Representasjonsformer

Vi har i flere artikler møtt funksjoner i tre forskjellige representasjonsformer:

  • Funksjonsforskrift, for eksempel $f(x) = x^2 + 3$.
  • Graf.
  • Virkelig situasjon, for eksempel en ball i fritt fall.

En fjerde representasjonsform er tabeller, der vi har notert et sett med observasjoner. Da ønsker vi gjerne å finne en funksjonsforskrift som passer til dataene, noe vi kaller vi å lage en matematisk modell.

Eksempel 1:

Familien Hansen kjører hjemmefra til Oslo, en tur på ca. 320 kilometer. De første timene noterer barna hvor langt de har kjørt hvert kvarter:

 Kvarter 1 2 3 4 5 6 7 8
 Kilometer 22 38 58 80 104 122 138 161

Vi ser at de har kjørt omlag 20 kilometer hver gang de noterer. Et forslag til modell kan da være at de kjører med konstant fart, 20 km pr. kvarter. Det kan vi representere ved funksjonen $f(x) = 20x$. Et plott av punktene og $f(x)$ er vist under.

En lineær modell

Vi ser at modellen i eksempel 1 ikke er helt nøyaktig, fordi grafen ikke går gjennom alle punktene. Dette skyldes at farten ikke har vært helt konstant. Unøyaktigheter vil ofte oppstå når vi modellerer fenomener fra virkeligheten. Modellen later allikevel til å være rimelig god, i dette tilfellet blir det nok vanskelig å finne noe bedre.

Vi må også være oppmerksom på at modellen har begrenset gyldighetsområde. Den kan ikke være gyldig for mer enn det antall timer turen varer. Og kommer familien til et sted med lavere fartsgrense eller dårligere vei må de endre fart, og modellen er ikke lenger gyldig.

En modell kan ofte brukes til å si noe om fremtiden. I eksempel 1 kan vi for eksempel forutsi at de etter 3 timer, altså 12 kvarter, vil ha kjørt omlag $f(12) = 20 \cdot 12 = 240$ km.

Et svært interessant eksempel på matematisk modellering er himmellegemenes bevegelser. Gjennom århundrer er himmellegemene blitt observert, og mer og mer nøyaktige modeller for deres bevegelser utarbeidet. Ved hjelp av disse modellene kan vi nå forutse astronomiske begivenheter som solformørkelser, måneformørkelser, kometbesøk og venuspassasjer på sekundet.

Eksempel 1 er en lineær modell fordi vi modellerer med en lineær funksjon, altså en funksjon på formen $f(x) = ax + b$. Men mange fenomener vil ikke være lineære.

Eksempel 2:

Et plott av antall mobilabonnementer i Norge fra 1980 til 2000 er vist under:

En eksponentiell modell

Grafen til en lineær funksjon er ei rett linje, og vi ser at vi ikke kan klare å trekke ei rett linje gjennom alle punktene. Derfor kan vi ikke bruke en lineær modell. Her har vi eksponentiell vekst, og må bruke en eksponentiell modell, slik det er beskrevet i artikkelen om eksponentialfunksjoner.

Lineære modeller

Som nevnt i artikkelen om polynomfunksjoner er det nok å finne to punkter for å tegne grafen til en lineær funksjon, den er ei rett linje. Har vi gitt to punkter, kan vi også gå andre veien og finne funksjonsforskriften til grafen som går gjennom punktene. Det samme hvis vi kjenner ett punkt og stigningstallet til linja:

Parameteren $a$ i den lineære funksjonen $f(x) = ax + b$ er funksjonens stigningstall, og $b$ er skjæringspunktet med y-aksen. Hvis $a > 0$, skrår linja oppover mot høyre. Hvis $a < 0$, skrår linja nedover mot høyre. Hvis $a = 0$, går linja parallelt med x-aksen i avstand $b$.

Hvis vi kjenner stigningstallet til ei linje og et punkt $(x_1, y_1)$ på linja, kan vi finne funksjonsforskriften ved å sette $a$ lik stigningstallet og finne $b$ av likningen $y_1 = ax_1 + b \Rightarrow b = y_1- ax_1$.

Oppgave 1:

Stigningstallet til ei linje er $-1$, og den går gjennom punktet $(1, 2)$. Finn funksjonsforskriften for linja.

Se løsningsforslag

Hvis stigningstallet, $a$, i utgangspunktet er ukjent, men vi kjenner to punkter, $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ på linja, kan vi beregne $a$. Stigningstallet sier hvor mye $y$ endrer seg når $x$ endrer seg, så
$a = \frac{\displaystyle y_2 – y_1}{\displaystyle x_2 – x_1}$

Oppgave 2:

Ei linje går gjennom punktene $(-2, -1)$ og $(1, 5)$. Finn funksjonsforskriften for linja.

Se løsningsforslag

Grafer

Som vi har sett i flere artikler, er grafer en fin måte å danne seg et bilde av en funksjon på. For å tegne en graf, lager vi først et koordinatsystem med x– og y-akse i rett vinkel på hverandre, der x-aksen går horisontalt mot høyre, og y-aksen går vertikalt oppover. Dette kalles et kartesisk koordinatsystem, oppkalt etter matematikeren og filosofen René Descartes.

Så velger vi en del x-verdier, regner ut den tilhørende y-verdien og plotter punktene $(x, y)$ i koordinatsystemet. Deretter trekker vi ei linje mellom dem. 

Har vi en lineær funksjon, er det nok med to punkter for å tegne grafen, som er ei rett linje. For andre funksjoner kan det kreves en mengde punkter for å få en god graf.

Ofte bruker vi dataprogrammer som GeoGebra til å tegne grafer, men å tegne en graf for hånd gir styrket forståelse.

Når vi tegner en graf, må vi også bestemme oss for hvilke verdier vi vil ha på aksene. Det finnes ingen fasit på dette, men som en tommelfingerregel bør vi velge verdier som gir en stor og tydelig graf.

Forholdet mellom verdiene på x– og y-aksen vil også ha betydning for hvordan grafen ser ut. Begge figurene under viser for eksempel grafen til $f(x) = x^2$, men i det ene bildet er forholdet mellom aksene 1:1 og i det andre 1:10. Det siste gir en mye mer flattrykt graf.

Eksempel på akseverdienes betydning for grafens utseende Eksempel på akseverdienes betydning for grafens utseende

Akseverdiene trenger heller ikke alltid starte på null. I eksempel 2, med mobilabonnementene, starter for eksempel x-verdien på 1978, det ville være meningsløst å starte på 0 og bruke opp mesteparten av grafikkvinduet på år da det ikke fantes mobiltelefoner.

Å velge "smarte" verdier på aksene kan brukes til å lage en graf som skaper et ønsket inntrykk. Dette ser vi av og til i media. Plottet under viser antall etterforskede forbrytelser i perioden 1997 til 1999. Den gir inntrykk av en formidabel økning, mens økningen i virkeligheten bare er ca. 10 %. Dette inntrykket skapes ved at vi på y-aksen ikke har startet på 0, men på ca. 376.000.

Eksempel på akseverdienes betydning for grafens utseende

Janviermatrisen

En systematisk sammenstilling av de 4 representasjonsformene finner vi i Janviermatrisen, eller Janviers tabell.

Fra/Til Situasjon Tabell Graf Funksjonsforskrift
Situasjon   Måling (1) Skisse (2) Modellering (3)
Tabell Avlesning (4)   Plotting (5) Tilpasning (6)
Graf Tolkning (7) Avlesning (8)   Kurvetilpasning (9)
Funksjonsforskrift Gjenkjenning (10) Beregning (11) Plotting (12)  

De forskjellige overgangene er:

  1. Måling. Vi utfører en aktivitet, gjør målinger underveis, og setter disse opp i en tabell.
     
  2. Skisse. Vi utfører en aktivitet og skisserer en graf som illustrerer aktiviteten, for eksempel fart som funksjon av tiden.
     
  3. Modellering. Vi utfører en aktivitet og prøver å finne en funksjonsforskrift som beskriver aktiviteten.
     
  4. Avlesning. Vi leser av innholdet i en tabell og beskriver en aktivitet disse dataene passer med.
     
  5. Plotting. Vi tegner punktene i en tabell inn i et koordinatsystem.
     
  6. Tilpasning. Basert på dataene i en tabell prøver vi å finne en funksjonsforskrift som vil gi samme data.
     
  7. Tolkning. Vi prøver å finne en virkelig situasjon som samsvarer med en graf.
     
  8. Avlesning. Vi leser av grafen for et antall x-verdier, finner de tilhørende y-verdiene og setter resultatet inn i en tabell.
     
  9. Kurvetilpasning. Vi prøver å finne en funksjonsforskrift som passer til grafen.
     
  10. Gjenkjenning. Vi prøver å finne en situasjon funksjonsforskriften beskriver.
     
  11. Beregning. Vi setter et antall x-verdier inn i en funksjon, får ut de tilhørende y-verdiene og setter resultatene opp i en tabell.
     
  12. Plotting. Som i punkt 11, men vi tegner en graf basert på x– og y-verdiene i stedet for å lage en tabell.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Selvik, B. K. (2007). Algebra og funksjonslære. Caspar forlag
  • Wikipedia