Stikkord: funksjonsdrøfting

Publisert

Funksjonsanalyse med GeoGebra

I denne artikkelen skal vi se hvordan vi kan bruke GeoGebra til å lage grafer og punkter, finne funksjonsverdier, skjæringspunkter, ekstremalpunkter, vendepunkter og asymptoter, samt lage verditabeller og bruke glidere.

Eksempel 1:

Vi skal studere funksjonen f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1. Vi starter med å skrive inn funksjonsforskriften i inntastingsfeltet. Potenser angis med en hatt (^), så det blir
x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 5x – 1. Grafen kommer opp i grafikkfeltet mens vi skriver, og når vi trykker på linjeskift-tasten, kommer funksjonsforskriften opp i algebrafeltet:

Graf til en fjerdegradsfunksjon i GeoGebra

Det kan være at vi må justere på akseverdiene for å få bildet slik som vist i eksempel 1. For å justere på akseverdiene åpner vi innstillinger-dialogboksen ved å velge «Rediger» – «Egenskaper», klikker på trekantsymbolet, og velger min- og maksverdier for x og y. I bildet over er «x-min» = -6, «x-max» = 3, «y-min» = -8, «y-max» = 10. (I stedet for å velge fra hovedmenyen kan vi også få opp innstillinger-dialogboksen ved å høyreklikke i grafikkfeltet eller på funksjonsforskriften i algebrafeltet og velge «Egenskaper»).

Punkter

Det finnes flere måter å lage punkter på, beskrevet i brukermanualen. Her skal vi lage punkter ved å skrive inn koordinatene, (x, y), i inntastingsfeltet, for eksempel (2, 3) eller (-2, 1). Punktene dukker opp både i algebrafeltet og i grafikkfeltet, og gis navn fortløpende med store bokstaver, A, B, C, etc. Vi kan også gi punktene egne navn, da skriver vi navnet og et likhetstegn foran koordinatene, for eksempel Origo = (0, 0). Et punktnavn kan altså bestå av flere bokstaver. NB! Første bokstav i navnet må være stor (versal), ellers blir punktet tolket som en vektor.

Funksjonsverdier

Med funksjonsverdien mener vi den verdien en funksjon gir ut når vi putter inn en gitt x-verdi. For å finne en funksjonsverdi, skriver vi funksjonsnavnet med den ønskede x-verdien i parentes i inntastingsfeltet. Har vi lagt inn en funksjon, f(x), finner vi for eksempel verdien til f i x = 1 ved å skrive f(1). Funksjonsverdien kommer opp i algebrafeltet, med navnet a. Navnene tildeles fortløpende på samme måte som for punkter, a, b, c, etc., men kan også gis egne navn på samme måte, for eksempel start = f(0). Vi kan fritt bruke både store og små bokstaver.

Basert på x-verdien og den tilhørende funksjonsverdien kan vi lage punkter på grafen til f(x). Har vi for eksempel funnet to funksjonsverdier, a = f(1) og b = f(−1), skriver vi (1, a) og (-1, b) i inntastingsfeltet.

Vi kan også lage et punkt på grafen uten å finne funksjonsverdien eksplisitt først. Vil vi for eksempel lage et punkt på grafen der x-verdien er −2, skriver vi (-2, f(-2)).

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å tegne grafen til funksjonen g(x) = x3 − 4x + 2, og plott punktene på grafen som har x-verdi −1 og 1. Kall punktene A og B.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

NB! I den løsningen som vises på filmen heter funksjonen z(x). Nå godtar ikke lenger GeoGebra z som funksjonsnavn, så oppgaven spør derfor etter g(x). Når du ser filmen, må du bare derfor huske å skrive g alle steder filmen sier z.

Skjæringspunkter

Med GeoGebra kan vi finne skjæringspunktene mellom to kurver, eller mellom en kurve og aksene. En enkel måte å gjøre det på er å velge «Skjæring mellom to objekt» fra menyen som vist under.

Menyvalg for å finne skjæring mellom to punkter i GeoGebra

Deretter klikker vi på kurvene/aksene vi vil finne skjæringspunktene mellom. Bildet under viser skjæringspunktene mellom
f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1 og x-aksen.

Skjæring mellom graf og x-akse i GeoGebra

Disse punktene representerer de fire løsningene til fjerdegradslikningen
 x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1 = 0.

Ekstremalpunkter, nullpunkter og vendepunkter

Med GeoGebra kan vi finne en funksjons ekstremalpunkter, det vi si maksimums- og minimumspunkter, nullpunkter og vendepunkter.

I det følgende forutsetter vi at funksjonen f(x) er en polynomfunksjon. GeoGebra har mulighet for å finne ekstremalpunkter og nullpunkter til andre funksjonstyper også, men kommandoene krever flere parametere, og vi går ikke inn på det her. Sjekk i brukermanualen. Vendepunkter kan vi bare finne i polynomfunksjoner.

Ekstremalpunktene finner vi ved å skrive ekstremalpunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel ekstremalpunkt(f).

Nullpunktene finner vi ved å skrive nullpunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel nullpunkt(f). Nullpunktene er de samme som vi finner ved å be om skjæringspunktene mellom kurven og x-aksen.

Vendepunktene finner vi ved å skrive vendepunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel vendepunkt(f).

Oppgave 2:

Ta utgangspunkt i funksjonen f(x) = x3 + 2x2 − x − 2.

      1. Bruk GeoGebra til å finne ekstremalpunktene til funksjonen.
         
      2. Bruk GeoGebra til å finne funksjonens vendepunkt.
         
      3. Bruk GeoGebra til å løse likningen x3 + 2x2 − x − 2 = 0.

Se løsningsforslag

​Asymptoter

GeoGebra kan finne både horisontale, vertikale og skrå asymptoter. For å finne asymptotene til en funksjon skriver vi asymptote i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel asymptote(f).

Asymptotene presenteres i form av ei liste. Hvis en funksjon ikke har noen asymptoter, er lista tom.

Oppgave 3:

Finn eventuelle asymptoter til funksjonene

      1. $f(x) = 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 4}$
         
      2. $g(x) = x^2 + 3x − 2$

Se løsningsforslag

Lage verditabell

Ønsker vi å lage mange punkter langs en graf, er det tungvint å skrive inn x-verdiene én og én slik vi gjorde tidligere. Mye mer effektivt er det å bruke regneark-funksjonen til å generere en mengde punkter automatisk. Hvordan dette gjøres, er det lettest å vise ved hjelp av en film.

SkjermfilmSe film om å lage verditabell
 

Oppgave 4:

Tegn grafen til f(x) = x3 − 4x + 2 og bruk verditabell til å plotte punkter på grafen med x-verdier fra −2 til 2 i sprang på 0,2.

Det er ikke laget eget løsningsforslag til denne oppgaven, men den er nesten helt lik det som vises i filmen om å lage verditabell, så bruk filmen til hjelp.

Bruke glidere

Av og til ønsker vi å se hvordan grafen til en funksjon endrer seg når en konstant endrer seg. For eksempel studere hvordan stigningen til grafen til f(x) = ax + b endrer seg når a endrer seg, og hvordan skjæringspunktet med y-aksen endrer seg når b endrer seg.

Til det kan vi bruke glidere. En glider som heter a er vist under. I GeoGebra kan vi klikke på prikken og dra den mot høyre for å øke verdien til a, og mot venstre for å redusere verdien til a.

Glider i GeoGebra

For å sette inn en glider, velger vi fra menyen som vist under:

Velge glider fra menyen i GeoGebra

Deretter klikker vi på stedet i grafikkfeltet der vi vil ha glideren.
Vi får opp en dialogboks som vist under:

Dialogboks for å angi glider-data

Det viktigste her er å velge riktig navn. GeoGebra foreslår a som navn på første glider, b som navn på andre og så videre. Dette navnet må samsvare med parameteren vi skal undersøke. Dersom vi for eksempel skal undersøke k i funksjonen f(x) = kx2, må glideren hete k.

Når vi har valgt navn, må vi velge intervall, det vil si hvilket tallområde glideren skal dekke. I dialogboksen over er «Min» = -5 og «Maks» = 5, det betyr at glideren dekker intervallet [−5, 5]. Når den står helt til venstre, har den verdi −5, og når den står helt til høyre har den verdi 5.

Vi kan også velge animasjonstrinn, det vil si hvor mye verdien endrer seg når vi drar i glideren. I dialogboksen over er animasjonstrinnet «0.1», det vil si at hvis glideren står helt til venstre og vi drar den mot høyre, vil verdiene bli −5,0, −4,9, −4,8, … , 5.0.

Oppgave 5:

Bruk glidere i GeoGebra til å studere hvordan forskjellige valg av n påvirker grafen til funksjonen f(x) = xn. La n variere mellom hele tall fra 0 til 10.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

GeoGebra-filSe den tilhørende GeoGebra-fila
 

Oppgave 6:

I et fysikkforsøk varmer en gruppe elever opp vann til det koker, mens de måler temperaturen hvert minutt. Temperaturen stiger en stund lineært med tida, men stopper på 100 grader.

I perioden mellom 10 og 14 minutter måler de følgende:

Tid (min) 10 11 12 13 14
Temperatur (grader Celsius) 60 64 70 76 80

Legg målingene inn som punkter i GeoGebra, og bruk glidere til å anslå en funksjonsforskrift for en lineær funksjon, f(t), som kan brukes som modell for forsøket. La gliderne angi hele tall. (Du skal altså finne forskriften at + b for ei rett linje som går nærmest mulig målepunktene, der a og b er hele tall, og t er tida).

        1. Hvilken funksjonsforskrift fant du?
           
        2. Bruk funksjonsforskriften til å anslå hvilken temperatur vannet hadde da forsøket startet.
           
        3. Bruk funksjonsforskriften til å anslå hvor mye temperaturen stiger per minutt.
           
        4. Kan funksjonsforskriften brukes til å anslå hvilken temperatur vannet vil ha etter 30 minutter?

Se løsningsforslag

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Funksjonsdrøfting

Vi har nå sett på en funksjons eventuelle asymptoter, kritiske punkter og vendepunkter. I denne delen samler vi trådene og utfører funksjonsdrøfting.

Hva er funksjonsdrøfting?

Med å drøfte en funksjon mener vi å finne fram til funksjonens viktigste egenskaper, og eventuelt skissere en graf på bakgrunn av disse.

Vi undersøker:

  • Er funksjonen kontinuerlig? Hvis ikke, har den noen vertikale asymptoter?
     
  • Hva skjer med funksjonsverdien når den uavhengige variabelen går mot pluss/minus uendelig? Finner vi da noen horisontale asymptoter eller skråasymptoter?
     
  • Hvilke karakteristiske punkter har funksjonen: Skjæringspunkter med aksene? Globale eller lokale maksimums- eller minimumspunkter? Terrassepunkter? Vendepunkter?
     
  • Hva er funksjonens monotoniegenskaper: Hvor er den stigende og avtagende? Hvor den er konkav og konveks?

Drøfting av en polynomfunksjon

Eksempel 1:

Vi skal drøfte funksjonen f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x.

Dette er en polynomfunksjon, den er følgelig kontinuerlig og har ingen asymptoter. Det er leddet med høyeste potens av x som bestemmer hva som skjer når x → ±∞.

Når x → +∞, vil x3 → +∞, og når x → −∞, vil x3 → −∞.

Skjæringspunktet med y-aksen finner vi ved å sette x = 0 inn i funksjonen: f(0) = 0.

Så skjæringspunktet med y-aksen er (0, 0).

Skjæringspunkter med x-aksen finner vi ved å løse likningen f(x) = 0. Vi får 2x3 − 3x2 − 12x = 0. Generelt forventes vi ikke å kunne løse en tredjegradslikning, men her kan vi sette x utenfor parentes, og får x(2x2 − 3x − 12) = 0.

Så x = 0 er en løsning.

Løser vi så andregradslikningen 2x2 − 3x − 12, får vi

$x_1 = {\large \frac{3+ \sqrt{105}}{4}} \approx 3{,}31$ og $x_2 = {\large \frac{3− \sqrt{105}}{4}} \approx −1{,}81$.

Så skjæringspunktene med x-aksen er om lag (−1,81, 0), (0, 0) og (3,31, 0).

Vi deriverer funksjonen og får f′(x) = 6x2 − 6x −12.

Løser vi likningen 6x2 − 6x −12 = 0, får vi x1 = 2 og x2 = −1.

De tilhørende funksjonsverdiene er f(2) = −20 og f(−1) = 7.

Så vi har stasjonære punkter i (−1, 7) og (2, −20).

Denne funksjonen er lett å derivere en gang til, så vi velger å bruke andrederivert-testen til å klassifisere punktene. f′′(x) = 12x −6.

f′′(−1) = −18. Siden dette tallet er mindre enn 0, er punktet et maksimumspunkt.

f′′(2) = 18. Siden dette tallet er større enn 0, er punktet et minimumspunkt.

Siden funksjonen går mot pluss/minus uendelig, har den ingen globale ekstremalpunkter. Vi har derfor at (−1, 7) er et lokalt maksimumspunkt og (2, −20) er et lokalt minimumspunkt.

Siden (−1, 7) er eneste maksimumspunkt og (2, −20) eneste minimumspunkt, er funksjonen voksende når −∞ < x ≤ −1, avtagende når −1 ≤ x ≤ 2, og voksende når 2 ≤ x < ∞.

Vi har funnet at f′′(x) = 12x − 6. f′′(x) er 0 når 12x − 6 er 0, det vil si når $x = {\large \frac{1}{2}}$.

Den tilhørende funksjonsverdien er $f({\large \frac{1}{2}}) = {−\large \frac{13}{2}} = −6{,}5$.

Så vi har et vendepunkt i (0,5, −6,5).

Siden f′′ skifter fra − til + når $x = {\large \frac{1}{2}}$, er funksjonen konkav (hule side ned) når $−\infty < x \le {\large \frac{1}{2}}$ og konveks (hule side opp) når ${\large \frac{1}{2}} \le x < \infty$.

Basert på dette kan vi skissere grafen:

Graf som illustrerer resultatet av funksjonsdrøfting

Vi ser at vi i eksempel 1 har inkludert ekstremalpunktene i intervallene der funksjonen er voksende og avtagende, selv om funksjonen verken vokser eller avtar i disse punktene. Dette er i tråd med definisjonene, som sier at

    • En funksjon, f(x), er voksende i et intervall, [a, b], hvis x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) for alle x ∈ [a, b].
       
    • En funksjon, f(x), er avtagende i et intervall, [a, b], hvis x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2) for alle x ∈ [a, b].

En funksjon er altså voksende i et intervall hvis grafen beveger seg oppover eller flater ut, og avtagende i et intervall hvis grafen beveger seg nedover eller flater ut. En fellesbetegnelse for voksende og avtagende er monoton.

Hvis vi ikke tillater at grafen flater ut, er funksjonen strengt monoton. Vi har at

    • En funksjon, f(x), er strengt voksende i et intervall, [a, b], hvis x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) for alle x ∈ [a, b].
       
    • En funksjon, f(x), er strengt avtagende i et intervall, [a, b], hvis x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) for alle x ∈ [a, b].

Tilsvarende har vi inkludert vendepunktet både i intervallet der funksjonen er konkav og der den er konveks. Vi har at

    • En funksjon, f(x), er konkav i et intervall, [a, b], hvis f′′(x) ≤ 0 for alle x ∈ [a, b].
       
    • En funksjon, f(x), er konveks i et intervall, [a, b], hvis f′′(x) ≥ 0 for alle x ∈ [a, b].

Og at

    • En funksjon, f(x), er strengt konkav i et intervall, [a, b], hvis f′′(x) < 0 for alle x ∈ [a, b].
       
    • En funksjon, f(x), er strengt konveks i et intervall, [a, b], hvis f′′(x) > 0 for alle x ∈ [a, b].

Drøfting av en rasjonal funksjon

Eksempel 2:

Vi skal drøfte funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle 3x^2−1}{\displaystyle x^2−4}$.

Når x → ±2, går nevneren i brøken mot 0 mens telleren ikke går mot 0. Brøken går derved mot uendelig og x = −2 og x = 2 er derfor vertikale asymptoter for funksjonen.

Når x → ±∞, går både teller og nevner mot uendelig, og vi har et ubestemt uttrykk. Vi bruker derfor L′Hôpitals regel og får

$\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x^2−1}{x^2−4} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{6x}{2x}= 3$

Så y = 3 er en horisontal asymptote.

Skjæringspunktet med y-aksen finner vi ved å sette x = 0 inn i funksjonen: $f(0) = {\Large \frac{1}{4}}$.

Så skjæringspunktet med y-aksen er (0, 0,25).

Skjæringspunkter med x-aksen får vi når telleren er 0, så vi løser likningen 3x2 − 1 = 0.

Vi får $x = {\large \pm \frac{1}{\sqrt3}} \approx \pm 0{,}58$.

Så skjæringspunkter med x-aksen er om lag (−0,58, 0), (0,58, 0).

Vi deriverer funksjonen og får

$f′(x) = \frac{\displaystyle (3x^2−1)′(x^2−4) − (3x^2−1)(x^2−4)′}{\displaystyle (x^2−4)^2} =$

$\frac{\displaystyle(6x)(x^2−4) − (3x^2−1)(2x)}{\displaystyle(x^2−4)^2} = \frac{\displaystyle−22x}{(\displaystyle x^2−4)^2}$

Nevneren i denne brøken kan aldri bli negativ, det er derfor bare telleren som avgjør fortegnet på den deriverte, og vi ser at den skifter fortegn fra + til − når x = 0, med tilhørende funksjonsverdi $f(0) = {\large \frac{1}{4}}$.

(0, 0,25) er derved et maksimalpunkt. Når x ≤ 0, er funksjonen voksende, og når x ≥ 0, er den avtakende.

Vi ser litt nøyere på brøken i den opprinnelige funksjonen, $f(x) = \frac{\displaystyle 3x^2−1}{\displaystyle x^2−4}$. Telleren er positiv når vi er i nærheten av verdiene som gir asymptoter, −2 og 2, så det er nevneren som bestemmer brøkens fortegn. Vi har derfor

$\displaystyle \lim_{x \to −2^{\Large −}}f(x) = + \infty$

$\displaystyle \lim_{x \to −2^{\Large +}}f(x) = − \infty$

$\displaystyle \lim_{x \to 2^{\Large −}}f(x) = − \infty$

$\displaystyle \lim_{x \to 2^{\Large +}}f(x) = + \infty$

Dette vil vi ha nytte av når vi skal skissere grafen. Og vi kan også slå fast at siden funksjonen går mot pluss/minus uendelig, har den ingen globale ekstremalpunkter.

(0, 0,25) er derfor et lokalt maksimalpunkt.

For å bestemme eventuelle vendepunkter, må vi derivere funksjonen en gang til. Dette blir en utregning der vi må holde tunga rett i munnen. Siden vi skal studere fortegnet til den dobbeltderiverte, passer vi på å ikke multiplisere ut (x2−4)2, for dette uttrykket vet vi aldri blir negativt. Vi innfører en hjelpevariabel, v = x2−4, for å få en mer oversiktlig utregning. Når vi deriverer v, må vi huske å multiplisere med den deriverte av kjernen, (x2−4)′ = 2x.

$f′′(x) = \frac{\displaystyle(−22x)′ \cdot v^2 − 22x \cdot (v^2)′}{\displaystyle (v^2)^2}= \frac{\displaystyle −22 \cdot v^2 − 22x \cdot 2v \cdot 2x}{\displaystyle (v^2)^2} = \frac{\displaystyle v(−22v − 88x^2)}{\displaystyle (v^2)^2} =$

$\frac{\displaystyle (x^2−4)\big(−22(x^2−4)+88x^2\big)}{\displaystyle \big((x^2−4)^2\big)^2} = \frac{\displaystyle (x^2−4)(66x^2+88)}{\displaystyle (x^2−4)^4}$

Nevneren i denne brøken kan aldri bli negativ, det samme gjelder faktoren 66x2 + 88. Vi trenger derfor bare å studere faktoren x2−4 for å finne fortegnsskiftene til den dobbeltderiverte. x2−4 kan faktoriseres som (x + 2)(x − 2), med fortegnsskjema vist under.

Fortegnsskjema for (x + 2)(x - 2)

Vi ser at den dobbeltderiverte er negativ når −2 < x < 2 og positiv når x < −2 og x > 2. Der fortegnet skifter, i x= ±2, er imidlertid ikke funksjonen definert, fordi vi får 0 i nevneren. Funksjonen har derfor ingen vendepunkter.

Fortegnet til den dobbeltderiverte forteller oss imidlertid at funksjonen er konveks når x ≤ −2, konkav når −2 ≤ x ≤ 2, og konveks når x ≥ 2. Den skifter altså mellom å være konveks og konkav selv om den ikke har vendepunkter.

For å tegne grafen, er det mest asymptotene vi har å holde oss til. Vi tegner dem opp, og skisserer hvordan grafen legger seg inntil disse. Grafen er vist under, asymptotene tegnet inn med rødt.

Graf med asymptoter

Oppgave 1:

Drøft funksjonen f(x) = (x2 + 3x + 2)(x − 3), Df = [−3, 3].

Se løsningsforslag

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
    • Thomas, G.B., Finney R.L. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.
    • matematikk.org
Publisert

Polynomfunksjoner

Alle funksjonene vi møtte i artikkelen om funksjonsbegrepet var polynomfunksjoner. Polynomfunksjoner er enkle, og er derfor praktiske å starte med når vi skal lære om funksjoner. Polynomfunksjoner inneholder bare summer og differanser av konstanter multiplisert med ikke-negative, heltallige potenser av den uavhengige variabelen. Den høyeste potensen av variabelen angir polynomfunksjonens grad.

Konstantfunksjoner

Den enkleste polynomfunksjonen er på formen f(x) = a, der a er en konstant, et vilkårlig tall. Grafen til denne funksjonen er ei rett linje, parallell med x-aksen, som skjærer y-aksen i a. For eksempel f(x) = 3, som vist under:

Graf til funksjonen f(x) = 3

En konstantfunksjon kan kalles en polynomfunksjon av grad 0, fordi den kan skrives som f(x) = ax0.

Førstegradsfunksjoner (Lineære funksjoner)

Den nest enkleste polynomfunksjonen er på formen f(x) = ax + b, der a og b er konstanter, a ≠ 0. Dette kalles en førstegrads polynomfunksjon fordi høyeste potens av x er 1. Førstegrads polynomfunksjoner kalles også gjerne lineære funksjoner. Grafene til lineære funksjoner er rette linjer. Konstanten a angir hvor kjapt funksjonsverdien stiger, og kalles funksjonens stigningstall. Konstanten b angir hvor linja skjærer y-aksen.

Eksempel 1:

Grafene til $f(x) = 2x$, $f(x) = \frac{1}{2}x$ og $f(x) = −x$ er vist under, med henholdsvis rødt, grønt og blått. Den røde linja har stigningstall 2, y-verdien øker med 2 for hver gang x-verdien øker med 1. Den grønne linja har stigningstall $\frac{1}{2}$, y-verdien øker med $\frac{1}{2}$ for hver gang x-verdien øker med 1. Den blå linja har stigningstall −1, y-verdien avtar med 1 for hver gang x-verdien øker med 1.

Grafene til f(x) = 2x, f(x) = 1/2x og f(x) = -x

 

Eksempel 2:

Grafene til $f(x) = 2x$, $f(x) = 2x + 3$ og $f(x) = 2x − 3$ er vist under med henholdsvis rødt, grønt og blått. Vi ser at alle har stigningstall 2, men linjene skjærer y-aksen i henholdsvis 0, 3 og −3, tilsvarende konstanten b.

Grafene til f(x) = 2x, f(x) = 2x+3 og f(x) = 2x-3

 

For å tegne grafen til en lineær funksjon, trenger vi bare to punkter. En vanlig feil blant elever og studenter er at de beregner en mengde punkter og så skisserer grafen etter dem. På grunn av unøyaktighet blir resultatet gjerne en bølget linje. Men grafen til en lineær funksjon er alltid snorrett.

Ett av punktene som trengs har vi allerede, nemlig skjæringspunktet med y-aksen: (0, b). Det andre finnes også lett ved å sette inn en annen verdi av x som er enkel å regne med, for eksempel 1.

Oppgave 1:

Skisser grafen til f(x) = 2x + 1.

Se løsningsforslag

Andregradsfunksjoner

Bygger vi ut en førstegradsfunksjon med et ledd med x2, får vi en andregradsfunksjon, generelt angitt som f(x)= ax2 + bx + c. I denne inngår tre konstanter, a, b og c, a ≠ 0. Grafen til andregradsfunksjoner er ikke en rett linje, men en parabel. Stigningstallet er ikke konstant, men varierer med x-verdien.

Eksempel 3:

Figuren under viser grafen til andregradsfunksjonen f(x)= 2x2 − x − 3. Her er altså a = 2, b = −1 og c = −3.

grafen til funksjonen f(x)=2x^2 -x -3

Eksempler på fenomener som beskrives av andregradsfunksjoner er:

  • Overflaten til geometriske figurer. For eksempel er flateinnholdet av et kvadrat gitt som en funksjon av sidelengden l, ved f(l) = l2.
     
  • Et objekts kinetiske energi øker med kvadratet av farten. Det betyr for eksempel at en bils bremselengde også øker med kvadratet av farten. Vi kan beskrive det med en funksjon som f(v) = kv2, der k er en konstant og v er farten. (Det er vanlig å bruke v – velocity som symbol for fart.)
     
  • En ball som kastes oppover med en hastighet på 15 meter per sekund fra en høyde på 2 meter, vil på et gitt tidspunkt ha høyde gitt ved om lag f(t) = −5t2 + 15t + 2 meter, der t er tiden i sekunder. Generelt, hvis den kastes med b meter per sekund fra høyde c meter, vil høyden være gitt ved om lag f(t) = −5t2 + bt + c meter.
    Konstanten 5 er egentlig en tilnærming til $\large \frac{g}{2}$, der g er tyngdens akselerasjon, ca. 9,8 ms−2.

I avsnittet om førstegradsfunksjoner så vi hva konstantene a og b betydde for grafen. For grafen til en andregradsfunksjon betyr a, b og c at:

  • Grafen blir krappere jo høyere a blir.
     
  • Når a > 0 vender grafen sin hule side opp, når a < 0 vender grafen sin hule side ned. Huskeregel: Grafen smiler når a er positiv.
     
  • Når b endres, skyves grafen langs en kurve sidelengs uten at formen endres.
     
  • Når c endres, skyves grafen rett opp og ned uten at formen endres. c er skjæringspunktet med y-aksen.
     
  • Når grafen skjærer x-aksen, skjer det med x-verdier som er løsningene til likningen f(x) = 0, altså
    $x_1 = \frac{\displaystyle −b − \sqrt{b^2 – 4ac}}{\displaystyle 2a}$
    og
    $x_2 = \frac{\displaystyle −b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{\displaystyle 2a}$
    slik det er beskrevet i algebra-artikkelen om andregradslikninger.
     
  • Grafen er symmetrisk, det vil si at et maksimumspunkt (toppunkt) eller minimumspunkt (bunnpunkt) vil ligge midt mellom skjæringspunktene med x-aksen. Vi kan finne x-verdien til dette punktet ved å beregne gjennomsnittsverdien til skjæringspunktene:
    $\frac{\displaystyle x_1 + x_2 }{\displaystyle 2} = \frac{\frac{\Big(\displaystyle -b – \sqrt{b^2 – 4ac }\Big)+ \Big(-b + \sqrt{b^2 – 4ac}\Big)}{\displaystyle 2a}}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle -2b}{\displaystyle 4a} = -\frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2a}$

Basert på disse opplysningene kan vi lage en skisse av grafen.

Oppgave 2:

Skisser grafen til f(x) = x2 + 2x − 3.

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

Gitt andregradsfunksjonen f(x) = x2 − 2x − 3. Analyser funksjonen og svar på følgende spørsmål:

  1. Vender grafen sin hule side opp eller ned?
     
  2. Hva er grafens skjæringspunkt med y-aksen?
     
  3. Hva er grafens skjæringspunkter med x-aksen?
     
  4. Hva er grafens maksimums/minimumspunkt?

Se løsningsforslag

Polynomfunksjoner generelt

Vi kan bygge videre på andregradsfunksjonen ved å legge til et tredjegradsledd, x3, et fjerdegradsledd, x4, og så videre. Hvert ledd multipliserer vi med en konstant. I andregradsfunksjonen brukte vi a, b og c som navn på konstantene. I tredjegradsfunksjonen legger vi til en konstant, d, og får uttrykket f(x)= ax3 + bx2 + cx + d. Slik kan vi fortsette, men tar vi med mange nok potenser av x, vil vi slippe opp for bokstaver. Vi kaller derfor i stedet konstantene a0, a1 og så videre opp til an. Det generelle uttrykket for en polynomfunksjon blir da:

anxn + an−1xn−1 + ⋯ + a1x + a0

Konstantene i uttrykket, altså an, an−1, ⋯, a0 kalles gjerne koeffisienter. Bortsett fra den første koeffisienten, an, kan hvilken som helst av koeffisientene være 0.

Eksempel 4:

f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1 er en polynomfunksjon av fjerde grad.
Koeffisientene er henholdsvis 1, 6, 7, −5 og −1.

Grafen til denne polynomfunksjonen er vist under.

 

Grafen til funksjonen f(x) = x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 5x -1

Eksempel 5:

f(x) = −x5 + 3x2 − 2 er en polynomfunksjon av femte grad.

Koeffisientene er henholdsvis −1, 0, 0, 3, 0 og −2.

Definisjonsmengden til en polynomfunksjon er alle reelle tall, $D_f = \mathbb{R}$. Verdimengden vil variere fra funksjon til funksjon. For polynomfunksjoner av odde grad vil det være hele $\mathbb{R}$. For polynomfunksjoner av like grad vil det være [ymin, ∞) hvis an > 0 og (−∞, ymaks] hvis an < 0, der ymin og ymaks er y-verdien til funksjonens minimums/maksimumspunkt.

Kilder

    • Finney, T. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison Wesley.