GeoGebra

GeoGebra, dynamiske ark

Av og til kan det være nyttig å lage ei GeoGebra-fil som brukerne kan eksperimentere med uten å hente den inn i selve GeoGebra-programmet. Det kan vi gjøre ved å eksportere dynamiske ark som webside. Gjør vi arkene tilgjengelige på Internett kan hvem som helst åpne dem.

For å eksportere gjør vi følgende:

  1. Velger "Fil" - "Eksporter" - "Dynamisk ark som webside...".
     
  2. Velger fanen "Eksporter som webside".
     
  3. Skriver inn en tittel.
     
  4. Klikker på "Eksporter".
     
  5. Velger hva eksportfila skal hete og hvor den skal ligge.

Det kan være at vi må gi tillatelser for at det dynamiske arket skal kjøre, det får vi i så fall spørsmål om.

Det er også mulig at dynamiske ark ikke fungerer i alle nettlesere. 32-bits Internet Explorer ser ut til å gi problemer, men i 64-bits og Google Chrome fungerer det fint.

Det kan også skape problemer om det dynamiske arket er lagt på en nettverksdisk.

Oppgave 1:

GeoGebra-fil
Klikk for å åpne GeoGebra-fila
 fra eksempel 1 i artikkelen om derivasjon.

Lagre et dynamisk ark fra GeoGebra-fila på din egen PC. La tittelen være "Derivasjon 1" og filnavnet "derivasjon_1".

Løsningsforslag:

  • Vi velger "Fil" - "Eksporter" - "Dynamisk ark som webside...".
     
  • Vi velger fanen "Eksporter som webside".
     
  • Vi skriver: "Derivasjon 1" i feltet "Tittel".
     
  • Vi klikker på "Eksporter".
     
  • Vi velger hva eksportfila skal ligge, for eksempel på "C:\Temp", og skriver "derivasjon_1" i "Filnavn".

Oppgave 2:

  • Åpne den dynamiske fila du laget i oppgave 1 og eksperimenter med hva du kan gjøre av endringer.

Løsningsforslag:

  • Du kan skyve på punktet A, men ikke skru av eller på sporing eller gjøre andre endringer.

Hva som er tillatt i et dynamisk ark bestemmes under eksporten. Hvis vi i punkt 3 i oppskriftslista klikker på fanen "Avansert", får vi opp en dialogboks med forskjellige valgmuligheter.

Oppgave 3:

  1. Gjenta det du gjorde i oppgave 1, men tillat høyreklikking. La tittelen være" Derivasjon 2" og filnavnet "derivasjon_2".
     
  2. Gjenta det du gjorde i oppgave 1, men gjør nå også meny- og verktøylinjer er tilgjengelige. La tittelen være "Derivasjon 3" og filnavnet "derivasjon_3".

Løsningsforslag:

  1. Vi bruker samme metode som i oppgave 1, men etter at vi har valgt "Eksporter som webside" og før vi klikker "Eksporter", klikker vi på fanen "Avansert" og huker av for "Tillat høyreklikking, zooming og tastaturredigering".
     
  2. Som i punkt 1, men vi huker nå også av for "Vis menylinje" og "Vis verktøylinje".

Oppgave 4:

  • Åpne de dynamiske arkene "derivasjon_2" og "derivasjon_3" fra oppgave 3 og undersøk hva du kan gjøre som du ikke kunne med "derivasjon_1" fra oppgave 1.

Løsningsforslag:

  • Det finnes ikke noe entydig løsningsforslag, men har du tillatt høyreklikking, kan du for eksempel skru av og på sporing og endre funksjonsforskriften. Åpner du for meny- og verktøylinje begynner det hele å likne et vanlig GeoGebra-vindu. Du har ikke inntastingsfelt, men det er også noe det går an å huke av for i fanen "Avansert".

Kilder

  • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
  • Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia

GeoGebra, regresjon

I oppgave 6 i artikkelen om funksjonsanalyse varmet en gruppe elever opp vann mens de målte temperaturen hvert minutt. Vi fikk oppgitt følgende måledata:

Tid (min) 10 11 12 13 14
Temperatur (grader Celsius) 60 64 70 76 80

Så brukte vi glidere til å anslå en funksjonsforskrift for en lineær funksjon som gikk så nærme som mulig målepunktene. Løsningsforslaget sa f(t) = 5t + 10.

Prosessen med å finne en funksjonsforskrift som passer et antall punkter best mulig kalles regresjon.

GeoGebra har innebygde regresjonskommandoer som kan gjøre jobben for oss.

Eksempel 1:

  • Vi skal bruke GeoGebra til å finne en funksjonsforskrift som passer best mulig til målepunktene over.
  1. Vi starter med å legge punktene inn i en verditabell, slik det er beskrevet i artikkelen om funksjonsanalyse.

    Vi henter fram regnearkfeltet hvis det ikke allerede er framme: "Vis" - "Regneark".

    Vi skriver inn lista med målinger i regnearket, tida i kolonne A og temperaturen i kolonne B.

    Vi overfører lista til algebra- og grafikkvinduet ved å markere tallene, høyreklikke og velge "Lag" - "Liste med punkt".

    GeoGebra lager ei liste som heter Liste1.
     

  2. Vi skriver: RegLin[ Liste1 ] i inntastingsfeltet.

    GeoGebra foreslår funksjonsforskriften y = 5,2x + 7,6 i algebrafeltet og tegner den tilhørende grafen i grafikkfeltet. Dette er nok en bedre tilnærming enn den vi kom fram til med glidere.

    GeoGebra-fil
    Se den tilhørende GeoGebra-fila
    .

I eksempel 1 representerer funksjonsforskriften ei rett linje, noe GeoGebra kan representere på 3 former. Én form er y = ax + b, der y angis som en funksjon av x, en annen er standardformen ax + by = c. Det finnes også en parametrisk form. Vi kan skifte mellom formene i menyen som kommer opp når vi høyreklikker på funksjonsforskriften.

Oppgave 1:

  • Familien Hansen kjører hjemmefra til Oslo, en tur på ca. 320 kilometer. De første timene noterer barna hvor langt de har kjørt hvert kvarter:
    Kvarter 1 2 3 4 5 6 7 8
    Kilometer 22 38 58 80 104 122 138 161

    Bruk regresjon i GeoGebra til å finne forskriften til en lineær funksjon som kommer så nærme punktene som mulig.

Løsningsforslag:

  • Vi henter fram regnearkfeltet hvis det ikke allerede er framme: "Vis" - "Regneark".

    Vi skriver inn lista med målinger i regnearket, kvarter i kolonne A og kilometer i kolonne B.

    Vi markerer tallene, høyreklikker og velger "Lag" - "Liste med punkt".

    GeoGebra lager ei liste som heter Liste1.

    Vi skriver: RegLin[ Liste1 ] i inntastingsfeltet.

    GeoGebra foreslår funksjonsforskriften y = 20,11x - 0,11 i algebrafeltet og tegner den tilhørende grafen i grafikkfeltet.

    Matematisk er nok denne nøyaktig, men vi ser at det ikke representerer situasjonen helt godt. Den sier at når turen starter har familien kjørt 0,11 kilometer feil vei.

    GeoGebra-fil
    Se den tilhørende GeoGebra-fila
    .

I eksempel 1 og oppgave 1 har vi brukt lineær regresjon, vi søker altså etter en polynomfunksjon av første grad. Til bruk i situasjoner som ikke kan modelleres lineært har GeoGebra en mengde andre regresjonskommandoer. Se brukermanualen for detaljer.

Oppgave 2:

  • Tabellen under viser omlag hvor stor distanse et objekt i fritt fall har tilbakelagt når vi ikke tar hensyn til luftmotstand:
    Tid (sekunder) 1 2 3 4 5
    Distanse (meter) 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5

    Bruk funksjonen RegPot[] til å finne en potensfunksjon som beskriver situasjonen.  

Løsningsforslag:

  • Vi henter fram regnearkfeltet hvis det ikke allerede er framme: "Vis" - "Regneark".

    Vi skriver inn lista med målinger i regnearket, tid i kolonne A og distanse i kolonne B.

    Vi markerer tallene, høyreklikker og velger "Lag" - "Liste med punkt".

    GeoGebra lager ei liste som heter Liste1.

    Vi skriver: RegPot[ Liste1 ] i inntastingsfeltet.

    GeoGebra foreslår funksjonsforskriften f(x) = 4,9x2 i algebrafeltet og tegner den tilhørende grafen i grafikkfeltet.
    Funksjonsforskriften er helt korrekt, formelen for fritt fall er d = ½ gt2, der d er falt distanse, t er tida og g er tyngdens akselerasjon som er omlag 9,8.

    GeoGebra-fil
    Se den tilhørende GeoGebra-fila
    .

Kilder

  • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
  • Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia

GeoGebra, derivasjon

Kommandoer for derivasjon

GeoGebra har kommandoer for å derivere en funksjon en eller flere ganger:

  • Derivert: Derivert[f] eller f'(x).
     
  • Andrederivert: Derivert[f, 2] eller f''(x).
     
  • Tredjederivert: Derivert[f, 3] eller f'''(x).
     
  • n'te-derivert: Derivert[f, n] eller fn apostrofer(x) der n er et positivt helt tall.

Her er f er navnet på funksjonen vi skal derivere, og x navnet på den uavhengige variabelen.

GeoGebra viser funksjonsforskriften til den deriverte i algebrafeltet og tegner grafen i grafikkfeltet.

Oppgave 1:

  • Finn første og fjerdederiverte til funksjonen f(x) = 3x5 + 2x4 - 3x3 - x2 + 2x - 1.

Løsningsforslag:

  • Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: 3x^5 + 2x^4 - 3x^3 - x^2 + 2x - 1.

    Vi skriver: f'(x) eller Derivert[f] i inntastingsfeltet.

    GeoGebra tegner grafen i grafikkfeltet og angir funksjonsforskriften i algebrafeltet: f'(x) = 15x4 +8x3 - 9x2 - 2x + 2.
     

  • Vi skriver: f''''(x) eller Derivert[f, 4] i inntastingsfeltet.

    GeoGebra tegner grafen i grafikkfeltet og angir funksjonsforskriften i algebrafeltet: f''''(x) = 360x + 48.

GeoGebra følger dessverre ikke konvensjonen med å sette inn et tall for å angi deriverte av høyere orden enn 3, for eksempel f4(x) for den fjerdederiverte til f(x). I stedet fylles bare på med apostrofer. Dette blir litt uoversiktlig.

Illustrere definisjonen av den deriverte

Med GeoGebra kan vi illustrere definisjonen av den deriverte grafisk.

Eksempel 1:

  • Vi skal bruke stigningstallet til en funksjons tangent til å skissere funksjonens deriverte:

    Vi velger - nokså tilfeldig - funksjonen f(x) = x3 + 4x2 - 2.

  1. Registrer funksjonen f(x) = x3 + 4x2 - 2:

    Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: x^3 + 4x^2 - 2.

    GeoGebra viser funksjonsforskriften i algebrafeltet og tegner grafen i grafikkfeltet.
     

  2. Sett inn et punkt på grafen:

    Velg "Nytt punkt" fra denne menyen:
    Meny for å sette inn punkter

    Klikk et vilkårlig sted på grafen.

    GeoGebra setter inn et punkt, A, som glir langs grafen når vi drar i det.
     

  3. Sett inn en tangent til grafen i punktet A:

    Velg "Tangenter" fra denne menyen:
    Meny for å sette inn spesiallinjer

    Klikk på punktet A, deretter på grafen.

    GeoGebra setter inn en tangent til grafen i punktet A.
     

  4. Sett inn stigningstall for tangenten:

    Velg "Stigning" fra denne menyen:

    Meny for diverse egenskaper

    Klikk på tangenten.

    GeoGebra viser stigningstallet til  tangenten grafisk i grafikkvinduet og oppgir tallverdien i algebravinduet under navnet a1.

  5. Lag et punkt som ligger på x-aksen under punktet A.

    Skriv: (x(A), 0) i inntastingsfeltet. Dette punktet har samme x-koordinat som A, og y-koordinat 0. Det vil altså alltid ligge på x-aksen like under A.

    GeoGebra setter inn et punkt B med disse koordinatene.

  6. Endre y-koordinaten til punktet B slik at det i stedet for 0 har en verdi som er lik stigningstallet til tangenten:

    Endre "Definisjon" i Innstillinger-dialogboksen. Overskriv 0 med a_1. a_1 betyr a1, altså stigningstallet til tangenten:
    Endre navn på punkt

    GeoGebra endrer definisjonen av punktet B til (x(A), a1).

  7. Sett sporing på punktet B:

    Høyreklikk på B og velg "Slå på sporing".

  • Vi har nå et verktøy til å illustrere at den deriverte til en funksjon har samme verdi som tangenten til funksjonen.

GeoGebra-fil
Se GeoGebra-fil med eksempel 1
.

 Screencast
Se film som illustrerer eksempel 1. Den illustrerer i tillegg funksjonene f(x) = sin(x) og f(x) = ex.

Eksempel 2:

  • Vi skal ta illustrere definisjonen av den deriverte:
    Definisjon av den deriverte til en funksjon
    ved å lage en sekant som går gjennom punktene A: (af(a)) og B: (a + Δx, f(a + Δx)) og se at stigningstallet til denne nærmer seg stigningstallet til tangenten i A når A og B nærmer seg hverandre, altså når Δx går mot null.

    Vi velger - nokså tilfeldig - funksjonen f(x) = x2 + 1.

  1. Registrer funksjonen f(x) = x2 + 1:

    Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: x^2 + 1.

    GeoGebra viser funksjonsforskriften i algebrafeltet og tegner grafen i grafikkfeltet.
     

  2. Sett inn to punkter på grafen:

    Velg "Nytt punkt" fra denne menyen:
    Meny for å sette inn punkter

    Klikk to vilkårlige steder på grafen.

    GeoGebra setter inn to punkter, A og B, som glir langs grafen når vi drar i dem.
     

  3. Sett inn en sekant som går gjennom punktene:

    Velg "Linje gjennom to punkt" fra denne menyen:
    Meny for å sette inn linjer

    Klikk på de to punktene A og B.
     

  4. Lag et punkt som ligger på x-aksen rett under A, og et som ligger på x-aksen rett under B.

    Skriv: (x(A), 0) i inntastingsfeltet. Dette punktet har samme x-koordinat som A, og y-koordinat 0. Det vil altså alltid ligge på x-aksen like under A.

    GeoGebra setter inn et punkt C med disse koordinatene.

    Skriv: (x(B), 0) i inntastingsfeltet. Dette punktet har samme x-koordinat som B, og y-koordinat 0. Det vil altså alltid ligge på x-aksen like under B.

    GeoGebra setter inn et punkt D med disse koordinatene.
     

  5. Illustrer at punktene A og C og punktene B og D henger sammen ved å trekke linjer mellom dem.

    Velg "Linjestykke mellom to punkt" fra denne menyen:
    Meny for å sette inn linjer

    Klikk deretter på punktene A og C, så på punktene B og D.
     

  6. La punktet C hete a, og punktet B hete Δx:

    Det kan være vanskelig å få til navnet Δx skikkelig bare ved å endre i Innstillinger-dialogboksen. Så i stedet lager vi to tekstbiter og lenke til punktene.

    Velg "Sett inn tekst" fra denne menyen:
    Meny for å sette inn tekst

    Klikk i grafikkvinduet og skriv "a" i dialogboksen som kommer opp. Kryss av for "LaTeX-formel" og klikk "OK".

    GeoGebra setter inn teksten "a".

    Gjør tilsvarende for "Δx". "Δ" finner du under menyen "Symbol":

    Sette inn spesialsymboler

    Høyreklikk på "a", velg "Egenskaper" og velg "C" under "Posisjon":

    Meny for å velge posisjon

    GeoGebra lenker teksten "a" til punktet C og flytter teksten ned til C.

    Gjør tilsvarende for "Δx" og D.

    Skru av visning av navnene C og D i Innstillinger-dialogboksen.
     

  7. Sett inn en tangent til grafen i punktet A:

    Velg "Tangenter" fra denne menyen:
    Meny for å sette inn spesiallinjer

    Klikk på punktet A, deretter på grafen.

    GeoGebra setter inn en tangent til grafen i punktet A.
     

  8. Sett inn stigningstall for sekanten og tangenten:

    Velg "Stigning" fra denne menyen:
    Meny for diverse egenskaper

    Klikk på sekanten og på tangenten.

    GeoGebra setter inn stigningstallet til sekanten og til tangenten.

  • Vi har nå et verktøy til å illustrere at den gjennomsnittlige stigningen mellom punktene A og B nærmer seg stigningen til tangenten i A.

GeoGebra-fil
Se GeoGebra-fil med eksempel 2
.

Screencast
Se film som illustrerer eksempel 2
. Den inneholder i tillegg litt kosmetiske detaljer som ikke er tatt med i tekstbeskrivelsen.

Kilder

  • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
  • Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia

GeoGebra, integrasjon

GeoGebra kan brukes til å beregne både bestemte og ubestemte integraler.

Ubestemte integraler

For å få GeoGebra til å beregne et ubestemt integral, skriver vi: Integral[f] i inntastingsfeltet, der f er navnet på funksjonen vi ønsker å integrere. Et ubestemt integral er en ny funksjon som GeoGebra navngir på vanlig måte. Funksjonsforskriften vises i algebrafeltet, grafen i grafikkfeltet.

Oppgave 1:

  • Bruk GeoGebra til å beregne integralet ∫3x2dx

Løsningsforslag:

  • Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: 3x^2.

    GeoGebra viser funksjonsforskriften f(x) = 3x2 i algebrafeltet og grafen til f(x) i grafikkfeltet.
     

  • Vi skriver integralkommandoen i inntastingsfeltet: Integral[f].

    GeoGebra oppretter den integrerte funksjonen g, viser funksjonsforskriften g(x) = x3 i algebrafeltet og grafen til g(x) i grafikkfeltet.

Det er en svakhet er at GeoGebra ikke inkluderer integrasjonskonstanten C i funksjonsforskriften. En annen svakhet er at leddene i en sammensatt funksjonsforskrift av og til sorteres litt rart og ikke alltid trekkes sammen så mye som mulig.

Oppgave 2:

  • Du har for hånd beregnet at ∫sin(3x)dx = cos(3x)/3 + C. Bruk GeoGebra til å sjekke om du har regnet riktig.

Løsningsforslag:

Screencast
Se film der løsningen vises
.

Bestemte integraler

For å beregne bestemte integraler bruker vi samme kommando som for ubestemte, Integral[], men vi inkluderer en nedre og øvre integrasjonsgrense. Vi skriver: Integral[f, a, b] i inntastingsfeltet, der f er navnet på funksjonen vi ønsker å integrere, a er nedre og b er øvre integrasjonsgrense.

Integralet vises som et tall i algebrafeltet, og i grafikkfeltet vises arealet under grafen til f avgrenset av linjene x = a og x = b.

En variant er kommandoen IntegralMellom[[f, g, a, b] som beregner det bestemte integralet av differansen mellom f og g, altså arealet mellom grafen til f og g, avgrenset av linjene x = a og x = b. Dette er illustrert under for f(x) = x + 1 (blå graf), g(x) = x2 - 2x + 1 (grønn graf), a = 1 og b = 2.

Illustrasjon av GeoGebra-funksjonen IntegralMellom

GeoGebra-fil
Se den tilhørende GeoGebra-fila.

Oppgave 3:

  1. Bruk GeoGebra til å finne arealet under grafen f(x) = x2 avgrenset av linjene x = 0 og x = 2.
     
  2. Bruk GeoGebra til å finne arealet mellom grafen g(x) = x + 1 og f(x) = x2.

Løsningsforslag:

Screencast
Se film der løsningen vises
.

GeoGebra-fil
Se den tilhørende GeoGebra-fila
.

Bestemt integral som sum av rektangler

I undervisningssammenheng illustrerer en gjerne et bestemt integral som en sum av arealene til rektangler som ligger inntil grafen. GeoGebra tilbyr to funksjoner som illustrerer dette:

  • SumOver[f, a, b, n] deler opp arealet under f avgrenset av a og b i n rektangler der rektanglenes øvre høyre hjørne ligger på grafen.
     
  • SumUnder[f, a, b, n] er tilsvarende, men det er rektanglenes øvre venstre hjørne som ligger på grafen.

Dette er illustrert under for f(x) = x2, a = 0, b = 2, n = 6.

Illustrasjon av GeoGebra funksjonen SumOver Illustrasjon av GeoGebra funksjonen SumUnder
SumOver[f, 0, 2, 6] SumUnder[f, 0, 2, 6]

Kombinert med en glider vil vi kunne illustrere hvordan oppdeling i stadig mindre rektangler fører til at rektanglenes areal nærmer seg et bestemt integral. Undersum fra undersiden og oversum fra oversiden.

Oppgave 4:

  1. Bruk GeoGebra til å finne oversum og undersum for f(x) = x2 med 10 rektangler mellom x = 0 og x = 2.
     
  2. Utvid det du laget i punkt 1 med en glider slik at du kan variere mellom 1 og 100 rektangler.
     
  3. Sammenlign oversummen og undersummen med
    Det bestemte integralet av f(x) mellom x = 0 og x = 2

Løsningsforslag:

Screencast
Se film der løsningen vises
.

GeoGebra-fil
Se den tilhørende GeoGebra-fila
.

Kilder

  • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
  • Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia

GeoGebra, trigonometri

De trigonometriske funksjonene

GeoGebra har alle de seks trigonometriske funksjonene innebygd:

  • Sinus: sin()
     
  • Cosinus: cos()
     
  • Tangens: tan()
     
  • Cosekant: csc() eller cosec()
     
  • Sekant: sec()
     
  • Cotangens: cot()

For sinus, cosinus og tangens finnes inverse funksjoner:

  • Sinus: asin() eller arcsin()
     
  • Cosinus: acos() eller arccos()
     
  • Tangens: tan() eller arctan()

For å plotte grafen til sinus for eksempel, skriver vi: sin(x) i inntastingsfeltet.

Grader og radianer

GeoGebra forventer at argumentet til de trigonometriske funksjonene oppgis i radianer. Vi ser for eksempel i bildet under at grafene til sinus og cosinus skjærer x-aksen i multipler av pi/2.

 

Kurvene til sinus og cosinus, skala langs x-aksen i radianer

GeoGebra tilbyr imidlertid en enkel måte å konvertere fra grader til radianer på, vi skriver bare et gradetegn, °, bak gradtallet. For eksempel er sin(90°) = 1. sin(x°) vil tegne grafen til sinus basert på grader. Gradetegnet får vi fram ved å trykke <alt>o, eller velge fra menyen som blir tilgjengelig når vi setter markøren i inntastingsfeltet:

Velge gradetegn fra meny i geogebra.

Vi ser at denne menyen også inneholder en del andre spesialtegn, blant annet pi. Pi kan vi også få fram ved å trykke <alt>p.

For å få pi eller pi/2 som akseenhet slik det er vist over, velger vi "Avstand" i Innstillinger-dialogboksen:

Velge pi / 2 som enhet på x-aksen

Illustrere definisjonen av sinus og cosinus

Med GeoGebra kan vi illustrere definisjonen av sinus og cosinus grafisk. Med basis i en enhetssirkel, er sinus og cosinus til en vinkel definert som vist i figuren under:

Definisjon av sinus og cosinus

Eksempel 1:

  • Vi skal illustrere definisjonen av sinus i GeoGebra:
  1. Zoom og panorer slik at en sirkel med radius 1 vises godt og tydelig.
     
  2. Lag en enhetssirkel:

    Velg "Sirkel definert ved sentrum og radius" fra denne menyen:
    Meny for å sette inn sirkel

    Klikk i origo, og oppgi 1 som radius i dialogboksen som kommer opp.

    GeoGebra tegner enhetssirkelen i grafikkfeltet og oppgir formelen i algebrafeltet under navnet cx2 + y2 = 1.

    GeoGebra lager også et punkt A i origo.
     

  3. Lag en sirkelbue på enhetssirkelen:

    Velg "Sirkelbue definert ved sentrum, radius og punkt" fra denne menyen:
    Illustrasjon av menypunkt

    Klikk i origo, deretter i (1, 0), deretter et stykke opp på sirkelen, for eksempel tilsvarende C i figuren over.

    GeoGebra lager et punkt B i (1, 0) og C der vi klikket på sirkelen. Punktet C kan skyves rundt på sirkelen. Punktene vises i grafikkfeltet og koordinatene kommer opp i algebrafeltet. I algebrafeltet kommer også lengden av sirkelbuen BC opp under navnet d.
     

  4. Lag et linjestykke mellom A og C:

    Skriv: Linjestykke[A, C] i inntastingsfeltet.

    GeoGebra tegner en linje mellom A og C i grafikkfeltet. I algebrafeltet kommer lengden på linjestykket opp under navnet a.

    Men denne lengden vet vi jo allerede alltid er 1.
     

  5. Lag et linjestykke mellom C og x-aksen. Dette linjestykket representerer sinus.

    Skriv: Linjestykke[C, (x(C), 0)] i inntastingsfeltet. Her er (x(C), 0) punktet som har samme x-koordinat som C, og y-koordinat 0. Dette punktet vil med andre ord alltid ligge på x-aksen rett under C.

    GeoGebra tegner en loddrett linje mellom C og x-aksen i grafikkfeltet. I algebrafeltet kommer lengden på linjestykket opp under navnet b.

  • ​Når vi nå drar punktet C langs enhetssirkelen illustreres sinus som et linjestykke i grafikkfeltet og et tall i algebrafeltet.

Oppgave 1:

  • Modifiser oppskriften i eksempel 1 til å illustrere definisjonen av cosinus.

Løsningsforslag:

  • Punkt 1 - 4 blir like. Men i punkt 5 skal vi lage et linjestykke fra C som står vinkelrett på y-aksen. Dette punktet vil ha x-koordinat 0, og samme y-koordinat som C: (0, y(C)). Så vi skriver: Linjestykke[C, (0, y(C))].

GeoGebra-fil
Se GeoGebra-fil med eksempel 1 og oppgave 1
.

Eksempel 2:

  • Vi skal bygge ut det vi laget i eksempel 1 slik at en sinuskurve tegnes opp ved å plotte sinus som en funksjon av vinkelen BAC.
  1. Hent fram fila fra eksempel 1.
     
  2. Finn sinus til vinkelen:

    Skriv: y(C) i inntastingsfeltet. Dette er y-koordinaten til punktet C, altså avstanden fra C til x-aksen, med andre ord sinus til BAC.

    GeoGebra viser tallverdien i algebrafeltet under navnet f.

    I eksempel 1 markerte vi denne avstanden med ei linje. GeoGebra viser lengden på denne linja som i algebrafeltet. Men vi kan ikke bruke den som sinus fordi den aldri blir negativ.
     

  3. Lag et punkt som har x-koordinat lik vinkelen (i radianer) og y-koordinat lik sinus til vinkelen:

    Skriv: (d, f) i inntastingsfeltet. d har vi fra eksempel 1 som lengden av sirkelbuen fra x-aksen opp til punktet C, altså størrelsen på vinkelen BAC målt i radianer. er sinus vi laget i punkt 2.

    GeoGebra oppretter et punkt som kalles D.

    Når vi drar i C, ser vi at D beveger seg langs en sinuskurve.
     

  4. Hvis nødvendig, zoom ut og panorer slik at ikke D forsvinner ut til høyre.
     
  5. Sett sporing på punktet D:

    Høyreklikk i D og velg "Slå på sporing".

    GeoGebra tegner opp en graf som følger punktet D.

Oppgave 2:

  • Modifiser oppskriften i eksempel 2 til å tegne grafen til cosinus.

Løsningsforslag:

  • I punkt 2 skal vi bruke x-koordinaten, ikke y-koordinaten til C og skriver: x(C). Denne verdien representerer cosinus, GeoGebra kaller den g i algebrafeltet. I punkt 3 bruker vi denne verdien når vi lager et punkt som har y-koordinat lik cosinus til vinkelen og skriver: (d, g). GeoGebra kaller punktet E, og vi kan sette sporing på det på samme måte som i eksempel 2.

GeoGebra-fil
Se GeoGebra-fil med eksempel 2 og oppgave 2
.

 Screencast
Se film som viser eksempel 1 og 2
.

Polarkoordinater

I GeoGebra kan vi ikke velge bort det kartesiske koordinatsystemet til fordel for et system med polarkoordinater. Men vi kan få rutenettet til å vise polarkoordinater. Det gjør vi ved å velge "Rutenett" fra Innstillinger-dialogboksen og sette "Type rutenett" til "Polar". Husk også å huke av for "Vis rutenett".

Illustrasjon av hvordan en velger polart rutenett.

Skal vi angi et punkt i polarkoordinater i GeoGebra, angir vi r og θ mellom parenteser, atskilt med semikolon. Forskjellen på å angi polarkoordinater og kartesiske koordinater er altså at vi bruker semikolon som skilletegn i stedet for komma. θ måles i radianer hvis vi ikke angir grader ved å skrive et gradetegn, °, slik som beskrevet i et tidligere avsnitt.

Eksempel 3:

  • Vi skal plotte punktet r = 2, θ = 45° I GeoGebra. Da skriver vi: (2; 45°) i inntastingsfeltet.

Oppgave 3:

  • Plott punktet r = 1, θ = 60° i GeoGebra.

Løsningsforslag:

  • Vi skriver: (1; 60°) i inntastingsfeltet.

Selv om vi oppgir θ i radianer, viser GeoGebra verdien i grader i algebrafeltet.

I algebrafeltet kan vi bytte mellom kartesiske koordinater og polarkoordinater ved å høyreklikke på koordinatene og velge "Kartesiske koordinater" eller "Polare koordinater".

Screencast
Se film som illustrerer bruk av polarkoordinater i GeoGebra
.

Kilder

  • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
  • Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia

GeoGebra, funksjonsanalyse

I denne artikkelen skal vi se hvordan vi kan bruke GeoGebra til å lage punkter, finne funksjonsverdier, skjæringspunkter, ekstremalpunkter, vendepunkter og asymptoter, samt lage verditabeller og bruke glidere.

Vi skal studere funksjonen f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 5x - 1. Vi starter med å skrive inn funksjonsforskriften i inntastingsfeltet. Potenser angis med en hatt (^), så det blir: x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 5x - 1. Når vi trykker <enter>, kommer funksjonsforskriften opp i algebrafeltet til venstre, og grafen i grafikkfeltet til høyre:

Graf til en fjerdegradsfunksjon i GeoGebra

Det kan være at du må justere på akseverdiene for å få bildet slik som vist over. For å justere på akseverdiene åpner du innstillinger-dialogboksen ved å velge "Rediger" - "Egenskaper", klikker på trekantsymbolet, og velger min- og maksverdier for x og y. I bildet over er x-min = -6, x-max = 3, y-min = -8, y-max = 10. (I stedet for å velge fra hovedmenyen kan vi også få opp innstillinger-dialogboksen ved å høyreklikke i grafikkfeltet eller på funksjonsforskriften i algebrafeltet og velge "Egenskaper").

Punkter

Det finnes flere måter å lage punkter på, beskrevet i brukermanualen. Her skal vi lage punkter ved å skrive inn koordinatene, (x, y) i inntastingsfeltet, for eksempel (2, 3) eller (-2, 1). Punktene dukker opp både i algebrafeltet og i grafikkfeltet, og gis navn fortløpende med store bokstaver, A, B, C, etc. Vi kan også gi punktene egne navn, da skriver vi navnet og et likhetstegn foran koordinatene, for eksempel: Origo = (0, 0). Et punktnavn kan altså bestå av flere bokstaver. NB! Første bokstav i navnet må være stor (versal), ellers blir punktet tolket som en vektor.

Funksjonsverdier

Med funksjonsverdien mener vi den verdien funksjonen gir ut når vi putter inn en gitt x-verdi. For å finne en funksjonsverdi, skriver vi funksjonsnavnet med den ønskede x-verdien i parentes i inntastingsfeltet. Har vi lagt inn en funksjon f(x), finner vi for eksempel verdien til f i = 1  ved å skrive:  f(1). Funksjonsverdien kommer opp i algebrafeltet med navnet a. Navnene tildeles fortløpende på samme måte som for punkter, a, b, c, etc., men kan også gis egne navn på samme måte, for eksempel: start = f(0). Vi kan fritt bruke både store og små bokstaver.

Basert på x-verdien og den tilhørende funksjonsverdien kan vi lage punkter på grafen til f(x). Har vi for eksempel funnet to funksjonsverdier, a = f(1) og b = f(-1), skriver vi: (1, a) og (-1, b) i inntastingsfeltet. Punktene dukker opp i algebrafeltet og grafikkfeltet når vi trykker <enter>.

Vi kan også lage et punkt på grafen uten å finne funksjonsverdien eksplisitt først. Vil vi for eksempel lage et punkt på grafen der x-verdien er -2, skriver vi: (-2, f(-2)).

Oppgave 1:

  • Bruk GeoGebra til å tegne grafen til funksjonen z(x) = x3 - 4x + 2, og plott punktene på grafen som har x-verdi -1 og 1. Kall punktene A og B.

Løsningsforslag:

Screencast
Se film der løsningen vises

Skjæringspunkter

Med GeoGebra kan vi finne skjæringspunktene mellom to kurver, eller mellom en kurve og aksene. En enkel måte å gjøre det på er å velge "Skjæring mellom to objekt" fra menyen som vist under.

Menyvalg for å finne skjæring mellom to punkter i GeoGebra

Deretter klikker vi på kurvene vi vil finne skjæringspunktene mellom. I stedet for to kurver kan vi også godt velge en kurve og en av aksene. Bildet under viser skjæringspunktene mellom f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 5x - 1 og x-aksen.

Skjæring mellom graf og x-akse i GeoGebra

Disse punktene representerer de fire løsningene til fjerdegradslikningen x4 + 6x3 + 7x2 - 5x - 1 = 0.

Ekstremalpunkter, nullpunkter og vendepunkter

Med GeoGebra kan vi finne en funksjons ekstremalpunkter, det vi si maksimal- og minimalpunkter, nullpunkter og vendepunkter.

I det følgende forutsetter vi at funksjonen f er en polynomfunksjon. GeoGebra har mulighet for å finne ekstremalpunkter og nullpunkter til andre funksjonstyper også, men kommandoene krever flere parametere, og vi går ikke inn på det her. Sjekk i brukermanualen. Vendepunkter kan vi bare finne i polynomfunksjoner.

Ekstremalpunktene finner vi ved å skrive "Ekstremalpunkt" i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet mellom klammeparenteser, for eksempel: Ekstremalpunkt[f].

Nullpunktene finner vi ved å skrive "Nullpunkt" i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet mellom klammeparenteser, for eksempel: Nullpunkt[f]. Nullpunktene er de samme som vi finner ved å be om skjæringspunktene mellom kurven og x-aksen.

Vendepunktene finner vi ved å skrive "Vendepunkt" i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet mellom klammeparenteser, for eksempel: Vendepunkt[f].

Oppgave 2:

  • Ta utgangspunkt i funksjonen f(x) = x3 + 2x2 - x - 2
  1. Bruk GeoGebra til å finne ekstremalpunktene til funksjonen.
     
  2. Bruk GeoGebra til å finne funksjonens vendepunkt.
     
  3. Bruk GeoGebra til å løse likningen x3 + 2x2 - x - 2 = 0.

Løsningsforslag:

  1. Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: x^3 + 2x^2 - x - 2.

    Ekstremalpunktene finner vi ved å skrive: Ekstremalpunkt[f] i inntastingsfeltet.

    GeoGebra angir at funksjonen har et maksimalpunkt i (-1,55, 0,63) og et minimalpunkt i (0,22, -2,11).
     

  2. Vendepunktet finner vi ved å skrive: Vendepunkt[f] i inntastingsfeltet.

    GeoGebra angir at funksjonen har et vendepunkt i (-0,67, -0,74).
     

  3. For å løse likningen, finner vi den tilhørende funksjonens nullpunkter ved å skrive: Nullpunkt[f] i inntastingsfeltet.

    GeoGebra angir at nullpunktene er (-2, 0), (-1, 0) og (1, 0).

    Løsningen er altså x1 = -2, x2 = -1 og x3 = 1.

    En annen løsningsmetode kan være å finne skjæringspunktene mellom f(x) og x-aksen.

    GeoGebra-fil
    Se den tilhørende GeoGebra-fila
    .

​Asymptoter

GeoGebra kan finne både horisontale, vertikale og skrå asymptoter. For å finne asymptotene til en funksjon, skriver vi: "Asymptote" i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet mellom klammeparenteser, for eksempel: Asymptote[f].

Asymptotene presenteres i form av ei liste. Hvis en funksjon ikke har noen asymptoter er lista tom.

Oppgave 3:

  • Finn eventuelle asymptoter til funksjonene
  1. f(x) = 3 + 2/(x + 4)
     
  2. g(x) = x2 + 3x - 2

Løsningsforslag:

  1. Vi skriver: 3 + 2 / (x + 4) i inntastingsfeltet.

    Vi skriver: Asymptote[f] i inntastingsfeltet.

    GeoGebra angir at asymptotene er y = 3 og x = -4. Asymptotene vises som ei liste i algebrafeltet og tegnes som to rette linjer i grafikkfeltet.
     

  2. Vi skriver: 3x^2 + 3x - 2 i inntastingsfeltet.

    Vi skriver: Asymptote[g]  i inntastingsfeltet.

    GeoGebra viser ei tom liste i algebrafeltet. Funksjonen har ingen asymptoter.

Lage verditabell

Ønsker vi å lage mange punkter langs en graf, er det tungvint å skrive inn x-verdiene en og en slik vi gjorde tidligere. Mye mer effektivt er det å bruke regneark-funksjonen til å generere en mengde punkter automatisk. Hvordan dette gjøres, er det lettest å vise ved hjelp av en film:

Screencast
Se film om å lage verditabell.

Oppgave 4:

  • Tegn grafen til f(x) = x3 - 4x + 2 og bruk verditabell til å plotte punkter på grafen med x-verdier fra -2 til 2 i sprang på 0,2.

Løsningsforslag:

  • Det er ikke laget eget løsningsforslag til denne oppgaven, men den er nesten helt lik det som vises i filmen om å lage verditabell, så bruk filmen til hjelp.

Bruke glidere

Av og til ønsker vi å se hvordan grafen til en funksjon endrer seg når en parameter varierer. For eksempel studere hvordan stigningstallet til f(x) = ax + b endrer seg når a endrer seg, og hvordan skjæringspunktet med y-aksen endrer seg når b endrer seg.

Til det kan vi bruke glidere. En glider som heter a er vist under. I GeoGebra kan vi klikke på prikken og dra den mot høyre for å øke verdien til a, og mot venstre for å redusere verdien til a.

Glider i GeoGebra

 

For å sette inn en glider, velger vi fra menyen som vist under:

Velge glider fra menyen i GeoGebra

 

Deretter klikker vi på punktet i grafikkfeltet der vi vil ha glideren.
Vi får opp en dialogboks som vist under:

Dialogboks for å angi glider-data

Det viktigste her er å velge riktig navn. GeoGebra foreslår a som navn på første glider, b som navn på andre og så videre. Dette navnet må samsvare med parameteren vi skal undersøke. Dersom vi for eksempel skal undersøke k i funksjonen f(x) = ka2, må glideren hete k.

Når vi har valgt navn, må vi velge intervall, det vil si hvilket tallområde glideren skal dekke. I dialogboksen over er Min = -5 og Maks = 5, det betyr at glideren dekker intervallet [-5, 5]. Når den står helt til venstre har den verdi -5, og når den står helt til høyre har den verdi 5.

Vi kan også velge animasjonstrinn, det vil si hvor mye verdien endrer seg når vi drar i glideren. I dialogboksen over er animasjonstrinnet 0,1, det vil si at hvis glideren står helt til venstre og vi drar den mot høyre, vil verdiene bli -5,0, -4,9, -4,8, …

Oppgave 5:

  • Bruk glidere i GeoGebra til å studere hvordan forskjellige valg av n påvirker grafen til funksjonen f(x) = xn. La n variere mellom hele tall fra 0 til 10.

Løsningsforslag:

Screencast
Se film der løsningen vises.

GeoGebra-fil
Se den tilhørende GeoGebra-fila
.

Oppgave 6:

  • I et fysikkforsøk varmer en gruppe elever opp vann til det koker, mens de måler temperaturen hvert minutt. Temperaturen stiger en stund lineært med tida, men stopper på 100 grader.

    I perioden mellom 10 og 14 minutter måler de følgende:

    Tid (min) 10 11 12 13 14
    Temperatur (grader Celsius) 60 64 70 76 80

    Legg målingene inn som punkter i GeoGebra og bruk glidere til å anslå en funksjonsforskrift for en lineær funksjon f(t) som kan brukes som modell for forsøket. La gliderne angi hele tall. (Du skal altså finne forskriften at + b for ei rett linje som går nærmest mulig målepunktene, der a og b er hele tall, og t er tida).

  1. Hvilken funksjonsforskrift fant du?
     
  2. Bruk funksjonsforskriften til å anslå hvilken temperatur vannet hadde da forsøket startet.
     
  3. Bruk funksjonsforskriften til å anslå hvor mye temperaturen stiger per minutt.
     
  4. Kan funksjonsforskriften brukes til å anslå hvilken temperatur vannet vil ha etter 30 minutter?  

Løsningsforslag:

  1. Ved å eksperimentere med glidere for a og b, finner vi at funksjonen f(t) = 5t + 10 ser rimelig bra ut. Her er det imidlertid rom for variasjon, så det kan godt være du har funnet noe som er bedre.
     
  2. f(0) = 10. Vannet holdt 10 grader da forsøket startet.
     
  3. Stigningstallet a = 5, derfor stiger temperaturen med 5 grader per minutt.
     
  4. Nei. f(30) = 160, og modellen er bare gyldig opp til 100 grader.


Se den tilhørende GeoGebra-fila
.

Kilder

  • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
  • Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia

GeoGebra, introduksjon

GeoGebra er et dataprogram med mye funksjonalitet som er nyttig når vi arbeider med funksjoner. GeoGebra finnes for både Windows, Mac og Linux, og kan lastes ned fra Norsk GeoGebra-institutt. Her finnes også brukermanualer.

To bøker som kan anbefales om GeoGebra er "Hennig Bueie: GeoGebra for lærere" (ISBN 978-82-15-01860-7) og "Tor Espen Kristensen: GeoGebra 4.0 for videregående skole". Den siste kan bestilles fra matematikksenteret.no.

Når GeoGebra starter, må vi velge oppsett. I artiklene på dette nettstedet bruker vi alltid "Algebra og grafikk":

Valg av GeoGebra-oppsett

Når vi har valgt "Algebra og grafikk", kommer GeoGebra opp i et vindu som vist under. Hoveddelene er "Meny", "Grafikkfelt", "Algebrafelt" og "Inntastingsfelt". Disse begrepene blir det referert til senere uten ytterlige forklaringer.

Hovedfelt i GeoGebra

Når vi skal bruke GeoGebra til å tegne en graf, skriver vi funksjonsforskriften i inntastingsfeltet og taster <enter>. Hvis vi ikke angir noe funksjonsnavn, kaller GeoGebra funksjonen for f(x). Skriver vi inn flere funksjonsforskrifter, blir funksjonene kalt g(x), h(x), og så videre alfabetisk.

Vil vi ha et annet navn, angir vi det før funksjonsforskriften, for eksempel v(x) = …

Eksempel 1:

  • Vi vil tegne grafene til funksjonene f(x) = 2x2, g(x) = -x og v(x) = 4x3.

    Da skriver vi i inntastingsfeltet:

    2x^2

    -x

    v(x) = 4x^3

    For de to første var det ikke nødvendig å angi funksjonsnavnet, men det krevdes for den siste, ellers ville navnet blitt h(x).

    Vi ser at vi bruker en hatt (^) for å angi "opphøyd i".

 

I utgangspunktet tegner GeoGebra grafene med svart, men det kan vi endre i Innstillinger-dialogboksen. Den får vi blant annet fram ved å velge "Rediger" - "Egenskaper".

For å endre farger klikker vi på fanen "Farge". Så klikker vi på navnet til funksjonen, og velger en farge fra paletten. I bildet under har vi gjort grafen til f(x) rød, g(x) blå og v(x) grønn.

Valg av farge til grafer i GeoGebra

Under fanen "Basis" kan vi endre funksjonsnavet og funksjonsforskriften og litt til.

Vi kan zoome og panorere ved å benytte undermenyene på knappen med krysset til høyre på menylinja. Vi henviser til brukermanualen for mer informasjon. Vi kan imidlertid også endre akseenhetene direkte ved å klikke på trekantsymbolet i Innstillinger-dialogboksen:

I utgangspunktet er det ingen begrensninger i valget av x-verdier, men vi kan begrense x til et gitt intervall ved å bruke kommandoen "Funksjon", etterfulgt av funksjonsforskriften og start og sluttverdien på intervallet mellom hakeparenteser, atskilt med komma.

Eksempel 2:

  • Vi skal bruke GeoGebra til å tegne grafen til f(x) = -2x2 + 5x + 2, innenfor intervallet [0,3].

    Da skriver vi i inntastingsfeltet: Funksjon[ -2x^2 + 5x + 2, 0, 3]

Når vi bruker "Funksjon" godtar ikke GeoGebra at vi angir et eget funksjonsnavn. Det må vi i så fall endre senere i Innstillinger-dialogboksen.

Oppgave 1:

  • Bruk GeoGebra til å tegne grafen til f(x) = 4x3 - 48x2 + 144x, innenfor intervallet [0, 6]. Juster deretter enhetene på aksene slik at hele grafen får plass i grafikkfeltet.

Løsningsforslag:

  • Vi skriver følgende i inntastingsfeltet:

    Funksjon[ 4x^3 - 48x^2 + 144x, 0, 6 ]

    Så går vi til Innstillinger-dialogboksen og endrer akseverdiene til omlag

    x-min = -2

    x-maks = 8

    y-min = -50

    y-maks = 150

    Grafen er vist under:

    Tredjegradskurve med begrensning i x-verdier


    Se den tilhørende GeoGebra-fila.

Kilder

  • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
  • Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia
Syndiker innhold