Stikkord: eksponentiell modell

Publisert

Eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjonenes egenskaper

I artikkelen om potensfunksjoner så vi at en potensfunksjon er på formen f(x) = axb, der a og b er reelle tall.

I potensfunksjonen opphøyer vi en variabel i et tall. Hvis vi snur rundt på det og i stedet opphøyer et tall i variabelen, får vi en eksponentialfunksjon, som er på formen f(x) = kax, der k og a er reelle tall, a > 0.

a kalles funksjonens vekstfaktor fordi den styrer hvor mye funksjonsverdien endrer seg når x endrer seg.

k kalles funksjonens startverdi, for ved starten, altså når x = 0, får vi f(0) = ka0 = k · 1 = k.

I en potensfunksjon opphøyer vi altså variabelen i en konstant, mens vi en eksponentialfunksjon opphøyer en konstant i variabelen.

Eksempel på eksponentialfunksjoner er $2^{\large x}$ og $3\cdot \large (\frac{1}{5})^x$.

Definisjonsmengden til eksponentialfunksjoner er alle reelle tall, $D_f = \mathbb R$.

Verdimengden til eksponentialfunksjoner er alle positive tall, $V_f = (0, \infty)$.

Eksponentialfunksjoner med a > 1 går mot uendelig når x går mot uendelig, og mot 0 når x går mot minus uendelig.

Eksponentialfunksjoner med 0 < a < 1 går mot 0 når x går mot uendelig, og mot uendelig når x går mot minus uendelig.

Eksempel 1:

Bildet under viser grafene til funksjonene

$5^{\large x}$, grønn graf.

$2^{\large x}$, blå graf.

$1^{\large x}$, rød graf.

$\large(\frac{1}{2})^x$, oransje graf.

$\large(\frac{1}{5})^x$, lyseblå graf.

Grafene til et utvalg eksponentialfunksjoner

Vi ser at:

Alle grafene går gjennom punktet (0,1).

Alle grafene går gjennom punktet (1, a). Det vil si at 2x går gjennom punktet (1, 2), 5x går gjennom punktet (1, 5), etc.

Funksjonsverdien er alltid større enn 0.

Grafer med vekstfaktor a > 1 blir krappere jo større a er. De stiger mot høyre, har funksjonsverdi mellom 0 og 1 når x < 0 og funksjonsverdi større enn 1 når x > 0.

Grafer med vekstfaktor a = 1 er en rett linje.

Grafer med vekstfaktor a < 1 blir krappere jo mindre a er. De synker mot høyre, har funksjonsverdi større enn 1 når x < 0 og funksjonsverdi mellom 0 og 1 når x > 0.

Bruker vi regnereglene for potenser, ser vi at $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a})^{\large x} = \frac{\displaystyle 1^{\large x}}{\displaystyle a^{\large x}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^{\large x}} = a^{\large −x}$. Det betyr at $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5})^{\large x}$ kan skrives som $5^{\large −x}$ og $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})^{\large x}$ som $2^{\large −x}$. Det forklarer at grafparet $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5})^{\large x}$ og $5^{\large x}$ og grafparet $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})^{\large x}$ og $2^{\large x}$ i eksempel 1 er speilversjoner av hverandre, med y-aksen som symmetriakse.

Eksempel 2:

Setter vi kr 1000 i banken, og får 2 % rente pr. år, har vi etter 1 år

kr 1000 · 1,02

Siden vi får rente av rentene, har vi etter 2 år

kr (1000 · 1,02) · 1,02, altså kr 1000 · (1,02)2

Etter 3 år har vi

kr ((1000 · 1,02) · 1,02) · 1,02, altså kr 1000 · (1,02)3

og etter x år har vi

kr 1000 · (1,02)x

Vi ser at dette er en eksponentialfunksjon på formen f(x) = kax, der k = 1000 og a = 1,02. Vekstfaktoren a er her altså 1 + 2 % = 1 + 0,02 = 1,02.

Tallet e

I eksempel 2 la vi til renter en gang hvert år. Men vi kan jo også tenke oss at vi gjør det hver måned. Da vil vi få rentes rente allerede etter 1 måned. Legger vi til renter hver dag, får vi rentes rente etter 1 dag. Slik kan vi fortsette: Hver time, hvert minutt, hvert sekund. Til slutt ender vi opp med at vi legger til rente kontinuerlig. Og kontinuerlig rente er faktisk noe som brukes i virkeligheten. Dersom vi setter inn kr 1000 til 2 % kontinuerlig rente, vil vi etter x år ha kr 1000 · e0,02x. Dette er en eksponentialfunksjon på formen f(x) = ax, men her er ikke a et rasjonalt tall som vi har sett tidligere, for eksempel 2 og 1,02, men et irrasjonalt tall som heter e. e kalles Euler-tallet, oppkalt etter matematikeren Leonard Euler. e opptrer i mange sammenhenger både i naturen og i matematikken. De første sifrene til e er 2,71828.

Oppgave 1:

Under vises fire grafer i grønt, blått, rødt og oransje. De tilhører funksjonene

$f(x) = 2^{\large x}$

$g(x) = e^{\large x}$

$h(x) = {\large (\frac{1}{3})}^{\large x}$

$p(x) = x^{\large 3}$

men ikke i den rekkefølgen

Diverse grafer

  1. Hvilken av funksjonene er ikke en eksponentialfunksjon?
     
  2. Hvilken funksjon hører til hvilken graf?

Se løsningsforslag

Eksponentielle modeller

I artikkelen om representasjonsformer

så vi på lineære modeller. I en lineær modell er endringen konstant over tid. Vi trenger for eksempel en lineær modell for å beregne hvor langt vi har kjørt etter en viss tid når farten er konstant. I en lineær modell vil grafen være en rett linje, og eventuelle målepunkter vil ligge i nærheten av denne linjen.

I en eksponentiell modell, derimot, vil økningen være avhengig av hvor mye vi har fra før. La oss ta for oss eksempel 2 på nytt. Vi setter inn kr 1000 i banken med en årlig rente på 2 %. Hvis vi ikke hadde fått rentes rente, ville den årlige tilveksten vært konstant, kr 20. Vi ville da hatt en lineær modell. Med rentes rente vil tilveksten første år også være kr 20, men mellom år 19 og 20, for eksempel, vil den være

kr 1000 · (1,02)20 − 1000 · (1,02)19 ≈ kr 29,13.

Mellom år 99 og år 100 vil den være

kr 1000 · (1,02)100 − 1000 · (1,02)99 ≈ kr 142,05.

Mellom år 999 og år 1000 vil den være

kr 1000 · (1,02)1000 − 1000 · (1,02)999 ≈ kr 7 809 110 816,83.

Grafene under viser hvor hvordan beløpet i banken endrer seg over 200 år. Den blå grafen uten rentes rente – altså en lineær modell, den røde grafen med rentes rente – altså en eksponentiell modell.

Grafer som viser vekst av innskuddsbeløp med og uten rentes rente

Eksempel 3:

I eksempel 2 har vi en vekstfaktor, a, som er større enn 1, og grafen stiger derfor mot høyre. Et eksempel der vekstfaktoren ligger mellom 0 og 1, er følgende:

Vi kjøper en bil til kr 250 000 som faller i verdi med 13 % i året. Et verdifall på 13 % betyr en vekstfaktor på 1 − 0,13 = 0,87. Grafen til denne modellen er vist under, for de første 12 årene:

Graf som viser verdifall etter en eksponentiell modell

Siden vekstfaktoren a < 1, synker grafen mot høyre. Vi ser at etter x = 5 år har bilens verdi sunket til omtrent det halve. Dette er et realistisk prisfall på nye biler.

Oppgave 2:

Elevtallet på en skole i 10 år etter 1989 er gitt i tabellen under:

År etter 1989 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antall elever 100 110 121 133 146 161 177 195 214 236 259
  1. Foreslå en matematisk modell for elevtallet som funksjon av antall år etter 1989. Begrunn hvorfor du velger en lineær eller eksponentiell modell.
     
  2. Samme modell er gyldig for hele perioden mellom 1985 og 2005. Bruk modellen til å anslå elevtallet etter 12 år, og 2 år før 1989.

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

Den årlige prisstigningen på boliger i et område har vært 6 % de siste fem årene, og forventes å være 6 % også de neste to årene.

  1. Sett opp en matematisk modell for prisen på en bolig i denne perioden, når boligen koster 3 millioner kroner i dag.
     
  2. Hva vil boligen koste om 2 år ifølge denne modellen?
     
  3. Hva kostet boligen for 4 år siden ifølge denne modellen?

Se løsningsforslag

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
    • Selvik, B. K. (2007). Algebra og funksjonslære. Caspar forlag
Publisert

Representasjonsformer

Modeller

Vi har i flere artikler møtt funksjoner i tre forskjellige representasjonsformer:

  • Funksjonsforskrift, for eksempel f(x) = x2 + 3.
  • Graf.
  • Virkelig situasjon, for eksempel en ball i fritt fall.

En fjerde representasjonsform er tabeller, der vi har notert et sett med observasjoner. Da ønsker vi gjerne å finne en funksjonsforskrift som passer til dataene, noe vi kaller vi å lage en matematisk modell.

Eksempel 1:

Familien Hansen kjører hjemmefra til Oslo, en tur på ca. 320 kilometer. De første timene noterer barna hvor langt de har kjørt hvert kvarter:

 Kvarter 1 2 3 4 5 6 7 8
 Kilometer 22 38 58 80 104 122 138 161

Vi ser at de har kjørt om lag 20 kilometer hver gang de noterer. Et forslag til modell kan da være at de kjører med konstant fart, 20 km pr. kvarter. Det kan vi representere ved funksjonen f(x) = 20x. Et plott av punktene og f(x) er vist under.

En lineær modell

Vi ser at modellen i eksempel 1 ikke er helt nøyaktig, fordi grafen ikke går gjennom alle punktene. Dette skyldes at farten ikke har vært helt konstant. Unøyaktigheter vil ofte oppstå når vi modellerer fenomener fra virkeligheten. Modellen later allikevel til å være rimelig god, i dette tilfellet blir det nok vanskelig å finne noe bedre.

Vi må også være oppmerksom på at modellen har begrenset gyldighetsområde. Den kan ikke være gyldig for mer enn det antall timer turen varer. Og kommer familien til et sted med lavere fartsgrense eller dårligere vei, må de endre fart, og modellen er ikke lenger gyldig.

En modell kan ofte brukes til å si noe om fremtiden. I eksempel 1 kan vi for eksempel forutsi at familien etter 3 timer, altså 12 kvarter, vil ha kjørt om lag f(12) = 20 · 12 = 240 km.

Et svært interessant eksempel på matematisk modellering er himmellegemenes bevegelser. Gjennom århundrer er himmellegemene blitt observert, og mer og mer nøyaktige modeller for deres bevegelser utarbeidet. Ved hjelp av disse modellene kan en nå forutse astronomiske begivenheter som solformørkelser, måneformørkelser, kometbesøk og venuspassasjer på sekundet.

Eksempel 1 er en lineær modell fordi vi modellerer med en lineær funksjon, altså en funksjon på formen f(x) = ax + b. Men mange fenomener vil ikke være lineære.

Eksempel 2:

Et plott av antall mobilabonnementer i Norge fra 1980 til 2000 er vist under:

En eksponentiell modell

Grafen til en lineær funksjon er ei rett linje, og vi ser at vi ikke kan klare å trekke ei rett linje i nærheten av alle punktene. Derfor kan vi ikke bruke en lineær modell. I dette tilfellet har vi eksponentiell vekst, og må bruke en eksponentiell modell, slik det er beskrevet i artikkelen om eksponentialfunksjoner.

Lineære modeller

Som nevnt i artikkelen om polynomfunksjoner, er det nok å finne to punkter for å tegne grafen til en lineær funksjon, den er ei rett linje. Har vi gitt to punkter, kan vi også gå andre veien og finne funksjonsforskriften til grafen som går gjennom punktene. Det samme hvis vi kjenner ett punkt og stigningstallet til linja:

Koeffisienten a i den lineære funksjonen f(x) = ax + b er funksjonens stigningstall, og b er skjæringspunktet med y-aksen. Hvis a > 0, skrår linja oppover mot høyre. Hvis a < 0, skrår linja nedover mot høyre. Hvis a = 0, går linja parallelt med x-aksen i avstand b.

Hvis vi kjenner stigningstallet til ei linje og et punkt (x1, y1) på linja, kan vi finne funksjonsforskriften ved å sette a lik stigningstallet og finne b av likningen y1 = ax1 + b ⇒ b = y1 − ax1.

Oppgave 1:

Stigningstallet til ei linje er −1, og den går gjennom punktet (1, 2). Finn funksjonsforskriften for linja.

Se løsningsforslag

Hvis stigningstallet, a, i utgangspunktet er ukjent, men vi kjenner to punkter, (x1, y1) og (x2, y2) på linja, kan vi beregne a. Stigningstallet sier hvor mye y endrer seg når x endrer seg, så
$a = \frac{\displaystyle y_2 – y_1}{\displaystyle x_2 – x_1}$

Oppgave 2:

Ei linje går gjennom punktene (−2, −1) og (1, 5). Finn funksjonsforskriften for linja.

Se løsningsforslag

Grafer

Som vi har sett i flere artikler, er grafer en fin måte å danne seg et bilde av en funksjon på. For å tegne en graf, lager vi først et koordinatsystem med x– og y-akse i rett vinkel på hverandre, der x-aksen går horisontalt mot høyre, og y-aksen går vertikalt oppover. Dette kalles et kartesisk koordinatsystem, oppkalt etter matematikeren og filosofen René Descartes.

Så velger vi en del x-verdier, regner ut den tilhørende y-verdien og plotter punktene (x, y) i koordinatsystemet. Deretter trekker vi ei linje mellom dem. 

Har vi en lineær funksjon, er det nok med to punkter for å tegne grafen, som er ei rett linje. For andre funksjoner kan det kreves en mengde punkter for å få en god graf.

Ofte bruker vi dataprogrammer som GeoGebra til å tegne grafer, men å tegne en graf for hånd gir styrket forståelse.

Når vi tegner en graf, må vi også bestemme oss for hvilke verdier vi vil ha på aksene. Det finnes ingen fasit på dette, men som en tommelfingerregel bør vi velge verdier som gir en stor og tydelig graf.

Forholdet mellom verdiene på x– og y-aksen vil også ha betydning for hvordan grafen ser ut. Begge figurene under viser for eksempel grafen til f(x) = x2, men i det ene bildet er forholdet mellom aksene 1:1 og i det andre 1:10. Det siste gir en mye mer flattrykt graf.

Eksempel på akseverdienes betydning for grafens utseende Eksempel på akseverdienes betydning for grafens utseende

Akseverdiene trenger heller ikke alltid starte på null. I eksempel 2, med mobilabonnementene, starter for eksempel x-verdien på 1978, det ville være meningsløst å starte på 0 og ha en akse full av år da det ikke fantes mobiltelefoner.

Å velge «smarte» verdier på aksene kan brukes til å lage en graf som skaper et ønsket inntrykk. Dette ser vi av og til i media. Plottet under viser antall etterforskede forbrytelser i perioden 1997 til 1999. Den gir inntrykk av en formidabel økning, mens økningen i virkeligheten bare er ca. 10 %. Dette inntrykket skapes ved at vi på y-aksen ikke har startet på 0, men på ca. 376 000.

Eksempel på akseverdienes betydning for grafens utseende

Janviermatrisen

En systematisk sammenstilling av de 4 representasjonsformene finner vi i Janviermatrisen, eller Janviers tabell.

Fra/Til Situasjon Tabell Graf Funksjonsforskrift
Situasjon   Måling (1) Skisse (2) Modellering (3)
Tabell Avlesning (4)   Plotting (5) Tilpasning (6)
Graf Tolkning (7) Avlesning (8)   Kurvetilpasning (9)
Funksjonsforskrift Gjenkjenning (10) Beregning (11) Plotting (12)  

De forskjellige overgangene er:

  1. Måling. Vi utfører en aktivitet, gjør målinger underveis, og setter disse opp i en tabell.
     
  2. Skisse. Vi utfører en aktivitet og skisserer en graf som illustrerer aktiviteten, for eksempel fart som funksjon av tiden.
     
  3. Modellering. Vi utfører en aktivitet og prøver å finne en funksjonsforskrift som beskriver aktiviteten.
     
  4. Avlesning. Vi leser av innholdet i en tabell og beskriver en aktivitet disse dataene passer med.
     
  5. Plotting. Vi tegner punktene i en tabell inn i et koordinatsystem.
     
  6. Tilpasning. Basert på dataene i en tabell prøver vi å finne en funksjonsforskrift som vil gi samme data.
     
  7. Tolkning. Vi prøver å finne en virkelig situasjon som samsvarer med en graf.
     
  8. Avlesning. Vi leser av grafen for et antall x-verdier, finner de tilhørende y-verdiene og setter resultatet inn i en tabell.
     
  9. Kurvetilpasning. Vi prøver å finne en funksjonsforskrift som passer til grafen.
     
  10. Gjenkjenning. Vi prøver å finne en situasjon funksjonsforskriften beskriver.
     
  11. Beregning. Vi setter et antall x-verdier inn i en funksjon, får ut de tilhørende y-verdiene og setter resultatene opp i en tabell.
     
  12. Plotting. Som i punkt 11, men vi tegner en graf basert på x– og y-verdiene i stedet for å lage en tabell.

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
    • Selvik, B. K. (2007). Algebra og funksjonslære. Caspar forlag