ og $\theta$ (gresk theta) til dette. Dette er illustrert i bildet under, for punktet, $A$, med kartesiske koordinater $(4, 3)$:

Illustrasjon av polarkoordinater

Vi ser at $r$ utgjør hypotenusen og $x$ og $y$ katetene i en rettvinklet trekant. Videre er $x$ motstående og $y$ hosliggende katet til vinkelen $\theta$. Ved hjelp av de trigonometriske likningene for rettvinklede trekanter som vi lærte i artikkelen om trigonometri, og Pytagoras, ser vi at det er følgende sammenheng mellom kartesiske koordinater og polarkoordinater:

$\fbox{$x = r \cdot \cos \theta$}$

$\fbox{$y = r \cdot \sin \theta$}$

$\fbox{$r = \sqrt{x^2 + y^2}$}$

$\fbox{$\theta = \tan^{-1}\large \frac{y}{x}$}$

Oppgave 1:

Angi punktet  med kartesiske koordinater $(4,3)$ i polarkoordinater.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Angi punktet med polarkoordinater $(2, 60^\circ)$ i kartesiske koordinater. Bruk eksakte verdier for sinus og cosinus. (Se artikkelen om trigonometri).

Se løsningsforslag

For å ikke gjøre det for innviklet har vi brukt grader som vinkelmål. Imidlertid brukes nesten alltid radianer når vi regner med polarkoordinater.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia