Produktregelen

Produktregelen for uavhengige hendelser

I artikkelen om addisjonsregelen lærte vi å regne ut sannsynligheter for en union av to hendelser, det vi si sannsynligheten for at det ene eller den andre eller begge hendelsene skulle inntreffe.

Nå skal vi se hvordan vi regner ut sannsynligheter for et snitt av to hendelser, det vi si sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer. Dette er ganske enkelt, forutsatt at hendelsene er uavhengige. Vi multipliserer bare enkeltsannsynlighetene. Dette ifølge produktregelen for uavhengige hendelser:

$\fbox{Produktregelen for uavhengige hendelser: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$}$

Eksempel 1:

Vi skal finne sannsynligheten for å få to seksere når vi kaster to terninger. Denne hendelsen er sammensatt av hendelsene «seks på første terning» og «seks på andre terning», hver med en sannsynlighet på ${\large \frac{1}{6}}$. Produktregelen sier da at sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer er ${\large \frac{1}{6}} \cdot {\large \frac{1}{6}} = {\large \frac{1}{36}}$.

Dette er det samme som vi vil få hvis vi bruker «gunstige på mulige». Det finnes totalt 36 enkeltutfall, nemlig 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-1, 2-2, og så videre opp til 6-6. Men bare ett av disse er gunstig, nemlig 6-6. Så gunstige på mulige gir at sannsynligheten blir ${\large \frac{1}{36}}$.

Denne regelen kan utvides til et vilkårlig antall hendelser. For tre uavhengige hendelser vil vi ha at P(A ∩ BC) = P(A) · P(B) · P(C), og slik kan vi utvide med så mange uavhengige hendelser vi vil. Sannsynligheten for et snitt av uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for hver av hendelsene som inngår.

Eksempel 2:

Vi kjøper lodd i tre uavhengige lotterier, der vinnersannsynlighetene er henholdsvis ${\large \frac{1}{100}}$${\large \frac{1}{50}}$ og ${\large \frac{1}{75}}$, og skal finne ut hva sannsynligheten for å vinne på alle tre loddene er. Da bruker vi produktregelen og får at sannsynligheten er ${\large \frac{1}{100}} \cdot {\large \frac{1}{50}} \cdot {\large \frac{1}{75}} = {\large \frac{1}{375 \, 000}}$.

Oppgave 1:

I hestespillet V5 er det om å gjøre å tippe riktig vinner i 5 travløp. Du spiller V5 en gang det er 12 hester med i første løp, 10 i andre, 14 i tredje, 9 i fjerde og 12 i femte. Alle løpene er uavhengige av hverandre og du velger hester helt tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å vinne?

​Se løsningsforslag

Avhengigheter

Utregningene våre har forutsatt at  hendelsene vi kombinerer, er uavhengige, altså at det ikke er noen som helst sammenheng mellom dem. Hvis hendelsene er avhengige, blir situasjonen mer komplisert.

Eksempel 3:

I en by er det i gjennomsnitt 20 soldager i juli, jevnt fordelt over hele måneden. Det betyr at vi kan si at sannsynligheten for sol den 14. juli om tre år er ${\large \frac{20}{31}} \approx 64{,}52\%$, siden det er totalt 20 gunstige (soldager) på 31 mulige (antall dager i juli). Men det betyr ikke at vi kan si at sannsynligheten for sol både 14. og 15. juli om tre år er ${\large \frac{20}{31}} \cdot {\large \frac{20}{31}} \approx 41{,}62\%$. For været den den 15. juli er ikke uavhengig av været den 14. Tvert imot, i en periode med høytrykk er det vanlig at mange soldager følger etter hverandre.

Eksempel 4:

Vi trekker to kort fra en kortstokk og lurer på hva sannsynligheten for å få to ess er. Sannsynligheten for å få ett ess er ${\large \frac{4}{52}} = {\large \frac{1}{13}}$, siden 4 av i alt 52 kort er ess. Men sannsynligheten for å få to ess blir ikke ${\large \frac{1}{13}} \cdot {\large \frac{1}{13}} = {\large \frac{1}{169}} \approx 0{,}59\%$. For dette er ikke uavhengige hendelser. Sannsynligheten for å få ess når vi trekker andre kort avhenger av om vi fikk ess da vi trakk første kort. Hvis første kort ble ess, er det 3 av 51 kort som er ess tilbake i stokken, og sannsynligheten for to ess er ${\large \frac{1}{13}} \cdot {\large \frac{3}{51}} = {\large \frac{1}{221}} \approx 0{,}45\%$. En annen måte å beregne dette på er å dividere antall måter vi kan kombinere to ess på (6), med antall måter vi kan kombinere to vilkårlige kort på (1326), en metode vi ser på i artikkelen om kombinasjoner og sannsynligheter.

For å ta den helt ut, hvis sannsynligheten for å trekke et ess ikke avhang av hva vi fikk forrige gang, men var konstant lik ${\large \frac{1}{13}}$, ville sannsynligheten for å få fem ess når vi trakk fem kort være ${\large \frac{1}{13^{\Large 5}}} \approx 2{,}7 \cdot 10^{-6}$. Ikke mye, men større enn 0, så ifølge denne beregningen ville det faktisk være mulig å trekke flere ess enn det er i kortstokken.

Kilder

    • Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
    • Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
    • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk