Tall og tallsystemer

Et tall er i seg selv bare en abstrakt idé, ingen fysisk størrelse. Men vi symboliserer tallene fysisk med skrift eller med lyd. I matematisk sammenheng dominerer de hinduarabiske symbolene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Men det finnes også andre symboler, for eksempel romertall. I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX er romertallene fra 1 til 9. Romertall har imidlertid ingen symboler for 0. I skriftspråk eller tale varierer det fra land til land hva tall heter. For eksempel heter 3 "tre" i Skandinavia, "three" i England, "trois" i Frankrike, "tres" i Spania og "drei" i Tyskland.

For å holde orden på tallene, trenger vi et system. Det vi skal befatte oss med i denne artikkelen kalles posisjonssystemer, fordi et siffers verdi er avhengig av posisjonen det har blant de andre sifrene. Men det finnes også andre systemer. Romertall V betyr for eksempel alltid 5, uansett hvor det er plassert.

Vårt vanlige tallsystem er et posisjonssystem som kalles titallsystemet fordi det består av 10 symboler. Symbolene kalles gjerne sifre, og titallsystemet kalles også desimaltallsystemet eller det dekadiske tallsystem. Sifrene er de velkjente 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Titallsystemet inneholder altså 10 forskjellige sifre som kan representere fra 0 til 9 enheter. Men hva gjør vi hvis vi skal representere mer enn 9? Jo, vi putter symbolene i grupper. En gruppe der hvert symbol representerer antall 1-ere, en gruppe der hvert symbol representerer antall 10-ere, en gruppe der hvert symbol representerer antall 100-ere, osv. På den måten kan de 10 symbolene brukes til å representere ubegrenset mange enheter.
I bildet under er tallet 1457 representert ved å bygge grupper med multibasemateriell.
1 blokk à 1000 klosser + 4 plater à 100 klosser + 5 staver à 10 klosser + 7 enkeltklosser.

1457 i titallsystemet representert ved klosser

Tallet $1457$ betyr altså $1 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 7$.

Hvor mye hvert siffer representerer er avhengig av hvilken posisjon det har i tallet, og verdien øker ti ganger for hver plass en flytter mot venstre. Titallsystemet vårt er altså et posisjonssystem med base $10$.

$100$ og $1000$ kan skrives på potensform som $10^2$ og $10^3$, det vil si $10$ multiplisert med seg selv henholdsvis to ganger og tre ganger. Vi kan også skrive $10$ som $10^1$ og $1$ som $10^0$.
$1457$ betyr altså $1 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0$.
Her framgår det tydelig at hvert siffer representerer en potens av $10$, der vi starter på $0$ lengst til høyre, og øker med $1$ for hver posisjon vi flytter oss mot venstre.

Av og til er det hull i rekka av potenser i et tall. $2003$ betyr for eksempel $2 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^0$. $10^2$ og $10^1$ trengs ikke. Dette angis ved å sette sifferet null i den tilhørende posisjonen. $2003$ betyr altså $2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$.
Sifferet $0$ fungerer som en plassfyller som ikke bidrar til tallets verdi. Uten $0$ ville ikke posisjonssystemet fungert.

Årsaken til at akkurat $10$ er valgt som base i vårt tallsystem sies å være at mennesker har ti fingre, det finnes ikke noen matematisk begrunnelse. Et hvert annet naturlig tall kan brukes i stedet. I bildet under er $5$ valgt som base, og vi bruker der
$3$ blokker à $5^3 = 125$ klosser, 4 plater à $5^2 = 25$ klosser, $2$ staver à $5^1 = 5$ klosser og $1$ enkeltkloss. Tallet som representeres er altså
$3 \cdot 5^3 + 4 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^1+1 \cdot 5^0 = 486$. Her multipliseres hvert siffer med en potens av basen $5$.

3421 i femtallsystemet representert ved klosser

For å unngå forvirring om hvilket tallsystem vi arbeider i, angir vi systemets base med et subskript. $3421_5 = 486_{10}$ betyr for eksempel at $3421$ i femtallsystemet er det samme som $486$ i titallsystemet.

Tallsystemer som i tillegg til titallsystemet brukes mye i dag er totallsystemet (det binære tallsystemet), sekstentallsystemet (heksadesimalsystemet) og sekstitallsystemet.

Moderne datamaskiner arbeider i totallsystemet fordi dette systemet bare har to sifre, $0$ og $1$, noe som er enkelt for en datamaskin å håndtere. For mennesker er det imidlertid tungvint fordi selv små tall blir lange og tunge å lese. For å øke lesbarheten presenterer vi derfor gjerne sifrene gruppert fire og fire i sekstentallsystemet.

Og hvor bruker vi så sekstitallsystemet? Jo, på klokka. $60^1$ sekunder utgjør et minutt, og $60^2$ sekunder utgjør en time.

Lista under viser tallet $17$ representert i posisjonssystemer med baser fra $1$ til $17$.

$10001_2 = 122_3 = 101_4, = 32_5 = 25_6 = 23_7 = 21_8 = 18_9 = 17_{10} = 16_{11} = 15_{12} = 14_{13} = 13_{14} = 12_{15} = 11_{16} = 10_{17}$.

Dette nettstedet inneholder en egen IKT-artikkel om tallsystemer.

Oppgave 1:

Regn ut hva $3041_5$ i femtallsystemet blir i titallsystemet.

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises
 

Oppgave 2:

Regn ut hva $52306_7$ i sjutallsystemet blir i titallsystemet.

Se løsningsforslag

Posisjonssystemer

I dette avsnittet gir vi en mer formell definisjon av posisjonssystemer, og ser spesielt på totallsystemet og sekstentallsystemet.

Lar vi $b$ være grunntallet i et tallsystem, altså $2$ i totallsystemet, $3$ i tretallsystemet, og så videre, kan ethvert naturlig tall, $n$, skrives entydig på formen under. Her har vi for enkelhets skyld skrevet $a_1b^1$ som $a_1b$ og $a_0b^0$ som $a_0$.

$\fbox{$n = a_mb^m + a_{m – 1}b^{m – 1} + \dots + a_1b + a_0$}$

Her er:
$b \in \mathbb N, b > 1$
Hver av koeffisientene $a_0, a_1, \dots, a_m$ er en av $0, 1, 2, 3, \dots, b – 1$

$a_m \ne 0$.

Et tall skrevet på denne måten sies å være på utvidet form, eller utviklet form.

Eksempel 1:

Vi skal skrive $1457_{10}$ på utvidet form. Siden vi er i titallsystemet, er grunntallet lik $10$. Vi får
$1457_{10} = 1 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10 + 7$.

Eksempel 2:

Vi skal skrive $3421_5$ på utvidet form. Siden vi er i femtallsystemet, er grunntallet, lik $5$. Vi får
$3421_5 = 3 \cdot 5^3 + 4 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 + 1$.

Oppgave 3:

Skriv $52306_7$ på utvidet form.

Se løsningsforslag

Koeffisientene $a_0, a_1, \dots , a_m$ kalles sifrene i tallet. Tillatte verdier for disse sifrene er $0, 1, \dots , b – 1$. I titallsystemet er grunntallet $b = 10$, så $b – 1 = 9$, og de tillatte koeffisientene blir $0, 1, \dots, 9$. I totallsystemet er $b = 2$, så $b – 1 = 1$, og de tillatte koeffisientene bare $0, 1$. For eksempel betyr $1011_2$: $1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2 + 1$.

Totallsystemet er enerådende i digitale datamaskiner, dette skyldes at regnereglene er svært enkle, og at tall med bare to sifre er lett å representere fysisk i maskinen. Tall er som tidligere nevnt noe abstrakt som må gis en fysisk representasjon for at vi skal kunne arbeide med dem. Mennesker representerer tallene som skrift eller tale, i en datamaskin representeres de som elektriske ladninger, magnetisme, eller speil. I en CD-plate representeres for eksempel sifferet $1$ ved at en laserstråle reflekteres i et punkt på plata, mens $0$ representeres ved at den ikke reflekteres.

For mennesker er imidlertid totallsystemet tungvint fordi selv små tall blir lange og tunge å lese. For eksempel krever $999_{10}$ ti sifre i totallsystemet: $1111100111_2$. For å øke lesbarheten presenterer vi derfor gjerne sifrene gruppert fire og fire i sekstentallsystemet.

I sekstentallsystemet er grunntallet $b = 16$, så de tillatte koeffisientene er $0, 1, \dots , 15$. Og her får vi et problem, for vi har koeffisienter med flere sifre, og det er uforenelig med prinsippet i et posisjonssystem. La oss for eksempel si at vi har $a_1 = 3$ og $a_0 = 12$, altså et tall som er på utvidet form er $3 \cdot 16 + 12$. Skriver vi dette på normal, kort måte, blir det $312$. Men det betyr jo $3 \cdot 16^2 + 1 \cdot 16+ 2$. Så vi kan ikke tillate at koeffisienter opptar mer enn én posisjon i posisjonssystemet. Løsningen på problemet er å innføre flere siffersymboler. En kunne valgt å lage helt nye symboler, men i stedet har en valgt å bruke de første bokstavene i alfabetet, $A, B, C, D, E, F$ for å representere henholdsvis $10_{10}$, $11_{10}$, $12_{10}$, $13_{10}$, $14_{10}$ og $15_{10}$. For eksempel er $F2D_{16} = 15 \cdot 16^2 + 2 \cdot 16 + 13 \cdot 16^0 = 3885_{10}$.

I et tallsystem med høyere grunntall vil vi trenge enda flere siffersymboler. Da fortsetter vi i alfabetet. $G, H, \dots$

For å regne om fra totall- til sekstentallsystemet grupperer vi sifrene fire og fire fra høyre. Da kan hver gruppe utgjøre et tall fra $0$ til $15$, altså $0$$F$ i sekstentallsystemet. Dette er vist i tabellen under, der det er fylt på med ledende nuller slik at hvert tall har fire sifre.

Totallsystemet 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000
Sekstentallsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8

 

Totallsystemet 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Sekstentallsystemet 9 A B C D E F

Oppgave 4:

Regn ut hva tallet $11000001001011_2$ blir i sekstentallsystemet ved å slå sifrene sammen i grupper på fire fra høyre

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises
 

Oppgave 5:

Gitt et tall i totallsystemet, $11101001111_2$.

  1. Regn ut hva tallet blir i sekstentallsystemet ved å slå sifrene sammen i grupper på fire fra høyre.
     
  2. Regn ut hva tallet blir i titallsystemet.

​Se løsningsforslag

For å regne om fra titallsystemet til et annet tallsystem, er det følgende en grei metode: Vi dividerer tallet $n$, som vi vil konvertere, med grunntallet $b$ i tallsystemet vi vil konvertere til. Da får vi en kvotient $q$ og en rest $r$, som er et tall mellom $0$ og $b – 1$. Resten blir koeffisient $a_0$ i det nye tallsystemet, og $q$ dividerer vi på nytt med $b$. Den nye resten blir nå koeffisient $a_1$ i det nye tallsystemet, og den nye $q$ dividerer vi på nytt med $b$. Og slik fortsetter vi til $q$ blir $0$.

Eksempel 3:

$486_{10}$ i titallsystemet skal regnes om til femtallsystemet. Her er altså grunntallet vi skal konvertere til $b = 5$.

$486 : 5$ gir $q = 97, r = a_0 = 1$

$97 : 5$ gir $q = 19, r = a_1 = 2$

$19 : 5$ gir $q = 3, r = a_2 = 4$

$3 : 5$ gir $q = 0, r = a_3 = 3$

Så $486_{10} = 3421_5$.

Oppgave 6:

Regn om $486_{10}$ i titallsystemet til sekstallsystemet.

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises

Addisjon og subtraksjon i andre tallsystemer

Prinsippene for å addere og subtrahere er de samme i alle tallsystemer, vi må bare huske på at grunntallene er forskjellige. Dette påvirker verdiene vi overfører fra en kolonne til en annen. Hvis vi for eksempel i titallsystemet adderer $6$ og $6$ i en kolonne, får vi $12$, noe vi håndterer ved å skrive $2$-tallet underst og overføre $10$ en kolonne mot venstre, det vil si skrive $1$ i mente. Adderer vi $9$ og $7$ og $8$, får vi $24$, noe vi håndterer ved å skrive $4$-tallet underst og overføre to ganger $10$ en kolonne mot venstre, det vil si skrive $2$ i mente. I titallsystemet overfører vi altså multipler av $10$ fra kolonne til kolonne. I andre tallsystemer overfører vi multipler av grunntallet i det tallsystemet vi arbeider i. Hvis vi for eksempel i $7$-tallsystemet skal addere $6$ og $6$, blir det $5$ mer enn $7$. Det vil si at vi skriver $5$-tallet underst og overfører $7$-tallet en kolonne mot venstre, altså skriver $1$ i mente. Skal vi addere $6 + 5 + 6$, blir det $3$ mer enn to ganger $7$. Det vil si at vi skriver $3$-tallet underst og overfører to $7$-tall en kolonne mot venstre, altså skriver $2$ i mente.

ScreencastSe film som sammenlikner addisjon i ti- og femtallsystemet
 

Når vi subtraherer i titallsystemet, og skal trekke et siffer fra et annet som er mindre, må vi "låne" $10$ i kolonna til venstre. Skal vi for eksempel subtrahere $8$ fra $32$, kan vi i høyre kolonne ikke subtrahere $8$ fra $2$, vi må "låne" $10$ fra $3$-tallet. I høyre kolonne får vi da $10 – 8 + 2 = 4$, i venstre kolonne står det igjen $2$ etter at vi har "lånt" $10$, så svaret blir $24$. I $7$-tallsystemet er det tilsvarende, bare at vi "låner" $7$ i stedet for $10$. Skal vi for eksempel subtrahere $6$ fra $44$, kan vi i høyre kolonne ikke subtrahere $6$ fra $4$, vi må "låne" $7$ fra $4$-tallet. I høyre kolonne får vi da $7 – 6 + 4 = 5$, i venstre kolonne står det igjen $3$ etter at vi har "lånt" $7$, så svaret blir $35$.

ScreencastSe film som sammenlikner subtraksjon i ti- og femtallsystemet
 

Til slutt introduserer vi begrepene tverrsum og alternerende tverrsum, som vi får bruk for når vi skal lære delelighetsregler i avsnittet om delelighet og avsnittet om anvendelser av kongruens.

Tverrsum

Vi sa tidligere at et naturlig tal,l $n$, kan skrives som $n = a_mb^m + a_{m – 1}b^{m – 1} + \dots + a_1b + a_0$. Hvis vi ser bort fra potensene av $b$ og bare adderer koeffisientene, får vi tverrsummen av tallet, $T(n)$:

$\fbox{$T(n) = a_m + a_{m – 1} + \dots + a_1 + a_0$}$

Tverrsummen kan tas for alle grunntall, men i det følgende holder vi oss til vårt vanlige titallsystem, $b = 10$.

Eksempel 4:

$T(870642) = 8 + 7 + 0 + 6 + 4 + 2 = 27$.

Alternerende tverrsum

Hvis vi i stedet for å addere alle sifrene i et tall, vekselvis adderer og subtraherer annet hvert siffer, får vi den alternerende tverrsummen av tallet, $A(n)$:

$\fbox{$A(n) = a_0 – a_1 + a_2 – a_3 + \dots + (-1)^ma_m$}$

Vi starter altså til høyre og går mot venstre, slik at $a_0$ blir addert, $a_1$ subtrahert, og så videre. Uttrykket $(-1)^m$ betyr at annet hvert ledd blir addert og annet hvert subtrahert, fordi $(-1)^m$ er lik $1$ når $m$ er partall, og lik $-1$ når $m$ er oddetall.

Dette nettstedet har en app som finner T(n) og A(n).

Eksempel 5:

$A(870642) = 2 – 4 + 6 – 0 + 7 – 8 = 3$

Oppgave 7:

Gitt et tall, $n = 7193536$.

  1. Finn tverrsummen til tallet, $T(n)$
     
  2. Finn den alternerende tverrsummen til tallet, $A(n)$

​Se løsningsforslag

Kilder

  • Breiteig, T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
  • Wikipedia