Rekker

Ei rekke består av summen av leddene i en følge. Det er fort å gå surr i hva som er rekker og hva som er følger, men kort sagt er rekker de med plusstegn. De uten plusstegn er følger. Ei rekke kan inneholde et endelig eller uendelig antall ledd.

Eksempel 1:

Ei tallrekke: $1 + 2 + 3 + \dots$

Eksempel 2:

Ei tallrekke: ${\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{8}} + \dots$

Når det gjelder formler for summen av de $n$ første leddene i ei rekke, skal vi begrense oss til å se på eksplisitte formler for aritmetiske og geometriske rekker.

Ei aritmetisk rekke er summen av leddene i en aritmetisk følge, og ei geometrisk rekke er summen av leddene i en geometrisk følge. I en aritmetisk følge er altså hvert ledd lik det forrige pluss en konstant, og i en geometrisk følge er hvert ledd lik det forrige multiplisert med en konstant, slik det er beskrevet i artikkelen om følger. Vi ser at rekka i eksempel 1 er aritmetisk, og rekka i eksempel 2 er geometrisk.

For alle aritmetiske rekker kan vi angi summen av de $n$ første leddene eksplisitt med formelen:

$\fbox{Aritmetisk rekke: $S_n = \frac{\displaystyle n(a_1 + a_n)}{\displaystyle 2}$}$

Eksempel 3:

Summen av de $5$ første leddene i den aritmetiske rekka $3 + 5 + 7 + 9 + 11 + \dots$ er

$S_5 = \frac{\displaystyle5(3 + 11)}{\displaystyle 2} = 35$.

Hvis ikke ledd nummer $n$ er listet opp, må vi finne det ved hjelp av formelen vi lærte i artikkelen om følger$a_n = a_1 + (n – 1)k$, der $k$ er konstanten vi adderer for å komme fra ett ledd til neste.

Eksempel 4:

Vi skal finne summen av de $20$ første leddene i den aritmetiske rekka $3 + 5 + 7 + 9 + 11 + \dots$

Her er $k = 2$, så vi får at $a_{20} = 3 + (20 – 1)2 = 41$.

Og vi får

$S_{20} = \frac{\displaystyle20(3 + 41)}{\displaystyle 2} = 440$.

For alle geometriske rekker kan vi, når $k$ er konstanten i den tilhørende følgen, angi summen av de $n$ første leddene eksplisitt med formelen

$\fbox{Geometrisk rekke: $S_n = \frac{\displaystyle k^n – 1}{\displaystyle k – 1} \cdot a_1$}$

Eksempel 5:

I rekka ${\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{8}} + \dots$ er konstanten i den tilhørende følgen $k = {\large \frac{1}{2}}$.

Summen av de $5$ første leddene blir da

$S_5 = {\large \frac{\Big(\frac{1}{2}\Big)^5 – 1}{\frac{1}{2} – 1}} \cdot {\large \frac{1}{2}} = 1 – \Big({\large \frac{1}{2}}\Big)^5 = {\large \frac{31}{32}} = 0,96875$.

Konvergente og divergente rekker

Dersom summen av leddene i ei uendelig rekke kommer nærmere og nærmere en fast verdi jo lenger ut vi går, er rekka konvergent. I motsatt fall er den divergent.

Ei aritmetisk rekke vil alltid være divergent fordi hvert nytt ledd som tas med vil øke tallverdien til summen. Ei geometrisk rekke vil være konvergent hvis absoluttverdien til konstanten vi multipliserer med i den tilhørende følgen, $|k|$, er mindre enn $1$. Og rekka, altså summen av uendelig mange ledd, vil konvergere mot

$\fbox{Konvergent geometrisk rekke: $S = \frac{\displaystyle a_1}{\displaystyle 1 – k}$}$

Eksempel 6:

Den geometriske rekka ${\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{8}} + \dots$ er konvergent fordi $|k| = {\large \frac{1}{2}} < 1$.

Og summen blir $S = {\large \frac{\frac{1}{2}}{1 – \frac{1}{2}}} = 1$.

Delsummen $S_n = {\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{8}} + \dots + {\large \frac{1}{2^n}}$ kommer altså nærmere og nærmere $1$ jo høyere $n$ blir, slik det er illustrert under:

Summen av rekka 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... illustrert med en sirkel

Eksempel 7:

Den geometriske rekka $1 – {\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{9}} – {\large \frac{1}{27}} + \dots$ er konvergent fordi $|k| = |-{\large \frac{1}{3}}| = {\large \frac{1}{3}} < 1$.

Og summen blir $S = {\large \frac{1}{1 – (- {\Large \frac{1}{3})}}} = {\large \frac{3}{4}} = 0,75$.

Eksempel 8:

Den geometriske rekka $1 + {\large \frac{4}{3}} + {\large \frac{16}{9}} + \dots$ er divergent fordi $|k| = |{\large \frac{4}{3}}| > 1$.

Vi kan altså ikke beregne noen sum for hele rekka, men vi kan beregne summer av et vilkårlig antall ledd ved hjelp av formelen $S_n = \frac{\displaystyle k^n – 1}{\displaystyle k – 1} \cdot a_1$. For eksempel

$S_3 = {\large \frac{\Big(\frac{4}{3}\Big)^3 – 1}{\frac{4}{3} – 1}} \cdot 1 \approx 4,11$.

For rekker som ikke er geometriske, kan det være mer komplisert å avgjøre om de er konvergente eller ikke. Det må selvfølgelig være et krav at leddene nærmer seg null når vi går utover, men dette kravet i seg selv er ikke nok. I artikkelen om følger, eksempel 4, sa vi at følgen $1, {\large \frac{1}{2}}, {\large \frac{1}{3}}, {\large \frac{1}{4}}, \dots$ er konvergent fordi leddene stadig kommer nærmere $0$, men den tilsvarende rekka $1 + {\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{4}} + \dots$ er allikevel divergent. Denne rekka har for øvrig et eget navn, den harmoniske rekka, et navn hentet fra musikkens verden.

Kilder

  • Breiteig T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
  • Thomas G.B. & Finney R.L. (1988). Calculus and analytic geometry, Addison-Wesley.
  • Wikipedia