Integrasjon med GeoGebra

GeoGebra kan brukes til å beregne både bestemte og ubestemte integraler.

Kommandoen for å integrere heter integral. Vi kan skrive inn funksjonsforskriften vi vil integrere direkte i kommandoen, for eksempel integral(6x^2), eller vi kan bruke kommandoen på en funksjon vi allerede har lagt inn. Har vi lagt inn en funksjon som heter f, integrerer vi den med kommandoen integral(f). GeoGebra viser funksjonsforskriften til den integrerte funksjonen i algebrafeltet og grafen i grafikkfeltet. GeoGebra følger imidlertid ikke konvensjonen med å betegne den integrerte funksjonen med stor bokstav, og navngir funksjonen på vanlig måte, for eksempel som g.

Ubestemte integraler

Et ubestemt integral beregner vi, som vist over, ved å skrive inn funksjonsforskriften eller funksjonsnavnet sammen med integral-kommandoen, for eksempel integral(6x^2), eller integral(f).

GeoGebra setter i utgangspunktet integrasjonskonstanten C til 0. Av og til opprettes C som en glider vi kan justere på, men det ser ikke ut til alltid å skje. Da kan vi eventuelt gjøre det manuelt.

Av og til sorteres leddene i en sammensatt funksjonsforskrift litt rart, parenteser multipliseres ut på en måte som kompliserer, og det trekkes ikke alltid sammen så mye som mulig. Det kan derfor være lurt å bruke GeoGebras CAS til integrasjon hvis vi ikke er interessert i å se grafen.

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å beregne integralet $\int 3x^2 \, dx$.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Du har for hånd beregnet at $\int \sin 3x\, dx$ blir ${\large \frac{\cos 3x}{3}} + C$. Bruk GeoGebra til å sjekke om du har regnet riktig.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Bestemte integraler

For å beregne et bestemt integral bruker vi samme kommando som for et ubestemt, integral, men vi inkluderer en nedre og øvre integrasjonsgrense. Vil vi for eksempel integrere funksjonen f mellom grensene a og b, skriver vi integral(f, a, b) i inntastingsfeltet.

Integralet vises som et tall i algebrafeltet, og i grafikkfeltet vises arealet under grafen til f, avgrenset av linjene x = a og x = b.

Eksempel 1:

Vi har funksjonen f(x) = x2 i GeoGebra, og skal beregne $\int\limits_1^2 f(x) \; dx$.

Vi skriver integral(f, 1, 2) i inntastingsfeltet. GeoGebra viser tallverdien til integralet, 2,33, i algebrafeltet, og markerer arealet under grafen til f(x) = x2 i grafikkvinduet:

Illustrasjon av GeoGebra-funksjonen Integral

En variant er kommandoen integralmellom(f, g, a, b) som beregner det bestemte integralet av differansen mellom f og g, altså arealet mellom grafen til f og g, avgrenset av linjene x = a og x = b. Dette er illustrert under for f(x) = x + 1 (blå graf), g(x) = x2 – 2x + 1 (grønn graf), a = 1 og b = 2.

Illustrasjon av GeoGebra-funksjonen IntegralMellom

GeoGebra-filSe den tilhørende GeoGebra-fila
 

Oppgave 3:

  1. Bruk GeoGebra til å finne arealet under grafen til f(x) = x2 avgrenset av linjene x = 0 og x = 2.
     
  2. Bruk GeoGebra til å finne arealet mellom grafen til g(x) = x + 1 og f(x) = x2.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

GeoGebra-filSe den tilhørende GeoGebra-fila
 

Bestemt integral som sum av rektangler

I undervisningssammenheng illustrerer en gjerne et bestemt integral som en sum av arealene til rektangler som ligger inntil grafen. GeoGebra tilbyr to funksjoner som illustrerer dette:

sumover(f, a, b, n)) deler opp arealet under f avgrenset av a og b i n rektangler der rektanglenes øvre høyre hjørne ligger på grafen.

sumunder(f, a, b, n) er tilsvarende, men det er rektanglenes øvre venstre hjørne som ligger på grafen.

Dette er illustrert under for f(x) = x2, a = 0, b = 2, n = 6.

Illustrasjon av GeoGebra funksjonen sumover Illustrasjon av GeoGebra funksjonen sumunder
sumover(f, 0, 2, 6) sumunder(f, 0, 2, 6)

Kombinert med en glider vil vi kunne illustrere hvordan oppdeling i stadig mindre rektangler fører til at rektanglenes areal nærmer seg et bestemt integral. sumover fra oversiden og sumunder fra undersiden.

Oppgave 4:

  1. Bruk GeoGebra til å finne oversum og undersum for f(x) = x2 med 10 rektangler mellom x = 0 og x = 2.
     
  2. Utvid det du laget i punkt 1 med en glider slik at du kan variere mellom 1 og 100 rektangler.
     
  3. Sammenlign oversummen og undersummen med $\int\limits_0^2 f(x) \, dx$.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

GeoGebra-filSe den tilhørende GeoGebra-fila
 

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Integral som rektangelsum

I artikkelen om integral som areal så vi at det bestemte integralet til en funksjon tilsvarte arealet under funksjonens graf. For eksempel tilsvarer det røde arealet i figuren under $\int\limits_1^2 x^2 \; dx = \frac{7}{3} \approx 2{,}33$.

Arealet under x^2

Tilnærme bestemt integral med rektangler

Legger vi fem like brede rektangler i samme område, ser vi at arealet til disse vil tilnærme arealet under grafen, men være litt mindre.

Arealet under x^2 tilnærmet med fem rektangler

Høyden av hvert rektangel er lik funksjonsverdien der rektangelet begynner, f(x) = x2, og bredden er ${\large \frac{2 − 1}{5}} = 0{,}2$.

Så arealet av første rektangel blir f(1) · 0,2 = 12 · 0,2, arealet av andre rektangel blir f(1,2) · 0,2 = (1,2)2 · 0,2, og så videre opp til f(1,8) · 0,2 = (1,8)2 · 0,2. Det totale arealet blir summen av de fem enkeltarealene.

Men det er jo unødvendig å multiplisere med 0,2 i hvert ledd. I stedet setter vi 0,2 utenfor parentes, og får dette uttrykket for det totale arealet:

(12 + (1,2)2 + (1,4)2 + (1,6)2 + (1,8)2 ) · 0,2 ≈ 2,04.

Dette er ca. 12 % mindre enn den nøyaktige verdien, som var 2,33.

Gjør vi rektanglene smalere, får vi plass til flere, og de vil passe bedre. Figuren under viser ti rektangler.

Arealet under x^2 tilnærmet med ti rektangler

Samme utregningsmetode som tidligere gir at arealet av rektanglene nå er om lag 2,18, ca. 6 % mindre enn den nøyaktige verdien på 2,33.

Jo flere rektangler vi deler opp i, jo nærmere kommer vi den nøyaktige verdien til integralet. Kaller vi bredden av hvert rektangel for Δx, vil hvert rektangel ha areal f(x) · Δx og det totale arealet blir $\displaystyle\sum_1^2 f(x) \cdot \Delta x$.

Mer generelt, med integrasjonsgrenser a og b$\displaystyle\sum_a^b f(x) \cdot \Delta x$. Dette kaller vi en Riemann-sum, oppkalt etter den tyske matematikeren Georg Friedrich Bernhard Riemann.

Lar vi så bredden av hvert rektangel gå mot 0, har vi et nøyaktig uttrykk for det bestemte integralet mellom a og b:

$\fbox {$ \int\limits_a^b f(x) \; dx = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } \displaystyle \sum_a^b f(x) \cdot \Delta x$}$

Når antall rektangler øker mot uendelig, samtidig som bredden går mot null, vil Riemann-summen konvergere mot det bestemte integralet.

Numerisk beregning av bestemte integraler

Enkelte ubestemte integraler kan være vanskelige eller umulige å beregne. Men siden det tilhørende bestemte integralet kan tilnærmes med en sum av rektangler, vil vi alltid kunne finne en tilnærmet løsning for et bestemt integral. Ofte velger vi imidlertid andre geometriske figurer enn rektangler. Bruk av trapeser gir ofte mye bedre nøyaktighet, og det finnes andre metoder, som Simpsons regel, der arealenes øvre grense ikke er en rett linje. Uendelig mange arealer kan vi ikke håndtere i praksis, men en datamaskin kan uten problemer kjapt summere millioner av arealer, slik at vi kan få gode svar raskt. 

Kilder

    • Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Integral som areal

Areal over x-aksen

I artikkelen om bestemte integraler lærte vi at et bestemt integral representerer en verdi. Men hva representerer egentlig denne verdien? Noe ganske interessant viser det seg, nemlig arealet avgrenset av grafen til det tilhørende ubestemte integralet, integrasjonsgrensene og x-aksen.

$\fbox {$ A = \int\limits_a^b f(x) \; dx$}$

Eksempel 1:

Integralet av f(x) = 2x, mellom grensene 0 og 4:

$\int\limits_0^4 2x \; dx = \big[x^2\big]_0^4 = 4^2 − 0^2 = 16$

Dette representerer arealet skravert i figuren under, der den rette linja er grafen til f(x) = 2x.

Arealet mellom f(x) = 2x og x-aksen

En rask kontrollregning ved hjelp av formelen for arealet av en trekant:

$\text{Areal } = \frac{1}{2} \cdot \text{ grunnlinje }\cdot \text{ høyde } = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$.

Det bestemte integralet gir oss altså en måte å beregne arealer på.

Eksempel 2:

Vi skal finne arealet mellom f(x) = ex og x-aksen, avgrenset av linjene x = 0 og x = ln 2.

Det bestemte integralet blir:

$\int\limits_0^{\ln 2} e^x \; dx = \big[e^x\big]_0^{\ln 2} = e^{\ln 2} − e^0 = 2 − 1 = 1$

Dette er illustrert under:

Arealet mellom f(x) = e^x og x-aksen

Oppgave 1:

Beregn arealet avgrenset av grafen til f(x) = −3x2 + 4x + 8, x-aksen og linjene x = −1 og x = 2.

Se løsningsforslag

Areal under x-aksen

Dersom grafen ligger under x-aksen, får vi et negativt tall når vi beregner det bestemte integralet. For å finne arealet mellom grafen og x-aksen må vi bytte fortegn:

$\fbox {$ A = −\int\limits_a^b f(x) \; dx$}$

Eksempel 3:

Vi skal finne arealet mellom f(x) = x2 − 4 og x-aksen, avgrenset av skjæringspunktene, som er x = ±2.

Som vi kan se av grafen under, ligger dette området under x-aksen, så vi må skifte fortegn på integralet for å finne arealet.

Arealet mellom f(x) = x^2 - 2 og x-aksen

$A = −\int\limits_{−2}^ 2(x^2 − 4) \; dx = −\Big[\frac{1}{3}x^3 − 4x\Big]_{−2}^ 2 =$

$ −\Big[\frac{1}{3}2^3 − 4 \cdot 2 − \big(\frac{1}{3}(−2)^3 − 4(−2)\big)\Big] = $

$−\big(\frac{8}{3} − 8 −(−\frac{8}{3} + 8 )\big) = −\frac{16}{3} + 16 \approx 10{,}67$

Areal både over og under x-aksen

Dersom grafen ligger delvis over, delvis under x-aksen, må vi dele opp i flere integraler, der vi skifter fortegn på de delene som ligger under x-aksen.

Eksempel 4:

Vi skal finne arealet mellom grafen til f(x) = x3x og x-aksen.

Som vi kan se av grafen under, ligger dette området både over og under x-aksen:

Areal under en graf som ligger både over og under x-aksen.

Vi må da dele opp i ett integral som går fra nedre grense til skjæringspunktet, og ett som går fra skjæringspunktet til øvre grense.

Først finner vi skjæringspunktene, det vi si de punktene der funksjonsverdien er 0:

f(x) = 0 ⇒ x3 − x = 0 ⇒ x(x2 − 1) = 0 ⇒ x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1

Så arealene blir:

$A_1 = \int\limits_{−1}^0(x^3 − x) \; dx = \big[\frac{1}{4}x^4 − \frac{1}{2}x^2\big]_{−1}^0 = 0 − (\frac{1}{4} − \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

$A_2 = −\int\limits_0^1(x^3 − x) \; dx = −\big[\frac{1}{4}x^4 − \frac{1}{2}x^2\big]_0^1 = − (\frac{1}{4} − \frac{1}{2}) − 0 = \frac{1}{4}$

Og det totale arealet blir:

$A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

SkjermfilmSe film om å beregne arealet under en graf
 

Oppgave 2:

Grafen under viser funksjonen f(x) = x3 + 2x2x − 2, som skjærer x-aksen i x = −2, x = −1 og x = 1. Beregn arealet avgrenset av grafen og x-aksen.

Arealet mellom f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 og x-aksen

Se løsningsforslag

Areal mellom grafer

Det er ikke vanskelig å utvide metoden til å finne arealet mellom en graf og x-aksen til å finne arealet mellom to grafer. Integrasjonsgrensene blir skjæringspunktene mellom grafene, og så trekker vi arealet under grafen nærmest x-aksen fra arealet under grafen lengst fra x-aksen.

Eksempel 5:

Figuren under viser arealet mellom f(x) = 2x og g(x) = x2.

Areal mellom grafene f(x) = 2x og g(x) = x^2

Vi finner først skjæringspunktene, det vil si punktene der funksjonene har samme verdi:
f(x) = g(x) ⇒ 2x = x2x2 − 2x = 0 ⇒ x(x − 2) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 2

Siden grafen til f(x) = 2x ligger øverst, blir arealet:
$A = \int\limits_0^2 2x \; dx − \int\limits_0^2 x^2 \; dx= \big[x^2\big]_0^2 − \big[\frac{1}{3}x^3\big]_0^2 = 4 − 0 − (\frac{8}{3} − 0) = \frac{4}{3}$

Alternativt kan vi trekke funksjonene fra hverandre først, og så integrerer resultatet:
f(x) − g(x) = 2xx2.

$A = \int\limits_0^2 (2x − x^2) \; dx = \big[x^2 − \frac{1}{3}x^3\big]_0^2 = 4 − \frac{8}{3} − (0 − 0) = \frac{4}{3}$

Fordelen med dette er at vi slipper unna med ett integral i stedet for to.

Generelt kan vi uttrykke arealet mellom grafene til to funksjoner, f(x) og g(x), som skjærer hverandre i a og b, ved å beregne integralene hver for seg først, og så subtrahere resultatene:

$\fbox {$ A = \int\limits_a^b f(x) \; dx − \int\limits_a^b g(x) \; dx$}$

eller ved å subtrahere funksjonene først, og så integrere den resulterende funksjonen:

$\fbox {$ A = \int\limits_a^b \Big(f(x) − g(x)\Big) \; dx$}$

Oppgave 3:

Det markerte området i bildet under viser arealet mellom grafen til f(x) = −x2 + 5 (grønn) og g(x) = x + 3 (blå).

Areal mellom grafene f(x) = -x^2 + 5 og g(x) = x + 3

Bruk integrasjon til å beregne dette arealet.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Bestemte integraler

I artikkelen om ubestemte integraler lærte vi at når vi beregner det ubestemte integralet til en funksjon, får vi en ny funksjon. Men det finnes også noe som heter bestemte integraler. Når vi beregner det bestemte integralet til en funksjon, får vi en verdi.

Til bestemte integraler bruker vi det samme symbolet som til ubestemte integraler, men vi angir samtidig to integrasjonsgrenser: Øvre grense, plassert over, og nedre grense, plassert under, integrasjonssymbolet.

Eksempel 1:

Bestemt integral med integrasjonsgrenser 4 og 8:

$\int\limits_4^8 f(x)\; dx$

For å beregne det bestemte integralet beregner vi først det ubestemte integralet, slik vi har lært. I funksjonen vi da får, tar vi funksjonsverdien til øvre grense og trekker fra funksjonsverdien til nedre grense. Generelt uttrykker vi det slik, for grensene a og b:

$\fbox {$ \int\limits_a^b f(x) \; dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) − F(a)$}$

Eksempel 2:

$\int\limits_1^2 (2x + 3) \; dx = \big[x^2 + 3x + C\big]_1^2 = $

$4 + 6 + C − (1 + 3 + C) = 10 + C − (4 + C) = 6$

Her beregner vi først det ubestemte integralet, og får den nye funksjonen x2 + 3x + C. Så setter vi inn øvre integrasjonsgrense, x = 2, og får 22 + 3 · 2 + C = 10 + C. Deretter setter vi inn nedre integrasjonsgrense, x = 1, og får 12 + 3 · 1 + C = 4 + C. Til slutt trekker vi den siste fra den første: 10 + C − (4 + C) = 6.

I eksempel 2 ser vi at integrasjonskonstanten, C, faller bort, det vil den alltid gjøre i et bestemt integral. Vi dropper derfor C i utregningen av bestemte integraler.

SkjermfilmSe film om beregning av bestemt integral
 

I formeleditoren i Word kan vi sette inn klammeparentes med integrasjonsgrenser ved å skrive parentesuttrykket først, og deretter sette på grensene ved hjelp av denne matrisen:

Sette inn integralgrenser i formeleditoren i Word

Oppgave 1:

Beregn følgende bestemte integraler:

        1. $\int\limits_1^3 6x^2 \; dx$
           
        2. $\int\limits_{−1}^1 2 \; dx$
           
        3. $\int\limits_a^b( \sin x + 5^x )\; dx$

Se løsningsforslag

Kilder

    • Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget