Summasjonstegn

artikkelen om rekker har vi angitt de første leddene for å vise hvordan rekkene utvikler seg, for eksempel $1 + 2 + 3 + 4 + \dots$.

En annen måte å gjøre det på, er å definere rekka ved hjelp av summasjonstegn, noe som er både enklere og mer oversiktlig. Som summasjonstegn brukes den greske bokstaven stor sigma: $\Sigma$.

Sammen med summasjonstegnet angir vi så et eksplisitt uttrykk for leddene i rekka. Dette gjør vi ved hjelp av en variabel vi kaller summasjonsindeks, som vil gjennomløpe alle heltall fra og med en gitt startverdi, til og med en gitt sluttverdi. Startverdien skrives under summasjonstegnet, sluttverdien over.

Eksempel 1:

I rekka $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$ er det eksplisitte uttrykket for leddene $n^2$. Vi har her valgt symbolet $n$ som summasjonsindeks.

Startverdien for $n$ er $1$ og sluttverdien $4$. Med summasjonstegn skriver vi dette som 

$\displaystyle \sum_{n = 1}^4 n^2$

Det betyr at summasjonsindeksen $n$ gjennomløper alle heltall fra og med $1$ til og med $4$, og summen blir følgelig $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30$.

Eksempel 2:

I rekka $\sqrt 5 + \sqrt 6 + \sqrt 7 + \sqrt 8 $ er det eksplisitte uttrykket for leddene $\sqrt n$, når vi velger $n$ som summasjonsindeks.

Startverdien for $n$ er $5$ og sluttverdien $8$. Med summasjonstegn skriver vi dette som 

$\displaystyle \sum_{n = 5}^8 \sqrt n$

Det betyr at summasjonsindeksen $n$ gjennomløper alle heltall fra og med $5$ til og med $8$, og summen blir følgelig $\sqrt 5 + \sqrt 6 + \sqrt 7 + \sqrt 8 \approx 10,16$.

For å få til alternerende fortegn i ei rekke, kan vi benytte faktoren $(-1)^n$, som vil være $1$ når $n$ er partall, og $-1$ når $n$ er oddetall.

Eksempel 3:

$-1 + 2 – 3 + 4$ kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^4 (-1)^n n$

$1 – 2 + 3 – 4$ kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^4 (-1)^{(n-1)} n$

Dersom vi ønsker å sette inn tall med en annen avstand enn $1$, kan vi bruke produkter av summasjonsindeksen.

Eksempel 4:

$2 + 4 + 6$. Her er avstanden mellom tallene $2$.

Rekka kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^3 2n$

$1 + 4 + 7$. Her er avstanden mellom tallene $3$, og verdiene er også $2$ lavere enn $3$ ganger summasjonsindeksen.

Rekka skriver vi derfor som

$\displaystyle \sum_{n =1}^3 3n-2$

Navnet på summasjonsindeksen spiller ingen rolle, vi må bare passe på at det er overensstemmelse mellom det som angis sammen med startverdien, og det som brukes i selve uttrykket for leddene. Andre vanlig navn på summasjonsindekser er $m$, $i$ og $j$.

Eksempel 5:

Hvis vi velger $m$ som summasjonsindeks, blir uttrykket fra eksempel 2

$\displaystyle \sum_{m = 5}^8 \sqrt m$

Det er bare summasjonsindeksen som blir gitt verdier, andre variabler påvirkes ikke.

Eksempel 6:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^3 m^n$ betyr $m^1 + m^2 + m^3$.

$\displaystyle \sum_{m = 1}^3 m^n$ betyr $1^n + 2^n + 3^n$.

I rekker med uendelig mange ledd har vi ikke noen sluttverdi for $n$. Det indikerer vi ved å sette symbolet for "uendelig" over summasjonstegnet.

Eksempel 6:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^n}$ betyr at $n$ gjennomløper et uendelig antall verdier, $1, 2, 3, \dots$ Summen blir følgelig

${\large \frac{1}{2^1}} + {\large \frac{1}{2^2}} + {\large \frac{1}{2^3}} + \dots$.

Oppgave 1:

Skriv ut leddene som er angitt med summasjonstegn under:

  1. $\displaystyle \sum_{n = 1}^5 n$
     
  2. $\displaystyle \sum_{n = 0}^4 n + 1$
     
  3. $\displaystyle \sum_{i = 1}^5 \frac{i}{i + 1}$

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises
 

Kilder

  • Breiteig T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
  • Thomas G.B. & Finney R.L. (1988). Calculus and analytic geometry, Addison-Wesley.
  • Wikipedia