Separable differensiallikninger

En første ordens separabel differensiallikning kan skrives på formen

$g(y) \cdot y' = h(x)$

der $g(y)$ og $h(x)$ er vilkårlige funksjoner av henholdsvis $y$ og $x$. Den kalles separabel fordi vi har separert leddene. På venstre side av likhetstegnet har vi et produkt av funksjonen $g(y)$ og $y'$, og på høyre side funksjonen $h(x)$.

Eksempel 1:

${\Large \frac{y}{3}} y'= x^2+x$ er en separabel differensiallikning, med $g(y) = {\Large \frac{y}{3}}$ og $h(x) = x^2 + x$.

Eksempel 2:

$(y^2 + y^2x^2)y'=2x$ er en separabel differensiallikning. Den passer ikke umiddelbart inn i malen, men kan skrives om slik at den gjør det:

Vi setter $y^2$ utenfor parentes og får

$y^2(1+x^2)y'=2x$.

Så dividerer vi med $(1+x^2)$ på begge sider av likhetstegnet og får

$y^2y' = \frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle 1+x^2}$

Nå ser vi at det er en separabel differensiallikning med $g(y) = y^2$ og $h(x) = \frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle 1+x^2}$.

Oppgave 1:

Vis at differensiallikningen $y'=xy+3x$ er separabel, det vil si at den kan skrives på formen $g(y) \cdot y' = h(x)$.

Se løsningsforslag

I artikkelen om integrasjon ved substitusjon så vi at en annen måte å skrive $y'$ på var ${\Large \frac{dy}{dx}}$, altså endring i $y$ i dividert med endring i $x$. Vi så også at $dy$ og $dx$ var faktorer som vi kunne manipulere ved hjelp av algebra. Det får vi bruk for når vi skal løse separable differensiallikninger.

Hvis vi i eksempel 1 erstatter  $y'$ med ${\Large \frac{dy}{dx}}$, får vi

${\Large \frac{y}{3}} {\Large \frac{dy}{dx}}= x^2+x$

Så multipliserer vi med $dx$ på begge sider av likhetstegnet:

${\Large \frac{y}{3}} \, dy = (x^2+x) \,dx$

Deretter setter vi integrasjonstegn på begge sider av likhetstegnet:

$\int {\Large \frac{y}{3}} \, dy = \int (x^2+x)\,dx$

Dette er jo bare grunnleggende uttrykk vi lærte å integrere i artikkelen om ubestemte integraler. Det eneste som kanskje er fremmed, er at vi har $y$ som variabel, men det er bare et navn, det spiller ingen rolle for reglene. Vi utfører integrasjonene og får

${\Large \frac{1}{2}}{\Large \frac{y^2}{3}} + C_1 = {\Large \frac{1}{3}}x^3 + {\Large \frac{1}{2}}x^2 + C_2$

Vi multipliserer med 6 på begge sider av likhetstegnet og får

$y^2 + 6 \cdot C_1 = 2x^3 + 3x^2 + 6\cdot C_2$

Siden integrasjonskonstantene er vilkårlige tall, kan vi slå dem sammen til en felles konstant, som vi kaller $C$:

$y^2 = 2x^3 + 3x^2 + C$

Så tar vi kvadratrota på begge sider og får

$y = \pm \sqrt{2x^3 + 3x^2 + C}$

Teknikken er altså å organisere likningen slik at vi har $g(y)y'$ på venstre side og $h(x)$ på høyre. (Hvis det ikke lar seg gjøre, er likningen ikke separabel, og kan ikke løses på denne måten.) Deretter erstatter vi $y'$ med ${\Large \frac{dy}{dx}}$, multipliserer med $dx$ på begge sider av likhetstegnet, og setter på integrasjonstegn på begge sider. Vi får da et uttrykk på formen

$\int g(y) \, dy = \int h(x) \, dx$

Deretter integrerer vi på begge sider av likhetstegnet og løser den resulterende likningen med hensyn på $y$. Integrasjonskonstanter kan slås sammen underveis for å forenkle uttrykket.

Eksempel 3:

Vi skal løse differensiallikningen $\sqrt y y' = 4x$.

Vi erstatter $y'$ med ${\Large \frac{dy}{dx}}$ og skriver $\sqrt y$ som $y^{\Large\frac{1}{2}}$:

$y^{\Large\frac{1}{2}}{\Large\frac{dy}{dx}}= 4x$

Vi multipliserer begge sider med $dx$ og setter integrasjonstegn på begge sider av likhetstegnet:

$\int y^{\Large\frac{1}{2}} dy= \int 4x \, dx$

Vi utfører integrasjonen og får

${\Large \frac{2}{3}}y^{\Large\frac{3}{2}} + C_1 =2x^2 + C_2$

Vi multipliserer med ${\large \frac{3}{2}}$ på begge sider av likhetstegnet og slår sammen integrasjonskonstantene:

$y^{\Large\frac{3}{2}} =3x^2 + C$

Vi opphøyer begge sider i andre og trekker vi ut tredjerota, slik at $y$ blir stående alene på venstre side:

$y = \sqrt[{\Large 3}]{(3x^2+C)^2}$

Når vi har funnet løsningen(e) til en differensiallikning, kan vi sette prøve på svaret ved å sette $y$ og $y'$ inn i den opprinnelige likningen, regne ut, og se om vi får det samme på venstre og høyre side.

Eksempel 4:

Vi har tidligere funnet at løsningen til differensiallikningen ${\Large \frac{y}{3}} y'= x^2+x$ er

$y = \pm \sqrt{2x^3 + 3x^2 + C}$.

Vi har altså to løsninger, vi sjekker den med positivt fortegn først.

Vi deriverer, bruk av kjerneregelen med $g = 2x^3 + 3x^2 + C$ gir

$y' = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2\sqrt{g}}g' = \frac{\displaystyle 6x^2 + 6x}{\displaystyle 2\sqrt{2x^3 + 3x^2 + C}} =  \frac{\displaystyle 3x^2 + 3x}{\displaystyle \sqrt{2x^3 + 3x^2 + C}}$

Så setter vi uttrykkene for $y$ og $y'$ inn i den opprinnelige likningen:

 ${\Large \frac{y}{3}} y'={\Large \frac{ \sqrt{2x^3 + 3x^2 + C} }{3}} \cdot {\Large\frac{3x^2 + 3x}{ \sqrt{2x^3 + 3x^2 + C}}} = {\Large\frac{3x^2 + 3x}{3}} = x^2 + x$

Dette er det samme som står på høyre side av den opprinnelige likningen, så svaret er riktig.

Tar vi for oss løsningen med negativt fortegn, vil vi få samme deriverte med negativt fortegn. Det negative fortegnet kan forkortes bort når vi setter inn i den opprinnelige likningen, så vi får samme resultat når vi regner ut, $x^2 + x$. Løsningen med negativt fortegn er derfor også riktig.

Oppgave 2:

Løs differensiallikningen $y'=2\sqrt y$ og sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag