Røtter

Kvadratrota av et tall, $a$, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir $a$. For eksempel er kvadratrota av $4$ lik $2$ fordi $2 \cdot 2 = 4$. Kvadratrot skrives med symbolet $\sqrt{\phantom 1}$. Tallet vi skal trekke ut rota av, plasseres under symbolet. Kvadratrota av $4$ skrives for eksempel slik: $\sqrt 4$.

Tredjerota av et tall, $a$, er lik det tallet som multiplisert med seg selv tre ganger gir $a$. For eksempel er tredjerota av $8$ lik $2$ fordi $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Tredjerot skrives med symbolet $\sqrt[\Large 3]{\phantom 1}$, der det er tretallet over selve rot-symbolet viser at det dreier seg om en tredjerot. Tredjerota av $8$ skrives for eksempel som $\sqrt[\Large 3]8$.

Generelt snakker vi om $n$-te rota av et tall, $a$, som det tallet som multiplisert med seg selv $n$ ganger gir $a$. $n$-te rot skrives ved å sette en $n$ over selve rotsymbolet: $\sqrt[\Large n]{\phantom a}$.

I eksemplene over fikk vi hele tall når vi trakk ut røtter, det vil ofte ikke være tilfelle. For eksempel er $\sqrt 2 \approx 1,4142$.

Å trekke ut røtter er ofte vanskelig å gjøre for hånd, vi må benytte en kalkulator eller et dataprogram.

Når vi skal trekke ut rota av et produkt, kan vi gjøre dette ved å multiplisere røttene av faktorene:

$\fbox{$\sqrt[\LARGE n]{ab} = \sqrt[\LARGE n] a \cdot \sqrt[\LARGE n] b$}$

Tilsvarende kan vi trekke ut rota av en kvotient ved å dividere rota av dividend med rota av divisor:

$\fbox{${\sqrt[\LARGE n]\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}} = \frac{\displaystyle \sqrt[\LARGE n]a}{\displaystyle \sqrt[\LARGE n]b}$}$

Tilsvarende regel for sum og differanse finnes ikke:

$\sqrt[\LARGE n]{a + b} \ne \sqrt[\LARGE n] a + \sqrt[\LARGE n] b \;\;$ og $\;\;\sqrt[\LARGE n]{a – b} \ne \sqrt[\LARGE n] a \, – \sqrt[\LARGE n] b$

For eksempel er $\sqrt{1 + 4} = \sqrt 5 \approx 2,24$ ikke det samme som $\sqrt 1 + \sqrt 4 = 1 + 2 = 3$.

 Eksempel 1:

Vi skal forenkle $\sqrt 8 + \sqrt 2$ mest mulig.

Vi gjør ikke den feilen å si at dette er det samme som $\sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}$. For summen av to røtter er ikke det samme som rota av summen. Derimot kan vi skrive $8$ som $4 \cdot 2$, og bruke regelen om rota av et produkt, og regelen om å trekke sammen like ledd:

$\sqrt 8 + \sqrt 2 = \sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt 2 = \sqrt 4 \cdot \sqrt 2 + \sqrt 2 = 2 \sqrt 2 + \sqrt 2 = 3 \sqrt 2$.

Eksempel 2:

Vi skal forenkle $\frac{\displaystyle \sqrt[\LARGE 3]{16}}{\displaystyle \sqrt[\LARGE 3]2}$ mest mulig.

Vi bruker regelen om rota av en kvotient baklengs:

$\frac{\displaystyle \sqrt[\LARGE 3]{16}}{\displaystyle \sqrt[\LARGE 3]2} = \sqrt[\LARGE 3]\frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 2} = \sqrt[\LARGE 3]8 = 2$.

Ethvert rotuttrykk kan skrives som en potens, basert på regelen

$\fbox{$\sqrt[\LARGE n]a = (a)^{\LARGE \frac{1}{n}}$}$.

Å trekke ut $n$-te rot er altså det samme som å opphøye i ${\large \frac{1}{n}}$.

Ved å bruke denne regelen, kan vi blande utregninger som inneholder både røtter og potenser. 

Eksempel 3:

Vi skal forenkle $\sqrt[\LARGE 6]{x^{\large 2}} \cdot \sqrt[\LARGE 3]x$ mest mulig:

Vi skriver først om røttene til potenser, så bruker vi vanlige regneregler for å forenkle potensene, og til slutt gjør vi potensen om til rot igjen:

$\sqrt[\LARGE 6]{x^{\large 2}} \cdot \sqrt[\LARGE 3]x = {(x^{\large 2})}^{\LARGE \frac{1}{6}} \cdot x^{\LARGE \frac{1}{3}} = x^{\LARGE \frac{2}{6}} \cdot x^{\LARGE \frac{1}{3}} = x^{\LARGE ( \frac{2}{6} + \frac{1}{3})} = x^{\LARGE \frac{2}{3}} = \sqrt[\LARGE 3]{x^{\large 2}}$.

Kilder:

  • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
  • Wikipedia