Sammensatte funksjoner

I artikkelen om funksjonsbegrepet illustrerte vi en funksjon som en boks der vi putter en (uavhengig) variabel inn og får en bearbeidet (avhengig) variabel ut. Hvis den uavhengige variabelen heter $x$, og funksjonen $f$, ser det slik ut:

Illustrasjon av enkel funksjon

Men hva om vi så putter det vi får ut inn i en ny funksjon, for eksempel $g$? Da ser det slik ut:

Illustrasjon av sammensatt funksjon

Her har vi satt sammen funksjonene $f$ og $g$. Vi bruker altså først funksjonen $f$$x$, deretter funksjonen $g$$f(x)$. Vi skriver det $g(f(x))$, og leser det som "g av f av x". En annen måte å skrive det samme på er $g \circ f$. Det betyr altså $f$ først, deretter $g$.

Oppgave 1:

Gitt funksjonene $f(x) = x^2 + 2$ og $g(x) = 3x – 1$.

  1. Beregn $g(f(x))$.
     
  2. Beregn $f(g(x))$.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Gitt funksjonene $f(x) = 2x^2 + 3x + 1$ og $g(x) = -x + 4$.

  1. Beregn $g(f(x))$.
     
  2. Beregn $f(g(x))$.

Se løsningsforslag

Når vi setter sammen to polynomfunksjoner, slik vi har gjort i oppgave 1 og 2, kan vi forenkle uttrykket, og resultatet blir en ny polynomfunksjon. Men tar vi i bruk andre funksjonstyper, kan vi få helt nye typer funksjoner. Grafen under viser for eksempel $g(f(x))$ der $f$ er polynomfunksjonen $f(x) = x^2$, og $g$ er den periodiske funksjon $g(x) = \sin x$.

Grafen til den sammensatte funksjonen sin(x^2)

Dette er verken en polynomfunksjon eller en periodisk funksjon. Den kombinerte funksjonsforskriften er $\sin x^2$, et uttrykk som ikke kan forenkles videre.
(Her ser vi også behovet for et vinkelmål som er et tall, ikke er grader. Hvis argumentet til $\sin$ skulle vært grader, måtte $x^2$ vært grader, og $x$ følgelig "rota av grader", et umulig begrep.)

Ser vi på $f(g(x))$ i stedet, får vi denne grafen:

Grafen til den sammensatte funksjonen sin^2(x)

Den kombinerte funksjonsforskriften er nå $(\sin x)^2$, som er vanlig å skrive som $\sin^2 x$. Et uttrykk som $\sin^n x$ betyr altså at vi skal ta sinus til $x$ og så opphøye i $n$. Det er ikke det samme som å ta sinus til $x^n$.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia