Polynomfunksjoner

Alle funksjonene vi møtte i artikkelen om funksjonsbegrepet var polynomfunksjoner. Polynomfunksjoner er enkle, og derfor gjerne det vi starter med når vi skal lære om funksjoner. Polynomfunksjoner inneholder bare summer, differanser og produkter av konstanter og ikke-negative, heltallige potenser av den ukjente, $x$. Den høyeste potensen av $x$ angir funksjonens grad, slik vi skal se.

Konstantfunksjoner

Den enkleste polynomfunksjonen er på formen $f(x) = a$, der $a$ er en konstant, et vilkårlig tall. Grafen til denne funksjonen er ei rett linje, parallell med x-aksen, som skjærer y-aksen i $a$. For eksempel $f(x) = 3$, som vist under:

Graf til funksjonen f(x) = 3

En konstantfunksjon kan kalles en polynomfunksjon av grad $0$.

Førstegradsfunksjoner (Lineære funksjoner)

Den nest enkleste polynomfunksjonen er på formen $f(x) = ax + b$, der $a$ og $b$ er konstanter, $a \ne 0$. Dette kalles en førstegrads polynomfunksjon fordi høyeste potens av $x$ er $1$. Førstegrads polynomfunksjoner kalles også gjerne lineære funksjoner. Grafene til lineære funksjoner er rette linjer. Konstanten $a$ angir hvor kjapt funksjonsverdien stiger, og kalles funksjonens stigningstall. Konstanten $b$ angir hvor linja skjærer y-aksen.

Eksempel 1:

Grafene til $f(x) = 2x$, $f(x) = \frac{1}{2}x$ og $f(x) = -x$ er vist under, med henholdsvis rødt, grønt og blått. Den røde linja har stigningstall $2$y-verdien øker med $2$ for hver gang x-verdien øker med $1$. Den grønne linja har stigningstall $\frac{1}{2}$, y-verdien øker med $\frac{1}{2}$ for hver gang x-verdien øker med $1$. Den blå linja har stigningstall $-1$y-verdien avtar med $1$ for hver gang x-verdien øker med $1$.

Grafene til f(x) = 2x, f(x) = 1/2x og f(x) = -x

 

Eksempel 2:

Grafene til $f(x) = 2x$, $f(x) = 2x + 3$ og $f(x) = 2x – 3$ er vist under med henholdsvis rødt, grønt og blått. Vi ser at alle har stigningstall $2$, men linjene skjærer y-aksen i henholdsvis $0$, $3$ og $-3$, tilsvarende konstanten $b$.

Grafene til f(x) = 2x, f(x) = 2x+3 og f(x) = 2x-3

 

For å tegne grafen til en lineær funksjon, trenger vi bare to punkter. En vanlig feil blant elever og studenter er at de beregner en mengde punkter og så skisserer grafen etter dem. På grunn av unøyaktighet blir resultatet gjerne en bølget linje. Men grafen til en lineær funksjon er alltid snorrett.

Ett av punktene som trengs har vi allerede, nemlig skjæringspunktet med y-aksen: $(0, b)$. Det andre finnes også lett ved å sette inn en annen verdi av $x$ som er enkel å regne med, for eksempel $1$.

Oppgave 1:

Skisser grafen til $f(x) = 2x + 1$.

Se løsningsforslag

Andregradsfunksjoner

Bygger vi ut en førstegradsfunksjon med et ledd med $x^2$, får vi en andregradsfunksjon, generelt angitt som $f(x)= ax^2 + bx + c$. I denne inngår tre konstanter, $a$, $b$ og $c$, $a \ne 0$. Grafen til andregradsfunksjoner er ikke en rett linje, men en parabel. Stigningstallet er ikke konstant, men varierer med x-verdien.

Eksempel 3:

Figuren under viser grafen til andregradsfunksjonen $f(x)= 2x^2 – x – 3$. Her er altså $a = 2$, $b = -1$ og $c = -3$.

grafen til funksjonen f(x)=2x^2 -x -3

Eksempler på fenomener som beskrives av andregradsfunksjoner er:

  • Overflaten til geometriske figurer. For eksempel er flateinnholdet av et kvadrat gitt som en funksjon av sidelengden $l$, ved $f(l) = l^2$.
     
  • Et objekts kinetiske energi øker med kvadratet av farten. Det betyr for eksempel at en bils bremselengde også øker med kvadratet av farten. Vi kan beskrive det med en funksjon som $f(v) = kv^2$, der $k$ er en konstant og $v$ er farten. (Det er vanlig å bruke $v$ – velocity som symbol for fart.)
     
  • En ball som kastes oppover med en hastighet på $15$ meter per sekund fra en høyde på $2$ meter, vil på et gitt tidspunkt ha høyde gitt ved omlag $f(t) = -5t^2 + 15t + 2$ meter, der $t$ er tiden i sekunder. Generelt, hvis den kastes med $b$ meter per sekund fra høyde $c$ meter, vil høyden være gitt ved omlag $f(t) = -5t^2 + bt + c$ meter.
    Konstanten $5$ er egentlig en tilnærming til $\large \frac{g}{2}$, der $g$ er tyngdens akselerasjon, ca. $9{,}8 \; ms^{-2}$.

I avsnittet om førstegradsfunksjoner så vi hva konstantene $a$ og $b$ betydde for grafen. For grafen til en andregradsfunksjon betyr $a$, $b$ og $c$ at:

  • Grafen blir krappere jo høyere $a$ blir.
     
  • Når $a > 0$ vender grafen sin hule side opp, når $a < 0$ vender grafen sin hule side ned. Huskeregel: Grafen smiler når $a$ er positiv.
     
  • Når $b$ endres, skyves grafen langs en kurve sidelengs uten at formen endres.
     
  • Når $c$ endres, skyves grafen rett opp og ned uten at formen endres. $c$ er skjæringspunktet med y-aksen.
     
  • Når grafen skjærer x-aksen, skjer det med x-verdier som er løsningene til likningen $f(x) = 0$, altså
    $x_1 = \frac{\displaystyle -b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{\displaystyle 2a}$
    slik det er beskrevet i algebra-artikkelen om andregradslikninger.
     
  • Grafen er symmetrisk, det vil si at et maksimumspunkt (toppunkt) eller minimumspunkt (bunnpunkt) vil ligge midt mellom skjæringspunktene med x-aksen. Vi kan finne x-verdien til dette punktet ved å beregne gjennomsnittsverdien til skjæringspunktene:
    $\frac{\displaystyle x_1 + x_2 }{\displaystyle 2} = -\frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2a}$

Basert på disse opplysningene kan vi lage en skisse av grafen.

Oppgave 2:

Skisser grafen til $f(x) = x^2 + 2x – 3$.

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

Gitt andregradsfunksjonen $f(x) = x^2 – 2x – 3$. Analyser funksjonen og svar på følgende spørsmål:

  1. Vender grafen sin hule side opp eller ned?
     
  2. Hva er grafens skjæringspunkt med y-aksen?
     
  3. Hva er grafens skjæringspunkter med x-aksen?
     
  4. Hva er grafens maksimums/minimums-punkt?

Se løsningsforslag

Polynomfunksjoner generelt

Vi kan bygge videre på andregradsfunksjonen ved å legge til et tredjegradsledd, $x^3$, et fjerdegradsledd, $x^4$, og så videre. Hvert ledd multipliserer vi med en konstant. I andregradsfunksjonen brukte vi $a$, $b$ og $c$ som navn på konstantene. I tredjegradsfunksjonen legger vi til en konstant, $d$, og får uttrykket $f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d$. Slik kan vi fortsette, men tar vi med mange nok potenser av $x$, vil vi slippe opp for bokstaver. Vi kaller derfor i stedet konstantene $a_0$, $a_1$ og så videre opp til $a_n$. Det generelle uttrykket for det vi kaller en polynomfunksjon blir da

$f(x) = a_nx^n + a_{n – 1}x^{n – 1} + \cdots + a_1x + a_0$

$n$ er et naturlig tall, og angir polynomfunksjonens grad. Konstantene i uttrykket, altså $a_n, a_{n – 1}, \cdots, a_0$ kalles gjerne koeffisienter. Bortsett fra den første koeffisienten, $a_n$, kan hvilken som helst av koeffisientene være $0$.

Eksempel 4:

$f(x) = x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 5x – 1$ er en polynomfunksjon av fjerde grad.
Koeffisientene er henholdsvis $1$, $6$, $7$, $-5$ og $-1$.

Grafen til denne polynomfunksjonen er vist under.

 

Grafen til funksjonen f(x) = x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 5x -1

Eksempel 5:

$f(x) = -x^5 + 3x^2 – 2$ er en polynomfunksjon av femte grad.

Koeffisientene er henholdsvis $-1$, $0$, $0$, $3$, $0$ og $-2$.

Definisjonsområdet til en polynomfunksjon er alle reelle tall, $D_f = \mathbb{R}$. Verdiområdet vil variere fra funksjon til funksjon. For polynomfunksjoner av odde grad vil det være hele $\mathbb{R}$. For polynomfunksjoner av like grad vil det være $[ y_{min}, \infty \rangle$ hvis $a_n > 0$ og $\langle -\infty, y_{maks} ]$ hvis $a_n < 0$, der $y_{min}$ og $y_{maks}$ er y-verdien til funksjonens minimums/maksimums-punkt.

Kilder

  • Finney, T. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison Wesley.
  • Wikipedia