Stikkord: asymptote

Horisontale asymptoter

Under vises grafen til funksjonen $f(x) = 1 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x^2 + 1}$.

Vi ser at mot høyre og venstre, altså når x går mot ∞ eller −∞, nærmer grafen seg den stiplede grønne linja som ligger i y = 1.

Hvis grafen til en funksjon nærmer seg ei horisontal linje når variabelen går mot ∞ eller −∞, er denne linja en horisontal asymptote til funksjonen.

Hvis vi i f(x) over setter inn x = 10, får vi

$f(x) = 1 + {\large \frac{2}{10^2 + 1}} = 1 + {\large \frac{2}{101}} \approx 1{,}02$

Setter vi inn x = 100, får vi

$f(x) = 1 + {\large \frac{2}{100^2 + 1}} = 1 + {\large \frac{2}{10 \, 001}} \approx 1{,}0002$

Setter vi inn x = 1000, får vi

$f(x) = 1 + {\large \frac{2}{1000^2 + 1}} = 1 + {\large \frac{2}{1\, 000 \, 001}} \approx 1{,}000002$

Jo høyere x-verdier vi setter inn, jo nærmere kommer grafen til linja y = 1. Vi kan komme så nærme vi bare vil, ved å sette inn store nok verdier, men vi vil aldri komme helt borttil.

For å finne ut om en funksjon har en horisontal asymptote, undersøker vi hva som skjer når variabelen går mot ∞ eller −∞. Hvis funksjonsforskriften da går mot et konstantuttrykk, har vi en horisontal asymptote.

At noe går mot uendelig eller minus uendelig, skriver vi gjerne slik: → ±∞.

I GeoGebra kan vi finne asymptoter ved hjelp av kommandoen asymptote.

Eksempel 1:

Vi skal avgjøre om funksjonen $f(x) = −2 + \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle x^2 + 3}$ har en horisontal asymptote, og sjekke svaret i GeoGebra.

Når x → ±∞, går nevneren i brøken mot uendelig, noe som betyr at brøken går mot 0, og vi står igjen med f(x) = −2. Funksjonsforskriften går mot konstanten −2, så y = −2 er en horisontal asymptote for f(x).

I GeoGebra skriver vi først -2 + 5/(x^2 + 3) i inntastingsfeltet. Deretter skriver vi asymptote(f). GeoGebra angir funksjonsforskriften for ei linje i y = −2 i algebrafeltet, og tegner asymptoten i grafikkfeltet.

Et plott av grafen og asymptoten er vist under.

Oppgave 1:

Avgjør om funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^2 + 1}$ har en horisontal asymptote, og sjekk svaret i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Skråasymptoter

Hvis funksjonsforskriften går mot et konstantuttrykk når variabelen går mot ±∞, har vi altså en horisontal asymptote. Hvis den i stedet går mot en førstegradsuttrykk, har vi en skråasymptote.

Eksempel 2:

Vi har funksjonen $f(x) = x + 2 + \frac{\displaystyle 7}{\displaystyle x^2 + 1}$.

Når x → ±∞, går nevneren i brøken mot uendelig, noe som betyr at brøken går mot 0, og vi står igjen med f(x) = x + 2.
Funksjonsforskriften går mot førstegradsuttrykket x + 2, så y = x + 2 er en skråasymptote for f(x).

Et plott av grafen og asymptoten er vist under.

I spesielle tilfeller kan en funksjon ha både en horisontal asymptote og en skråasymptote. En skråasymptote når x → ∞ og en horisontal asymptote når x → −∞, eller omvendt. Et eksempel er vist under, i grafen til $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 4}$. Her har vi en skråasymtote y = 2x når x → ∞, og en horisontal asymptote y = 0 når x → −∞.

Vertikale asymptoter

Horisontale asymptoter og skråasymptoter er altså henholdsvis vannrette og skrå linjer som grafen nærmer seg når variabelen går mot ±∞.

Vertikale asymptoter er loddrette linjer som grafen nærmer seg i punkter der funksjonsverdien går mot uendelig.

Eksempel 3:

Vi har funksjonen $f(x) = x^2 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x − 1}$.

Når x → 1, går nevneren i brøken mot 0, så brøken går mot uendelig. Grafen vil derfor legge seg inntil linja x = 1, og x = 1 er en vertikal asymptote for f(x). 

Et plott av grafen og asymptoten er vist under.

Vertikale asymptoter er altså variabelverdier der funksjonsverdien går mot uendelig.

Blanding av asymptoter

Det kan godt være at en funksjon har vertikale asymptoter samtidig som den har horisontale asymptoter eller skråasymptoter.

Eksempel 4:

Vi har funksjonen $f(x) = x + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x − 3}$.

Når x → ±∞, går nevneren i brøken mot uendelig, noe som betyr at brøken går mot 0, og vi står igjen med f(x) = x.
Så y = x er en skråasymptote for f(x).

Når x → 3, går nevneren i brøken mot 0, så brøken går mot uendelig. Grafen vil derfor legge seg inntil linja x = 3, og x = 3 er en vertikal asymptote for f(x). 

Et plott av grafen og asymptotene er vist under.

Oppgave 2:

Avgjør om funksjonen $f(x) = 1 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x^2 − 4}$ har asymptoter, og sjekk svaret i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Funksjonstyper med asymptoter

Alle funksjonene vi har arbeidet med så langt, kan skrives om til rasjonale funksjoner.

Eksempel 5:

Vi kan skrive $f(x) = −2 + \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle x^2 + 3}$ fra eksempel 1 som en rasjonal funksjon ved å multiplisere −2 med $\frac{\displaystyle x^2 + 3}{\displaystyle x^2 + 3}$ og sette på felles brøkstrek:

$f(x) = −2 \cdot \frac{\displaystyle x^2 + 3}{\displaystyle x^2 + 3} + \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle x^2 + 3} = \frac{\displaystyle −2x^2 − 6}{\displaystyle x^2 + 3} + \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle x^2 + 3} = \frac{\displaystyle −2x^2 − 6 + 5}{\displaystyle x^2 + 3} = \frac{\displaystyle −2x^2 − 1}{\displaystyle x^2 + 3} $

Grunnen til at vi ikke har skrevet funksjonene på denne formen tidligere, er at det da er vanskeligere å finne asymptotene.

I en rasjonal funksjon vil vi ha:

• • En horisontal asymptote hvis polynomene i teller og nevner har samme grad. 
     
  • En horisontal asymptote i 0 hvis polynomet i teller har lavere grad enn polynomet i nevner.
     
  • En skråasymptote hvis graden til polynomet i teller er 1 høyere enn graden til polynomet i nevner.
     
  • Ingen asymptote hvis polynomet i teller er mer enn 1 grad høyere enn polynomet i nevner.

Ofte vil det være i rasjonale funksjoner vi finner asymptoter, men også andre funksjonstyper har asymptoter. Logaritmefunksjoner har for eksempel en vertikal asymptote i x = 0, fordi funksjonsverdien går mot minus uendelig når x går mot 0. f(x) = tan(x) har uendelig mange vertikale asymptoter i $x = {\large \frac{(2k + 1)\pi}{2}}$, der k er et vilkårlig helt tall, slik det er illustrert under.

GeoGebra klarer imidlertid ikke å finne asymptotene til tangensfunksjoner.

Polynomfunksjoner har ikke asymptoter. De går ikke mot noe konstant- eller førstegradsuttrykk når variabelen går mot uendelig, og det finnes heller ingen variabelverdier der funksjonsverdien går mot uendelig.

Ubestemte uttrykk

I brøkene i eksempler og oppgaver har vi så langt hatt tellere som har vært konstanter, for eksempel 1 og 2. Vi har derfor kunnet konkludere med at hvis nevneren går mot 0, går brøken mot uendelig, og hvis nevneren går mot uendelig, går brøken mot 0. Hvis telleren ikke er en konstant, er det imidlertid ikke sikkert at det vil være slik, for det kan være at både teller og nevner går mot 0 eller uendelig samtidig. Vi får da et ubestemt uttrykk vi ikke umiddelbart kan se om går mot en asymptote.

Eksempel 6:

Vi har $f(x) = \frac{\displaystyle −2x^2 − 1}{\displaystyle x^2 + 3}$. Når x → ±∞, går både teller og nevner mot uendelig. 

Vi kan ikke direkte finne noen asymptoter til funksjonen i eksempel 6. Men det er en rasjonal funksjon med polynomer av samme grad i teller og nevner, så vi vet vi at den har en horisontal asymptote. For å finne den horisontale asymptoten i en rasjonal funksjon med samme grad i teller og nevner, kan vi dividere alle ledd i teller og nevner med høyeste grad av variabelen. Ledd av høyeste grad vil da bli redusert til sine koeffisienter, og andre ledd vil gå mot 0 når x → ±∞.

Eksempel 7:

Vi har $f(x) = \frac{\displaystyle −2x^2 − 1}{\displaystyle x^2 + 3}$, som i eksempel 6. Høyeste potens av x er 2, så vi dividerer alle ledd med x²:

$f(x) = \frac{\displaystyle −2x^2 − 1}{\displaystyle x^2 + 3 } = \frac{\displaystyle \frac{−2x^2}{x^2} − \frac{1}{x^2 }}{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} + \frac{3}{x^2 }} = \frac{\displaystyle −2 − \frac{1}{x^2 }}{\displaystyle 1 + \frac{3}{x^2 }}$

Vi ser at −2x² blir redusert til koeffisienten −2, og x² blir redusert til koeffisienten 1. Når x → ±∞, går delbrøkene ${\large \frac{1}{x^2}}$ og ${\large \frac{3}{x^2}}$ mot 0, så vi står igjen med $f(x) = {\large \frac{−2}{1}} = −2$.

Så y = −2 er en horisontal asymptote for f(x).

Oppgave 3:

Finn den horisontale asymptoten til $f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 6x}{\displaystyle 3x^3 + x^2 + 1}$.

Se løsningsforslag

Oppgave 4:

I en matematisk modell for forurensing i en innsjø er forskere kommet fram til at giftmengden, målt i g/m³, ved t døgn er gitt ved $f(t) = {\large \frac{10t^2}{4t^2+6t+9}}$. De konkluderer da med at giftmengden i det lange løp vil stabilisere seg på 2,5 g/m³. Hvordan kommer de fram til dette?

Se løsningsforslag

Oppgave 5:

Finn eventuelle horisontale og vertikale asymptoter til funksjonen

$f(x) = \frac{\displaystyle −x^2 + x − 2}{\displaystyle x^2 − 1}$

Se film med løsningsforslag
 

En rasjonal funksjon der graden til polynomet i teller er 1 høyere enn graden til polynomet i nevner, vet vi har en skråasymptote. Men hvis både teller og nevner går mot uendelig når x → ±∞, hjelper det ikke å dividere alle ledd i teller og nevner med høyeste grad av variabelen. Da vil vi få en konstant i teller og et uttrykk som går mot 0, i nevner.

Eksempel 8:

Vi skal finne skråasymptoten til $f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 2}{\displaystyle x^2 + 1}$.

Høyeste potens av x er 3, så vi dividerer alle ledd med x³:

$f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 2}{\displaystyle x^2 + 1} = \frac{\displaystyle \frac{x^3}{x^3} + \frac{2}{x^3}}{\displaystyle \frac{x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}} = \frac{\displaystyle 1 + \frac{2}{x^3}}{\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}}$

Delbrøkene går mot 0 når x → ±∞, så vi får 1 i teller og 0 i nevner. Vi kan da bare konkludere med at brøken går mot uendelig, men ikke si noe om skråasymptoten.

I tilfeller der graden til polynomet i teller er 1 høyere enn graden til polynomet i nevner, kan vi i stedet utføre en polynomdivisjon.

Eksempel 9:

Vi har $f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 2}{\displaystyle x^2 + 1}$, som i eksempel 8.

Vi tar ikke med utregningen her, men utfører vi polynomdivisjonen (x³ + 2) : (x² + 1), får vi x, og −x + 2 i rest.

Det vil si at

$f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 2}{\displaystyle x^2 + 1} = x + \frac{\displaystyle −x + 2}{\displaystyle x^2 + 1}$

I den nye brøken har teller lavere grad enn nevner, så brøken vil gå mot 0 når x → ±∞. Vi kan eventuelt verifisere dette ved å dividere alle ledd i teller og nevner med høyeste grad av x, som er 2:

$\frac{\displaystyle −x + 2}{\displaystyle x^2 + 1} = \frac{\displaystyle \frac{−x}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \frac{\displaystyle \frac{−1}{x} + \frac{2}{x^2}}{\displaystyle 1 + \frac{1}{x^2}}$

Delbrøkene går mot 0 når x → ±∞, så vi står igjen med $\frac{\displaystyle 0}{\displaystyle 1} = 0$.

Når brøken forsvinner, blir funksjonsuttrykket $f(x) = x$.

Så y = x er en skråasymptote for f(x).

Med andre funksjonstyper vil det variere hva som skjer når en brøk går mot ${\large \frac{0}{0}}$ eller ${\large \frac{\infty}{\infty}}$. Et godt analyseverktøy er da l′Hôpitals regel, som baserer seg på derivasjon. Denne regelen er beskrevet i artikkelen om l′Hôpitals regel.

Asymptoter formelt

Ved hjelp av lim-terminologien vi lærte i artikkelen om kontinuitet og grenser kan vi definere asymptoter slik:

1. y = k er en horisontal asymptote for f(x) hvis $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x) = k$ eller $\displaystyle \lim_{x \to −\infty}f(x) = k$
    
2. y = ax + b er en skråasymptote for f(x) hvis $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x) = ax + b$ eller $\displaystyle \lim_{x \to −\infty}f(x) = ax + b$
    
3. x = k er en vertikal asymptote for f(x) hvis $\displaystyle \lim_{x \to k^{\large +}}f(x) = \pm \infty$ eller $\displaystyle \lim_{x \to k^{\large −}}f(x) = \pm \infty$

Dersom vi tillater at a i uttrykket ax + b kan være 0, vil en horisontal asymptote være et spesialtilfelle av en skråasymptote.

Kilder

• • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget