Regneregler i algebra

For alle reelle og komplekse tall gjelder den kommutative lov, assosiative lov og distributive lov.

Kommutative lov

Den kommutative lov for addisjon sier hvis vi skal addere to elementer, spiller addendenes rekkefølge ingen rolle.

$\fbox{$a + b = b + a$}$

Dette er illustrert med to reelle tall i figuren under. Her ser vi at linja med $a$ lagt før $b$ er like lang som linja med $b$ lagt før $a$.

Illustrasjon av kommutative lov for addisjon

Tilsvarende gjelder for multiplikasjon. Skal vi multiplisere to elementer, spiller faktorenes rekkefølge ingen rolle.

$\fbox{$ab = ba$}$

Dette er illustrert med to reelle tall i figuren under. Her ser vi at rektangelet med $a$ som grunnlinje og $b$ som høyde har samme areal som rektangelet med $b$ som grunnlinje og $a$ som høyde. Det er bare rotert 90 grader.

Illustrasjon av kommutative lov for multiplikasjon

Den kommutative lov gjelder ikke for subtraksjon eller divisjon.

Assosiative lov

Den assosiative lov for addisjon sier hvis vi skal addere tre elementer, spiller det ingen rolle hvilke to vi adderer først.

$\fbox{$a + (b + c) = (a + b) + c$}$

Dette er illustrert med reelle tall i figuren under. Her ser vi at linja med $a + b$ lagt før $c$ er like lang som linja med $a$ lagt før $b + c$.

Illustrasjon av assosiative lov for addisjon

Tilsvarende gjelder for multiplikasjon. Skal vi multiplisere tre elementer, spiller det ingen rolle hvilke to vi multipliserer først.

$\fbox{$a(bc) = (ab)c$}$

Dette blir tredimensjonale figurer som best illustreres med klosser.

Den assosiative lov gjelder ikke for subtraksjon eller divisjon.

Distributive lov

Den distributive lov sier at hvis vi skal multiplisere et element med to addender, kan vi først multiplisere med hver av addendene og deretter addere produktene.

$\fbox{$a(b + c) = ab + ac$}$

Dette er illustrert med reelle tall i figuren under, der vi ser at rektangelet med $a$ som grunnlinje og $b + c$ som høyde er satt sammen av ett rektangel med $a$ som grunnlinje og $b$ som høyde og ett med $a$ som grunnlinje og $c$ som høyde.

Illustrasjon av distributive lov

Den distributive lov gjelder også for subtraksjon.

Identitetselement

Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med et annet element. Identitetselementet for addisjon er $0$, det vil si at for et vilkårlig element, $a$, er $a + 0 = a$. For multiplikasjon er identitetselementet $1$, det vil si at for et vilkårlig element, $a$, er $a \cdot 1 = a$.

Invers

En invers (resiprok) til et element, $a$, er det elementet som kombinert med $a$ gir identitetselementet. For addisjon er inversen $-a$, altså er $a + (-a) =0$. For multiplikasjon er inversen $a^{-1}$, altså er $aa^{-1} = 1$. $a^{-1}$ kan også skrives som ${\large \frac{1}{a}}$, altså er $a \cdot {\large \frac{1}{a}} = 1$. Vi forutsetter da at $a \ne 0$.

Forenkling av likning

For å løse en likning kan vi benytte oss av to forenklingsregler:

1. Hver side av en likning kan multipliseres med samme element.

2. Samme element kan adderes til hver side av en likning.

Eksempel 1:

$4x + 8 = 12$. Multipliserer begge sider med ${\large \frac{1}{4}}$ og får $x + 2 = 3$.

Eksempel 2:

$x + 2 = 3$. Adderer $-2$ på begge sider og får $x = 1$.

Oppgave 1:

Under vises løsningen av en likning i fire trinn. Angi for hvert trinn hvilke regneregler som brukes. Det kan være det brukes flere regler i hvert trinn.

$\begin{align} 3(2x + 3) &= 12 + 3x \\
\; \\
6x + 9 &= 12 + 3x \\
\; \\
6x &= 3 + 3x \\
\; \\
3x &= 3 \\
\; \\
x &= 1 \end{align}$

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Relasjoner

En relasjon angir et forhold mellom to eller flere elementer. Eksempler er "$>$", "$<$" og "$=$". For eksempel betyr $a > b$ at $a$ er større enn $b$.

En relasjon, $R$, er

Refleksiv hvis $a \, R \, a$.

Symmetrisk hvis $a \, R \, b$ medfører $b \, R \, a$.

Transitiv hvis $a \, R \, b$ og $b\, R \, c$ medfører $a \, R \, c$.

Eksempel 3:

"$=$" er en relasjon som er:

Refleksiv. $a = a$. Et element er likt seg selv.

Symmetrisk. Hvis $a = b$, så er $b = a$. Hvis det første elementet er likt det andre, er det andre likt det første.

Transitiv. Hvis $a = b$ og $b = c$, så er $a = c$. Hvis det første elementet er likt det andre, og det andre er likt det tredje, er det første likt det tredje.

En relasjon som er både refleksiv, symmetrisk og transitiv kalles en ekvivalensrelasjon.

Oppgave 2:

Avgjør om relasjonen "$<$" er henholdsvis refleksiv, symmetrisk og transitiv.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Kilder:

  • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
  • Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1
  • Stewart, I. & Tall, D. (1993). Complex Analysis. Cambridge University Press
  • Store norske leksikon
  • Wikipedia