Polynomdivisjon

På barneskolen lærer vi å utføre divisjon av tall med flere sifre.

Et eksempel er vist under. Her skal $372$ deles på $31$.

Divisjon av tall, trinn 1

Da spør vi hva vi får når vi dividerer første siffer i dividenden med første siffer i divisor. Jo, $3 : 3 = 1$. Så multipliserer vi divisor med ett-tallet og stiller resultatet under dividenden. Her får vi $1 \cdot 31 = 31$. Deretter subtraherer vi dette tallet fra dividenden.

 Divisjon av tall, trinn 2

Så flytter vi ned de resterende sifrene fra dividenden, og vi har fått en ny dividend.

Divisjon av tall, trinn 3

Så spør vi igjen hva vi får når vi dividerer første siffer i dividenden med første siffer i divisor. Jo, $6 : 3 = 2$. Vi multipliserer divisor med to-tallet og stiller resultatet under dividenden. Her får vi $2 \cdot 31 = 62$. Deretter subtraherer vi dette tallet fra dividenden.

Divisjon av tall, trinn 4

Her står vi igjen med $0$, noe som betyr at $372 : 31 = 12$. Hvis vi står igjen med noe annet enn $0$ til slutt, går ikke divisjonen opp, og vi får en rest.

På samme måte kan vi dividere polynomer. Metoden forutsetter at polynomet er ordnet etter synkende potenser.

Eksempel 1:

Vi skal bruke polynomdivisjon til å beregne $(-x^3 + 4x^2 – x – 6) : (x – 2)$:

Divisjon av polynomer, trinn 1

Når vi dividerer første ledd i dividenden med første ledd i divisor, får vi $-x^3 : x = -x^2$. Vi multipliserer så divisor med $-x^2$ og får $-x^2 \cdot (x – 2) = -x^3 + 2x^2$. Så stiller vi resultatet under dividenden og subtraherer.

Divisjon av polynomer, trinn 2

Så flytter vi ned de resterende leddene fra dividenden, og får en ny dividend.

Divisjon av polynomer, trinn 3

Så dividerer vi igjen første ledd i dividenden med første ledd i divisor, og får $2x^2 : x = 2x$. Vi multipliserer så divisor med $2x$ og får $2x \cdot (x – 2) = 2x^2 – 4x$. Så stiller vi resultatet under dividenden, subtraherer, flytter de resterende leddene ned og får en ny dividend.

Divisjon av polynomer, trinn 4

Så gjentar vi operasjonen enda en gang. $3x : x = 3$. Vi multipliserer divisor med $3$ og får $3x – 6$. Setter under dividenden og subtraherer. Resultatet blir $0$. Divisjonen går altså opp.

Divisjon av polynomer, trinn 5

Oppgave 1:

Utfør polynomdivisjonen $(x^3 – 1) : ( x – 1)$.

ScreencastSe film der  løsningen vises
 

Det er naturligvis ikke alltid divisjonen går opp. Da får vi en rest. $(x^4 + 3x^2 – 4) : (x^2 + 2x)$ blir for eksempel
$x^2 – 2x + 7$ med rest $-14x – 4$. Det vil si at

$\frac{\displaystyle x^4 + 3x^2 – 4}{\displaystyle x^2 + 2x} = x^2 – 2x + 7 – \frac{\displaystyle 14x + 4}{\displaystyle x^2 + 2x}$.

Oppgave 2:

Utfør polynomdivisjonen nevnt over, altså $(x^4 + 3x^2 – 4) : (x^2 + 2x)$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Kilder:

  • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
  • Wikipedia