Stikkord: bevis

Publisert

Induksjonsbevis

Et induksjonsbevis brukes typisk i forbindelse med påstander om heltall, og går i to trinn. Vi tar utgangspunkt i en påstand, U(n), som gjelder for alle n ≥ n0. 

I trinn 1 etablerer vi induksjonsgrunnlaget, det vil si at vi fastslår at U(n) er sann for startverdien n0. 

Trinn 2 kalles induksjonstrinnet, her viser vi at hvis U(n) er sann, er U(n+1) sann. 

Av trinn 2 følger da videre at hvis U(n+1) er sann, er U((n+1)+1) = U(n+2) sann, hvis U(n+2) er sann, er U((n+2)+1) = U(n+3) sann, og så videre. Denne logikken kan vi følge videre mot uendelig, og påstanden er derfor bevist for alle n ≥ n0. 

Eksempel 1:

Vi skal bevise at summen av alle hele tall fra og med 1 til og med n er lik $\frac{\displaystyle n(n + 1)}{\displaystyle 2}$.

For eksempel er $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = \frac{\displaystyle 10(10 + 1)}{\displaystyle 2} = 55$

I trinn 1 viser vi da at påstanden er riktig for n0 = 1, det vil si at summen av tallene fra og med 1 til og med 1 er 1. Og formelen gir $\frac{\displaystyle 1(1 + 1)}{\displaystyle 2} = 1$, så påstanden er riktig for n0 = 1.

Formelen vi skal bevise sier at hvis

$1 + 2 + 3 + \cdots + {\color{brown}n} = \frac{\displaystyle {\color{brown}n}({\color{brown}n} + 1)}{\displaystyle 2}$

er

$1 + 2 + 3 + \cdots + n + ({\color{brown}{n + 1}}) = \frac{\displaystyle {(\color{brown}{n + 1}})\big(({\color{brown}{n + 1}}) + 1\big)}{\displaystyle 2}$

(For å tydeliggjøre har vi markert siste ledd i rekka med brunt.)

Regner vi ut telleren i brøken, ser vi at den blir

$\frac{\displaystyle (n + 1)(n + 2)}{\displaystyle 2}$

I trinn 2 skal vi vise at dette er riktig. Vi har altså

$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{\displaystyle n(n + 1)}{\displaystyle 2}$

Vi adderer et nytt ledd på begge sider av likhetstegnet:

$1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1) = \frac{\displaystyle n(n + 1)}{\displaystyle 2} + (n + 1)$

Vi skriver uttrykket på høyre side som en enkelt brøk:

$\frac{\displaystyle n(n + 1) + 2(n + 1)}{\displaystyle 2}$

Vi regner ut parenteser og trekker sammen like ledd:

$\frac{\displaystyle n^2 + 3n + 2}{\displaystyle 2}$

Til slutt faktoriserer vi andregradsuttrykket:

$\frac{\displaystyle(n + 1)(n + 2)}{\displaystyle 2}$

Som er det uttrykket formelen sa vi skulle få. Når formelen er gyldig for n, er den altså gyldig for n + 1. Siden vi i trinn 1 viste at formelen var gyldig for n = 1, er den følgelig gyldig for n + 1 = 2, og siden den er gyldig for n = 2 er den gyldig for n = 2 + 1 = 3, og så videre mot uendelig.

Oppgave 1:

Bevis at

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6}$

for alle n ≥ 1.

Se løsningsforslag

Kilder

Publisert

Bevis ved selvmotsigelse

I et bevis ved selvmotsigelse antar vi at det motsatte av det vi skal bevise er riktig, og demonstrerer at dette fører til en selvmotsigelse. Denne prosessen kalles også «reductio ad absurdum».

Eksempel 1:

Påstand: Det finnes uendelig mange primtall.

For å bevise dette, tar vi for oss den motsatte påstanden, nemlig at det finnes et endelig antall primtall. La oss kalle dette antallet for r. Primtallene selv kaller vi p1, p2, p3, … , pr. Her er p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, og så videre oppigjennom lista med primtall.

La oss så kalle tallet vi får når vi multipliserer disse primtallene for A. Da vil A være delelig med samtlige av disse primtallene, for vi har jo at A = p1 · p2 · p3 · … · pr. Men A+1 vil ikke være delelig med noen av dem.

A+1 trenger ikke være et primtall. Men er A+1 et sammensatt tall, må faktorene være noen andre enn p1, p2, p3, … , pr, for vi vet jo at A+1 ikke er delelig med noen av disse. Så uansett om A+1 er primtall eller sammensatt, har vi vist at det må finnes mer enn r primtall.

Utgangspunktet vårt, påstanden om at det finnes uendelig mange primtall, må derfor være riktig.

Eksempel 2:

Vi skal bevise at $\sqrt{2}$ er et irrasjonalt tall, det vil si at det ikke finnes hele tall, a og b, slik at ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$.

Vi tar da utgangspunkt i det motsatte, nemlig at det faktisk finnes hele tall, a og b, slik at ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$.

Vi forutsetter videre at brøken ${\large \frac{a}{b}}$ er forkortet så langt det går. Dette er et viktig poeng, for i det følgende vil vi vise at hvis ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$, må både a og b være partall, derved er ikke brøken forkortet så langt det går, og vi har fått en selvmotsigelse.

Vi starter med å skrive uttrykket ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$ om litt:

${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2} \, \Rightarrow \, \Big({\large \frac{a}{b}}\Big)^2 = 2 \, \Rightarrow \, a^2 = 2b^2$

2b2 er et partall, siden 2 er en faktor. Og a2 er jo samme tall, så a2 er et partall. Når kvadratet av et tall er et partall, er tallet selv også et partall, for alle kvadrater av oddetall er oddetall. a er altså et partall.

Siden a er et partall, kan det skrives på formen 2n, der n er et helt tall. Så a2 = 2b2 kan skrives som (2n)2 = 2b2 ⇒ 4n2 = 2b2 ⇒ 2n2 = b2. Så vi ser at b2 også må være et partall, og følgelig at b er et partall.

Siden både a og b er partall, betyr det at brøken ${\large \frac{a}{b}}$ ikke er forkortet så langt det går, noe som motsier forutsetningen vår, og påstanden om at det finnes hele tall, a og b, slik at ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$ er ikke riktig. Utgangspunktet vårt, påstanden om at $\sqrt{2}$ er et irrasjonalt tall, må derfor være riktig.

Eksempel 3:

Påstand: Det finnes ingen hele, positive tall, a og b, slik at a2 − b2 = 10.

Bevis: Vi antar det motsatte, at det faktisk finne to slike tall, og viser at dette fører til en selvmotsigelse.

Vi starter med å bruke tredje kvadratsetning baklengs på venstre side, og får
(a + b)(a − b) = 10.

10 kan skrives som produktet 5 · 2. Setter vi dette inn i likningen over, får vi

(a + b)(a − b) = (5)(2) = 10.

Vi må altså ha
a + b = 5
a − b = 2

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 7, det vil si at a = 3,5.

a er altså ikke et helt tall, noe som er en selvmotsigelse siden vi i utgangspunktet forutsatte at både a og b skulle være hele tall.

10 kan også skrives som produktet 10 · 1. Da får vi

(a + b)(a − b) = (10)(1) = 10.

Vi må altså ha
a + b = 10
a − b = 1

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 11, det vil si at a = 5,5.

a er heller ikke her et heltall, og vi har igjen en selvmotsigelse.

10 kan ikke skrives som et produkt av positive heltall på noen andre måter, og påstanden er derved bevist ved selvmotsigelse.

I eksempel 3 benyttet vi også prinsippet fra et uttømmende bevis. Det fantes to måter å skrive 10 som et produkt av heltall på, og vi tok for oss begge to.

Oppgave 1:

Finn feilen i følgende resonnement:

Vi påstår at det ikke finnes hele, positive tall, a og b, slik at a2 − b2 = 12.

Som bevis bruker vi selvmotsigelse:

12 kan skrives som produktet 4 · 3. Da har vi

(a + b)(a − b) = (4)(3) = 12.

Vi må altså ha
a + b = 4
a − b = 3

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 7, det vil si at a = 3,5.

a er altså ikke et heltall, noe som er en selvmotsigelse siden vi i utgangspunktet forutsatte at både a og b skulle være heltall.

12 kan også skrives som produktet 12 · 1. Da har vi

(a + b)(a − b) = (12)(1) = 12.

Vi må altså ha
a + b = 12
a − b = 1

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 13, det vil si at a = 6,5.

a er heller ikke her et heltall, og vi har igjen en selvmotsigelse.

Påstanden er derved bevist ved selvmotsigelse.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.
Publisert

Implikasjon og ekvivalens

Et matematisk resonnement kan gå over mange trinn. For å lenke sammen flere trinn, bruker vi ofte implikasjoner, det vi si påstander av typen «A impliserer (medfører) B». Det vil si at vi hevder at hvis påstand A er riktig, er påstand B riktig.

Eksempel 1:

Alle klærne til Johnny er svarte.

Det betyr at hvis påstand A, «klærne tilhører Johnny», er riktig, impliserer det at påstand B, «klærne er svarte», er riktig.

Implikasjon indikerer vi gjerne med en implikasjonspil. A ⇒ B betyr at påstand A impliserer (medfører) påstand B.

Et mer matematisk eksempel:

Eksempel 2:

x = 2 ⇒ x2 = 4 

Å snu en implikasjon er ikke generelt riktig. At A impliserer B, betyr ikke nødvendigvis at B impliserer A.

Eksempel 3:

«Alle klærne til Johnny er svarte.»

Selv om påstand B, «klærne er svarte», er riktig, behøver ikke påstand A, «klærne tilhører Johnny», være riktig. Klærne kan tilhøre hvem som helst, selv om de er svarte.

Eksempel 4:

Vi snur implikasjonspila i eksempel 2, og får 

x = 2 ⇐ x2 = 4

Dette er ikke riktig. Selv om x2 = 4, trenger ikke x være 2. x kan også være −2.

I noen tilfeller kan imidlertid en implikasjon gå begge veier, slik at vi både har A ⇒ B og B ⇒ A. Dette kaller vi en ekvivalens, og indikerer det med en dobbeltpil: A ⇔ B.

Eksempel 5:

2x = 4 ⇔ x = 2

Generelt er det imidlertid slik at hvis A impliserer B, og B er uriktig, vil A være uriktig. I matematisk notasjon uttrykker vi det slik: Hvis A ⇒ B, vil B ⇒ A.

Eksempel 6:

«Alle klærne til Johnny er svarte.»

Det betyr at hvis påstand B, «klærne er svarte», er uriktig, medfører det at påstand A, «klærne tilhører Johnny», er uriktig. Er klærne for eksempel rosa, kan vi konkludere med at de ikke tilhører Johnny.

Et vers fra en barnesang illustrerer dette prinsippet glimrende:

«Min hatt, den har tre kanter. Tre kanter har min hatt. Og har den ei tre kanter, så er det ei min hatt».

Til slutt et par matematiske eksempler.

Eksempel 7:

Hvis x = 2 ⇒ x2 = 4, vil x2 ≠ 4 ⇒ x ≠ 2

Eksempel 8:

I eksempel 2 i artikkelen om ugyldige bevis viste vi at påstanden «alle tall på formen 2p − 1 er primtall hvis p er et primtall» er feil.

Uten at vi går inn på beviset, er det imidlertid slik at påstanden «alle tall på formen 2n − 1 er sammensatte tall hvis n er et sammensatt tall» er riktig.

Hvis påstand A, «n er et sammensatt tall», er riktig, medfører det altså at påstand B, «2n − 1 er et sammensatt tall», er riktig.

Når A ⇒ B, vil B ⇒ A. Det vil si at hvis påstanden «2n − 1 er et sammensatt tall» er uriktig, er påstanden «n er et sammensatt tall» uriktig.

At et tall ikke er sammensatt, betyr at det er et primtall. Vi har altså at følgende påstand er riktig: «Hvis 2n − 1 er et primtall, er n et primtall».

En påstand som er bevist, kalles gjerne et teorem, og en påstand som umiddelbart følger av et teorem, kalles en korollar. Vi har altså:

Teorem: Hvis n er et sammensatt tall, er 2n − 1 et sammensatt tall.

Korollar: Hvis 2n − 1 er et primtall, er n et primtall.

Oppgave 1:

Under følger et «bevis» for at 1 = −1. Hva er feilen i dette «beviset»?

$2 − 1 = 2 − 1$
⇓
$2 − 1 = −1 \cdot (1 − 2)$
⇓
$(2 − 1)^2 = (−1)^2 \cdot (1 − 2)^2$
⇓
$(2 − 1)^2 = 1 \cdot (1 − 2)^2$
⇓
$(2 − 1)^2 = (1 − 2)^2$
⇓
$\sqrt{(2 − 1)^2 }= \sqrt{(1 − 2)^2}$
⇓
$2 − 1 = 1 − 2$
⇓
$1 = −1$

Se løsningsforslag

Kilder

    • Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.
Publisert

Dueslagprinsippet

Dueslagprinsippet er en enkel type bevis som går ut på opptelling. Hvis m objekter blir fordelt på n avdelinger, og m > n, vil minst én avdeling inneholde mer enn ett objekt. Hvis det for eksempel er 110 duer i et dueslag med 100 seksjoner, må det finnes seksjoner med mer enn 1 due.

Eksempel 1:

Påstand: Hvis det største antall hår et menneske kan ha på hodet er 150 000, vil det i en by med 200 000 innbyggere finnes noen som har nøyaktig samme antall hår.

Bevis: Siden det er flere hoder (m = 200 000) enn maksimalt antall hår (n = 150 000), sier dueslagprinsippet at det finnes mennesker som har nøyaktig samme antall hår.

Oppgave 1:

Vi graver etter sokker innerst i klesskapet, der det ligger løse sokker av 5 forskjellige varianter. Hvor mange må vi grave fram for å være sikre på å ha 2 like?

Se løsningsforslag

Kilder

    • Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.
Publisert

Algebraisk bevis

I artikkelen om ugyldige bevis så vi på en sammenheng der det lot til at summen av tre etterfølgende heltall alltid ble lik tre ganger det midterste tallet. Men vi sa at uansett hvor mange eksempler vi finner på at sammenhengen er riktig, er ikke eksempler et gyldig bevis så lenge vi ikke kan teste alle mulighetene. I dette tilfellet kan vi umulig teste alle fordi det finnes uendelig mange etterfølgende tall.

For å bevis sammenhengen kan vi i stedet bruke et algebraisk bevis. I et algebraisk bevis erstatter vi tall med algebraiske symboler. Når vi så bruker algebraiske regler til å manipulere symbolene, vil resultatet vi kommer fram til, være gyldig for alle tall symbolene kan tenkes å stå for.

Eksempel 1:

Vi skal bevise at summen av tre etterfølgende heltall alltid er lik tre ganger det midterste tallet.

Vi representerer det midterste tallet med et algebraisk symbol, for eksempel a. a kan her stå for hvilket som helst heltall. Heltallet før a vil da være a − 1, og heltallet etter a vil være a + 1. Summen av disse tre etterfølgende tallene blir
(a − 1) + a + (a + 1). Organiserer vi leddene i dette uttrykket, får vi a + a + a − 1 + 1 = 3a.

Vi ser at uansett hvilket tall det midterste tallet, a, representerer, blir summen tre ganger dette tallet. Sammenhengen er derved bevist.

Eksempel 2:

Vi skal bevise at summen av to partall alltid er et partall.

Dette kan vi gjøre med et algebraisk bevis. Alle partall er multipler av 2, for eksempel 6 = 2 · 3, −10 = 2(−5), og så videre. Et generelt uttrykk for et partall vil derfor være et 2-tall multiplisert med et algebraisk symbol som representerer et vilkårlig heltall, for eksempel 2t.

Velger vi n og m som symboler for vilkårlige heltall, vil 2n og 2m være to vilkårlige partall. Summen av disse blir 2n + 2m = 2(n + m). Siden uttrykket i parentesen er et heltall, ser vi at summen er på formen 2t, og derved et partall.

I eksempel 2 brukte vi 2n som symbol for det ene tallet og 2m som symbol for det andre. Hadde vi brukt samme symbol for begge, for eksempel 2t, ville det betydd at de to tallene var like. Vi har følgende prinsipp:

Tall som kan være ulike må representeres med forskjellige symboler.

Vi sier ikke at tall representert med forskjellige symboler nødvendigvis må være ulike. Det er mulig at de er ulike, men det er også mulig at de er like. Beviset i eksempel 2 er like gyldig for to forskjellige tall, for eksempel 2 + 4, som for to like tall, for eksempel 2 + 2.

Eksempel 3:

Uriktig påstand: Produktet av to partall er et kvadrattall.

Uriktig bevis: Et partall er et tall på formen 2t, der t er et helt tall. Produktet av to partall kan skrives som 2t · 2t = 2 · 2 · t · t = 22 · t2 = (2t)2. Og vi ser at produktet kan skrives som kvadratet av 2t.

Problemet er at t er brukt som symbol for to tall som kan være ulike. Vi har egentlig bare bevist det opplagte, at et tall multiplisert med seg selv er et kvadrattall. Med forskjellige symboler får vi 2m · 2n = 2 · 2 · m · n = 22 · m · n, som ikke er et kvadrattall hvis m og n er ulike.

Oppgave 1:

Vi påstår at summen av to partall alltid er delelig med 4.

Som algebraisk «bevis» lar vi 2t være et vilkårlig partall. Summen av to partall blir da 2t + 2t = 4t, som er delelig med 4.

Forklar hva problemet med dette «beviset» er, og forklar hva det egentlig er vi har bevist.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Bevis at summen av to oddetall er et partall.

Hint: Et oddetall kan skrives på formen 2t + 1, der t er et heltall.

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

Det kan se ut som vi alltid får 37 når vi dividerer et tresifret tall der sifrene er like, med summen av sifrene.

For eksempel er

${\large \frac{111}{1+1+1}} = {\large \frac{111}{3}} = 37$

og

${\large \frac{111}{2+2+2}} = {\large \frac{222}{6}} = 37$

Bruk et algebraisk bevis til å begrunne at denne sammenhengen gjelder for alle siffer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Hint: En generell representasjon av et tresifret tall med like sifre er a · 100 + a · 10 + a.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.
Publisert

Bevis ved moteksempel

Å ramse opp eksempler på at en påstand er riktig er ikke et gyldig bevis med mindre vi kan ta for oss alle mulighetene som inngår i påstanden. Derimot vil ett eneste eksempel på at påstanden ikke er riktig, et såkalt moteksempel, motbevise den, det vil si gi en konklusjon om at påstanden er uriktig.

Eksempel 1:

Påstand: Alle tall på formen 2p − 1 er primtall hvis p er et primtall.

Denne påstanden undersøker vi i eksempel 2 i artikkelen om ugyldige bevis. Da finner vi at primtallet p = 11 gir det sammensatte tallet 2047. Dette er da et moteksempel som beviser at påstanden er uriktig.

Eksempel 2:

Påstand: Alle primtall er oddetall.

Moteksempel: 2 er et primtall, men ikke et oddetall. Påstanden er derved motbevist.

Påstanden i eksempel 2 er riktig for alle andre primtall enn 2. Det finnes altså uendelig mange tall den er riktig for, men bare ett den ikke er riktig for. Allikevel betyr dette ene moteksempelet at påstanden er uriktig. Med en liten modifikasjon blir imidlertid påstanden riktig:

Eksempel 3:

Påstand: Alle primtall unntatt 2 er oddetall.

Følgende argument vil være et tilfredsstillende bevis for dette: 

Alle partall er delelige med 2. Siden partall større enn 2 derved er delelige med et annet tall enn 1 og seg selv, er de ikke primtall. Siden alle tall enten er partall eller oddetall, må derfor primtallene være oddetall.

Oppgave 1:

Bevis at følgende påstand er uriktig: Alle sammensatte tall større enn hundre består av minst tre primtallsfaktorer.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.
Publisert

Uttømmende bevis

Generelt er det ikke nok å liste opp eksempler for å bevise en påstand. Et unntak er imidlertid tilfeller der eksemplene dekker alle mulighetene som inngår. Eksemplene utgjør da et uttømmende bevis.

Eksempel 1:

Påstand: Det finnes nøyaktig tre heltall, n ∈ [20, 25], som består av nøyaktig to primtallsfaktorer.

Denne påstanden omfatter bare 6 tall, og vi kan bevise den gjennom et uttømmende bevis. Vi setter opp de aktuelle tallene, og viser at påstanden er riktig:

20 = 2 · 2 · 5

21 = 3 · 7

22 = 2 · 11

23 = 23

24 = 2 · 2 · 2 · 3

25 = 5 · 5

Vi ser at de tre tallene 21, 22 og 25 består av nøyaktig to primtallsfaktorer, og påstanden er derved bevist.

Oppgave 1:

Bevis følgende påstand: Det finnes nøyaktig ett heltall i intervallet [20, 25] som består av nøyaktig fire primtallsfaktorer.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.
Publisert

Ugyldige bevis

Vi har funnet ut at hvis vi summerer tre etterfølgende heltall, blir svaret lik tre ganger det midterste tallet. For eksempel er

3 + 4 + 5 = 3 · 4

11 + 12 + 13 = 3 · 12

(−13) + (−12) + (−11) = 3(−12)

I et regneark prøver vi ut ti tusen forskjellige tallsekvenser, og det stemmer alltid. Har vi da bevist påstanden?

Svaret er nei. Det er aldri nok å liste opp eksempler for å bevise en påstand, med mindre vi kan sjekke alle muligheter. Det kan være krevende å akseptere strengheten i dette kravet når noe «opplagt» er riktig. Det kan godt være at vi har funnet fram til en sammenheng som er korrekt, og mange matematiske teoremer har sitt utspring i at noen har hatt en magefølelse for noe. Men vi må følge opp med et allmenngyldig bevis. I tilfellet med summen av tre etterfølgende tall er det vi har funnet ut, faktisk riktig, men begrunnelsen holder ikke.

Noen sammenhenger kan tilsynelatende være riktige når vi tester på noen eksempler, men allikevel ikke være allmenngyldige.

Eksempel 1:

Det kan se ut som om sekvenser av 3-tall etterfulgt av et 1-tall alltid er primtall. Vi sjekker, og finner ut at 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331 og 33333331 alle er primtall.

Imidlertid er ikke dette en allmenngyldig sammenheng. Legger vi på enda et 3-tall, får vi 333333331, som kan faktoriseres som 17 · 19607843, og er derved ikke et primtall. Fortsetter vi å legge på 3-tall, vil resultatet stort sett bli tall som ikke er primtall.

Eksempel 2:

Det kan se ut som alle tall på formen 2n − 1 er primtall hvis n er et primtall. Vi har:

22 − 1 = 3. Primtall.

23 − 1 = 7. Primtall.

25 − 1 = 31. Primtall.

27 − 1 = 127. Primtall.

213 − 1 = 8191. Primtall.

217 − 1 = 131071. Primtall.

219 − 1 = 524287. Primtall.

Men her har vi ikke tatt med n = 11, som gir 211 − 1 = 2047, som kan faktoriseres som 23 · 89, og derved ikke er et primtall. Og det finnes uendelig mange andre primtall, n, der 2n − 1 ikke er et primtall.

Oppgave 1:

Det kan se ut som formelen n2 − n + 41, der n er et heltall større eller lik 0, er en primtallsgenerator. Setter vi inn n fra 0 til 20, får vi 41, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383 og 421, som alle er primtall. Prøv noen flere n selv, og sjekk om du får primtall. Ei liste over primtall finner du her: https://www.mathsisfun.com/numbers/prime-numbers-to-10k.html

Gjør så en vurdering av om primtallsgeneratoren fungerer eller ikke.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.
Publisert

Visuelle bevis

Det visuelle er viktig for menneskers forståelse, en må gjerne visualisere ting for å forstå dem. Å tegne en skisse kan for eksempel ofte være god hjelp for få grep om et problem.

I et visuelt bevis er visuell tankegang viktig, selv om beviset ikke nødvendigvis er basert utelukkende på det visuelle.

Eksempel 1:

Vi skal bevise visuelt at summen av to oddetall er et partall.

Vi illustrerer oddetall som en gruppe ruter der det er 1 rute som ikke er i par, og vi ser at når vi føyer sammen to slike grupper, havner alle rutene i par.

Visuelt oddetalls-bevis

Eksempel 2:

Vi skal bevise visuelt at produktet av to oddetall er et oddetall.

Et oddetall er et tall på formen 2n + 1, der n er et helt tall. Vi illustrerer et oddetall som et rutenett med et odde antall ruter, for eksempel 9, som i figuren under.

Tallet 9 illustrert som ruter horisontalt

Her har vi med blå streker markert at alle rutene unntatt 1 kan organiseres i par, altså at 9 = 2 · 4 + 1.

Tallet 7 illustrert som ruter vertikalt

Her har vi med blå streker igjen markert at alle rutene unntatt 1 kan organiseres i par, altså at 7 = 2 · 3 + 1.

Produktet av disse tallene kan vi illustrere som vist under.

Tallet 7*9 illustrert som ruter

Som vi ser, inngår alle rutene unntatt 1 i par, og vi kan derfor konkludere med at produktet også er et oddetall.

Her har vi brukt 9 · 7 som eksempler, men det er lett å innse at prinsippet vil være det samme for alle oddetall.

Kaller vi det vertikale oddetallet 2n + 1 og det horisontale 2m + 1, ser vi i figuren under at vi har 2n · 2m = 4nm gule ruter, 2n blå ruter, 2m grønne ruter og 1 rød rute.

Illustrasjon av produktet av to oddetall

Altså er (2n + 1)(2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1.

Det gir en illustrasjon av regelen for å multiplisere to parentesuttrykk med to ledd.

I eksempel 2 brukte vi forskjellige oddetall i horisontal og vertikal retning, 9 og 7. Dersom vi skal bevise noe som gjelder for alle kombinasjoner av to tall, kan det være at vi trekker en slutning som ikke er generell hvis vi velger to like tall.

Eksempel 3:

Det følgende er et feilaktig visuelt bevis for at produktet av to partall er et kvadrattall.

Et partall er et tall på formen 2n, der n er et helt tall. Vi illustrerer et partall som et rutenett med et par antall ruter, for eksempel 6, som i figuren under.

Tallet 6 illustrert som ruter horisontalt

Her har vi med blå streker markert at alle rutene kan organiseres i par, altså at 6 = 2 · 3.

Så illustrerer vi det samme partallet som et vertikalt rutenett, som i figuren under.

Tallet 6 illustrert som ruter vertikalt

Produktet av disse tallene kan vi illustrere som vist under.

Produktet av like partall illustrert med ruter

Som vi ser, er formen kvadratisk, og vi slutter derfor at rutenettet representerer et kvadrattall.

Generelt er imidlertid ikke dette riktig. For eksempel er 4 · 6 = 24 ikke et kvadrattall. Problemet med «beviset» er at vi har brukt samme tall både horisontalt og vertikalt, og egentlig bare bevist det opplagte, at (2n)2 er et kvadrattall.

Oppgave 1:

Lag et visuelt bevis for første kvadratsetning, altså at (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Hint: Tegn et kvadrat av ruter med sidelengde a + b.

Se løsningsforslag

Eksempel 4:

Vi skal bevise Pytagoras′ setning.

Pytagoras′ setning sier at i en rettvinklet trekant vil summen av kvadratene på katetene være lik kvadratet på hypotenusen.

Vi tar utgangspunkt i en rettvinklet trekant med kateter a og b, og hypotenus c:

Rettvinklet trekant

Ifølge Pytagoras har vi i denne trekanten at a2 + b2 = c2.

For å bevise at a2 + b2 = c2, lager vi et kvadrat med sidelengder a + b. Sidelengden er altså lik summen av lengdene til katene i trekanten:

Kvadrat

Så legger vi fire kopier av trekanten inn i kvadratet, slik at hypotenusene vender innover:

Trekanter i firkant, variant 1

Vi ser at det blå, altså den delen av kvadratet som ikke er dekket, er et nytt kvadrat med sidekant c, altså med areal c2.

Så flytter vi rundt på trekantene, og legger dem parvis i motstående hjørner:

Trekanter i firkant, variant 2

Nå ser vi at det blå, altså den delen av kvadratet som ikke er dekket, består av to nye kvadrater med sidekanter henholdsvis a og b, altså med arealer a2 og b2.

Siden vi ikke har endret på noen arealer, bare flyttet rundt på trekantene, må de blå områdene være like store i begge figurene. Det vil si at areal a2 pluss areal b2 er det samme som areal c2, altså at a2 + b2 = c2, som var det vi skulle vise.

Kilder

    • Hinna, K. R. C., Rinvold, R. A., Gustavsen, T. S. (2011). QED 5-10. Høyskoleforlaget.
    • Hovtun, G. (2020). Mer matematikk, takk. Universitetsforlaget.
Publisert

Intuitive bevis

Et første møte med bevis og bevisteknikk kan være intuitive bevis, der vi argumenterer for en påstand uten nødvendigvis å bruke matematiske symboler og formell logikk.

Eksempel 1:

Vi skal argumentere for at tall er delelige med 2 når siste siffer er delelig med 2.

Alle hele tall kan skrives som en sum av enere, tiere, hundrere, tusener, osv. Bortsett fra enerne, er alle disse delelige med 10. Det betyr at summen av et visst antall tiere, hundrere, tusener osv. også er delelig med 10. Tall som er delelige med 10, er også delelige med 2. Når vi så legger 2 til et tall som er delelig med 2, får vi enda et tall som er delelig med 2.

Dette er en uformell variant av beviset for «toerregelen» i artikkelen om delelighet.

Eksempel 2:

Vi skal argumentere for at svaret alltid et partall når vi adderer to oddetall.

Vi tenker oss en gruppe med et odde antall personer. Ber vi personene danne par, vil det bli 1 til overs. For eksempel vil en gruppe på 9 personer kunne danne 4 par med 1 til overs, og en gruppe på 13 personer kunne danne 6 par med 1 til overs. Så tenker vi oss en annen gruppe med et odde antall personer. Ber vi personene der danne par, vil det bli 1 til overs der også. Det er altså 1 til overs i hver gruppe, men disse to kan jo også danne et par. Alle personene inngår da i par, og summen er derfor et partall.

Kilder

    • Hinna, K. R. C., Rinvold, R. A., Gustavsen, T. S. (2011). QED 5-10. Høyskoleforlaget.