Potensfunksjoner

En funksjon på formen $f(x) = ax^b$, der $a$ og $b$ er vilkårlige konstanter, kalles en potensfunksjon.

Eksempel 1:

Under vises grafene til fire potensfunksjoner med positive eksponenter.  $f(x) = x^{\large \frac{1}{4}}$ i rødt, $f(x) = x^{\large \frac{1}{2}}$ i blått, $f(x) = x^2$ i grønt, $f(x) = x^4$ i oransje. Vi ser at alle grafene stiger mot høyre. Den røde og blå grafen, der $0 < b < 1$ stiger langsommere jo større $x$ blir, mens den grønne og oransje grafen, der $1 < b$ stiger raskere jo større $x$ blir.

Grafene til et utvalg potensfunksjoner med positive eksponenter.

Vi ser at alle grafene går gjennom $(1, 1)$ fordi $f(1) = 1^b = 1$ for alle $b$.

Hvis $b$ er et ikke-negativt heltall, som vi kan kalle $n$, er potensfunksjonen det samme som en polynomfunksjon med bare ett ledd: $f(x) = ax^n$, slik som $f(x) = x^2$ og $f(x) = x^4$ i eksempel 1.

Eksempel 2:

Under vises grafene til fire potensfunksjoner med negative eksponenter. $f(x) = x^{\large -\frac{1}{4}}$ i rødt, $f(x) = x^{-\large \frac{1}{2}}$ i blått, $f(x) = x^{-2}$ i grønt, $f(x) = x^{-4}$ i oransje. $b$ har altså samme verdier som i eksempel 1, men med negativt fortegn.

Vi ser at alle grafene synker, samtlige langsommere jo større $x$ blir.

Grafene til et utvalg potensfunksjoner med negative eksponenter.

Hvis $b$ er et negativt heltall, som vi kan kalle $-n$, er potensfunksjonen det samme som en rasjonal funksjon med $a$ i telleren og ett ledd i nevneren: $f(x) = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle x^n}$, slik som $f(x) = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^2}$ og $f(x) = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^4}$ i eksempel 2.

I eksempel 1 og 2 lot vi for enkelhets skyld konstanten $a$ i $ax^b$ være 1. Hvis vi vil lar $a$ være forskjellig fra 1, vil det være slik at grafene stiger / synker raskere jo større $a$ er. Dersom $a < 0$, vil grafene bli speilet om x-aksen. Alle grafene vil gå gjennom $(1, a)$.

Definisjonsmengden til en potensfunksjon er avhengig av hvilken type tall $b$ er. Som vi tidligere har sagt, er potensfunksjonen et spesialtilfelle av en polynomfunksjon dersom $b$ er et positivt heltall, og definisjonsmengden er da følgelig hele $\mathbb R$.

Dersom $b$ er et negativt heltall, er altså potensfunksjonen et spesialtilfelle av rasjonal funksjon, og definisjonsmengden er hele $\mathbb R$ unntatt verdier som gjør nevneren lik $0$, altså $x = 0$.

Dersom $b$ er en brøk eller et irrasjonalt tall, er det hele mer komplisert, og vi går ikke i detalj. Men et hint om hvorfor det er slik er at å opphøye $x$ i en brøk, $\large \frac{1}{n}$, tilsvarer å ta n-te rota av $x$, slik det er beskrevet i algebra-artikkelen om brøk. Dersom $n$ er et partall, kan vi ikke ta rota av en negativ $x$, men vi kan gjøre det hvis $n$ er et oddetall.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia