Rasjonale funksjoner

Hvis vi summerer, subtraherer eller multipliserer to polynomfunksjoner, blir resultatet en ny polynomfunksjon. Men dersom vi dividerer to polynomfunksjoner, $p(x)$ og $q(x)$, får vi en ny type funksjon, en rasjonal funksjon:

$f(x) = \frac{\displaystyle p(x)}{\displaystyle q(x)}$

En rasjonal funksjon er altså en brøk med polynomfunksjoner både i teller og nevner. Funksjonen i nevner må være av første grad eller høyere.

Eksempel 1:

$f(x) = \frac{\displaystyle 3x^2 + x – 3}{\displaystyle x^3  -4x + 2}$ er en rasjonal funksjon med et andregradspolynom i teller og et tredjegradspolynom i nevner.

$f(x) = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle x + 2}$ er en rasjonal funksjon. Teller er en konstant, men en konstant kan betraktes som et polynom av grad $0$, og det stilles ingen krav til grad i telleren. Nevner er et førstegradspolynom.

$f(x) = \frac{\displaystyle 4x^2 + 2x}{\displaystyle 2}$ er ikke en rasjonal funksjon. Teller er et andregradspolynom, men nevner er en konstant, altså et polynom av grad $0$. Nevner oppfyller derved ikke kravet om å være av første grad eller høyere. Faktisk er dette en polynomfunksjon, for vi kan forkorte totallet og få $f(x) = 2x^2 + x$.

Grafene til noen rasjonale funksjoner er vist under:

Grafen til den rasjonale funksjonen 1 / (2x + 1) Grafen til den rasjonale funksjonen 4 / (x^2 - 1)
Grafen til den rasjonale funksjonen 4 / (x^2 + 1) Grafen til den rasjonale funksjonen (2x + 1) / (x^2 - 1)

 

Vi ser at grafene har helt andre former enn grafene til polynomfunksjoner. Vi ser også at vi i mange tilfeller har brudd i grafene, disse oppstår for x-verdier som gjør at nevneren blir lik $0$. Disse verdiene er ikke med i den rasjonale funksjonens definisjonsmengde. Definisjonsmengden er altså hele $\mathbb R$, unntatt verdier som gjør nevneren lik $0$. Verdimengden vil variere fra funksjon til funksjon.

Dårlige kalkulatorer og dataprogrammer tegner gjerne en strek mellom punktene der grafen forsvinner ut av syne vertikalt, men det er feil. Kurvedelene er helt atskilte.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia