Trigonometri

Ordet trigonometri kommer av trigonom, som betyr trekant, og metri, som betyr måling.

I funksjonsartikkelen om trigonometriske funksjoner ble vi kjent med funksjonene sinus, cosinus og tangens. Nå skal vi se hvordan disse kan benyttes til å bestemme trekanter, det vil si å finne størrelsene på alle vinklene og lengden av alle sidene i trekanten.

Trigonometri i rettvinklede trekanter

I en rettvinklet trekant er en av vinklene er 900. Sidene som ligger inntil til den rette vinkelen kalles kateter, mens den motstående siden kalles hypotenusen. Dette er illustrert i figuren under.

Illustrasjon av kateter og hypotenus i rettvinklet trekant

Pytagoras' setning

Pytagoras' setning er oppkalt etter den greske matematikeren Pytagoras. Setningen angir en sammenheng mellom sidelengdene i en rettvinklet trekant, og sier at summen av kvadratene av katetene er lik kvadratet av hypotenusen. Kaller vi sidene $a$, $b$ og $c$ som på figuren over, har vi altså at

$a^2 + b^2 = c^2$

Det finnes en mengde forskjellige typer bevis for Pytagoras setning. Se for eksempel ndlas nettside og denne demonstrasjonen med vanntanker fra Vitensenteret i Arendal.

Oppgave 1:

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 13 cm og den ene kateten 12 cm. Hvor lang er den andre kateten?

Se løsningsforslag

Trigonometriske funksjoner

Pytagoras' setning gir oss hjelp til å finne lengden av den tredje siden i en rettvinklet trekant når to av de andre er kjent. Men den gir ingen hjelp med å finne vinklene. Til det trenger vi de trigonometriske funksjonene, som vi kaller sinus, cosinus og tangens. Dette er funksjoner i ordets egentlige forstand, og vi studerer dem i funksjonsartikkelen om trigonometriske funksjoner, men her nøyer vi oss med å si at de kan brukes til å uttrykke forholdstall i trekanter. Fordi funksjonsverdiene kan finnes med en kalkulator eller i et dataprogram som Excel eller GeoGebra, har vi derved et redskap til å beregne størrelsen på en trekants vinkler.

De to vinklene i en rettvinklet trekant som ikke er 900, vil ligge mellom en katet og hypotenusen. Kateten som ligger inntil vinkelen, kalles hosliggende katet, den andre kalles motstående katet. Dette er illustrert for vinkelen $v$ i figuren under.

Illustrasjon av hosliggende og motstående katet i rettvinklet trekant

Det er da slik at 

  • sinus til en vinkel er lik lengden av motstående katet dividert med lengden av hypotenusen.
  • cosinus til en vinkel er lik lengden av hosliggende katet dividert med lengden av hypotenusen.
  • tangens til en vinkel er lik lengden av motstående katet dividert med lengden av hosliggende katet.

Vi forkorter gjerne funksjonsnavnene til $\sin$, $\cos$ og $\tan$. Med referanse til figuren over har vi altså at

$\fbox{$\sin v = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle c} \\ \cos v = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle c} \\ \tan v = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}$}$

Kjenner vi størrelsen til en vinkel i en rettvinklet trekant og lengden til en av sidene, kan vi ved hjelp av disse formlene beregne lengdene til de to andre sidene. Sinus, cosinus og tangens til en vinkel finner vi ved hjelp av en kalkulator eller et dataprogram som Excel eller GeoGebra.

Eksempel 1:

I en rettvinklet trekant med navn som i figuren over, har vi at vinkelen $v=50^\circ$, at sidelengden $a=7$, og vi skal bruke trigonometriske funksjoner til å finne sidelengdene $b$ og $c$.

Fra lista med formler ser vi at $\tan v = {\large \frac{b}{a}}$, altså er $b = a \cdot \tan v$.

Vi setter inn de oppgitte verdiene og får

$b = 7 \cdot \tan 50^\circ \approx 7 \cdot 1{,}19 \approx 8{,}33$.

Fra lista med formler ser vi at $\cos v = {\large \frac{a}{c}}$, altså er $c = {\large \frac{a}{\cos v}}$.

Vi setter inn de oppgitte verdiene og får

$c = {\large \frac{7}{\cos 50^\circ}} \approx {\large \frac{7}{0{,}64}} \approx 10{,}89$.

Her brukte vi en kalkulator til å finne $\tan50^\circ \approx 1{,}19$ og $\cos 50^\circ \approx 0{,}64$.

I eksempel 1 kunne vi også brukt formelen $\sin v = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle c}$ til å beregne $c$, for vi hadde jo allerede beregnet $b$.  Imidlertid inneholder $b$ en avrundingsunøyaktighet, mens $a$ er oppgitt til å være akkurat $7$. Derfor er det et bedre valg å bruke at $\cos v = {\large \frac{a}{c}}$, slik vi har gjort. Når vi har flere alternative utregningsmetoder, bør vi alltid bruke den som gir minst unøyaktighet.

I eksempel 1 kunne vi naturligvis også beregnet $c$ ved hjelp av Pytagoras' setning:

$c^2 = a^2 + b^2 \approx 7^2 + 8,33^2 \approx 118{,}39 \Rightarrow c \approx 10{,}88$.

Som er det samme vi fant i eksempel 1, med unntak av en avrundingsunøyaktighet.

Windows har en kalkulator vi kan få fram ved å skrive "Kalkulator i Windows-menyen. Velger vi så "Vitenskapelig" i menyen øverst til venstre på kalkulatoren, ser den ut som vist til venstre under. Her har vi markert knappene for de trigonometriske funksjonene, og knappen "DEG", som brukes til å skifte mellom "DEG" = grader, "RAD" = radianer og "GRAD" = gradianer, altså på hvilket format vinkelmålet oppgis.

Illustrasjon av trigonometriske funksjoner i Windows-kalkulator   Illustrasjon av inverse trigonometriske funksjoner i Windows-kalkulator

Navngivingen i en trekant kan være vilkårlig. Vi bør derfor huske at sinus er motstående over hypotenus, cosinus er hosliggende over hypotenus og tangens er motstående over hosliggende, i stedet for å pugge formlene med a, b og c.

Oppgave 2:

I en rettvinklet trekant med navn som i figuren under har vi at $v = 42^\circ$ og $d = 10$. Finn lengdene til $c$ og $e$.

Rettvinklet trekant som illustrerer oppgave

Se løsningsforslag

Inverse trigonometriske funksjoner

Vi har så langt sett hvordan vi kan beregne lengden til sidene i en rettvinklet trekant basert på størrelsen til vinkler, men vi kan også beregne vinkler basert på lengden til sidene. Har vi for eksempel formelen $\tan x = {\large \frac{b}{a}}$ og vet at $b=3$ og $a=6$, følger det at $\tan x = {\large \frac{3}{6}} = 0{,}5$. Nå kjenner vi ikke vinkelen og skal finne tangens, men kjenner tangens og skal finne vinkelen. Til dette bruker vi den inverse tangensfunksjonen, som ut fra en gitt tangens-verdi beregner vinkelen.

Vi bruker kalkulatoren og finner at $\tan^{-1} 0{,}5 \approx 26{,}6 ^\circ$. Så vinkelen $x$ er omlag $26{,}6^\circ$.

Det finnes inverse (omvendte) funksjoner for både sinus, cosinus og tangens, de heter asin, acos og atan alternativt arcsin, arccos og arctan. De skrives ofte også som $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ og $\tan^{-1}$. På bildet av Windows-kalkulatoren til høyre over, har vi aktivert disse funksjonene ved å trykke på pil-opp, slik det er markert.

Eksempel 2:

I trekanten under er det oppgitt at sidelengdene $a=7$ og $c=9$ og vi skal finne vinkelen $B$.

Rettvinklet trekant som illustrerer eksempel

Vi vet at cosinus til en vinkel er lik hosliggende katet over hypotenusen, så vi får at

$\cos B = {\large \frac{a}{c}} = {\large \frac{7}{9}} \approx 0{,}78$.

Vi får da at

$B = \cos^{-1} 0{,}78 \approx 38{,}7 ^\circ$.

Oppgave 3:

I trekanten i eksempel 2 vet vi at sidelengden $a=7$ og $c=9$. Bruk trigonometri til å finne vinkelen $A$. Kontroller at vinkelsummen i trekanten blir $180^\circ$, når du fra eksempel 2 vet at vinkelen $B$ er omlag $38{,}7^\circ$.

Se løsningsforslag

Trigonometri i vilkårlige trekanter

Vi har i forrige avsnitt sett hvordan vi kan beregne vinkler og sidelengder i rettvinklede trekanter. Nå skal vi se på noen regler som gjelder i vilkårlige trekanter, slik som den under.

Eksempel på vilkårlig trekant

Arealsetningen

Arealsetningen sier at arealet av en vilkårlig trekant er halve produktet av lengden til 2 sider og sinus til vinkelen mellom dem.

Med referanse til trekanten over får vi

$\fbox{$\text{Areal} = {\large \frac{1}{2}} a b \sin C = {\large \frac{1}{2}} b c \sin A = {\large \frac{1}{2}} a c \sin B$}$

Sinus til en rett vinkel er $1$. Hvis for eksempel vinkelen $C$ er rett, får vi fra formelen over at

$\text{Areal} = {\large \frac{1}{2}} a b \cdot 1 ={\large \frac{1}{2}} a b$

Noe som vi kjenner igjen som formelen for å beregne arealet av en rettvinklet trekant med kateter $a$ og $b$. Denne formelen er altså et spesialtilfelle av arealsetningen.

Eksempel 3:

I trekanten over er sidelengden $a=9$, sidelengden $c=9{,}8$, vinkelen $B=30^\circ$ og vi skal beregne arealet. Arealsetningen gir

$\text{Areal} = {\large \frac{1}{2}} a c \sin B =  {\large \frac{1}{2}} \cdot 9 \cdot 9{,}8 \cdot \sin 30^\circ =  {\large \frac{1}{2}} \cdot 9 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}5 = 22{,}05$

Sinussetningen

Sinussetningen sier at i en vilkårlig trekant er forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden til den motstående siden i en trekant den samme for alle de tre vinklene og sidene. Med trekanten over som eksempel har vi altså at

$\fbox{${\large \frac{\sin A}{a}} ={\large \frac{\sin B}{b}} ={\large \frac{\sin C}{c}}$}$

Eksempel 4:

I trekanten over er sidelengden $a=9$, sidelengden $c=9{,}8$, vinkelen $A=66^\circ$ og vi skal beregne vinkelen $C$. Sinussetningen gir

${\large \frac{\sin C}{c}} ={\large \frac{\sin A}{a}} \Rightarrow \sin C = {\large \frac{c \cdot\sin A}{a}} =  {\large \frac{9,8 \cdot\sin 66^\circ}{9}} \approx 0{,995}$

$C = \sin^{-1} 0{,}995 \approx 84^\circ$.

Vi ser at dette er riktig, fordi vinkelsummen i en trekant skal være $180^\circ$, og

$A+B+C = 66^\circ + \ 30^\circ + 84^\circ = 180^\circ$

Cosinussetningen

Cosinussetningen sier at i en vilkårlig trekant er kvadratet av en sidelengde lik summen av kvadratene av de andre to sidelengdene minus to ganger produktet av de to sidelengdene og cosinus til vinkelen mellom dem.

Med referanse til trekanten over, får vi at

$\fbox{$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A \\
\\
b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos B \\
\\
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C$}$

Denne setningen kalles også "den utvidede pytagoreiske setning". For hvis for eksempel vinkelen $C$ er rett, er $\cos C = 0$, og formelen blir redusert til den vanlige pytagoreiske setningen,

$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2$

Eksempel 5:

I trekanten over er sidelengden $a=9$, sidelengden $c=9{,}8$, vinkelen $B=30^\circ$ og vi skal beregne sidelengden $b$. Cosinussetningen gir

$b^2 = a^2 + c^2 – 2 a c \cos B = 9^2 + 9{,}8^2 – 2 \cdot 9 \cdot 9{,}8 \cdot \cos 30^\circ \approx 24{,}273$

$b \approx \sqrt{24,273} \approx 4{,}9$.

Oppgave 4:

I trekanten under er det gitt to sidelengder, $a = 7$ og $c = 9$, samt en vinkel, $B = 40^\circ$. Beregn

  1. Sidelengden $b$.
     
  2. Vinklene $A$ og $C$.
     
  3. Trekantens areal.

Eksempel på vilkårlig trekant

Se film med løsningsforslag 
 (Her brukes en eldre utgave av Windows-kalkulatoren)

Trigonometriske sammenhenger

Verdiene til de trigonometriske funksjonene kan ofte bare uttrykkes som desimaltall, men for vinkler på 0, 30, 45, 60 og 90 grader blir verdiene hele tall eller kan uttrykkes som røtter av hele tall, som vist i tabellen under:

Liste over spesielle trigonometriske verdier

I en rettvinklet trekant som vist under, kaller vi vinklene ved hypotenusen for $v$ og $v'$:

Eksempel på vinkler i en rettvinklet trekant

Siden vinkelsummen i en trekant er $180^\circ$, og $90^\circ$ går bort i den rette vinkelen, må vi ha $v'=90^\circ-v$.

Ved å bruke reglene for trigonometriske funksjoner i trekanter, ser vi at vi har:

$\sin v = {\large\frac{b}{c}} \\
\cos v = {\large\frac{a}{c}} \\
\sin v' = {\large\frac{a}{c}} \\
\cos v' = {\large\frac{b}{c}}$

Sinus til $v$ er altså lik cosinus til $v'$ og omvendt. Og siden $v'=90^\circ-v$, ser vi at vi har

$\fbox{$\cos v = \sin(90^ \circ – v)$}$

$\fbox{$\sin v = \cos (90^ \circ – v)$}$

Disse sammenhengene gjelder for alle vinkler.

I trekanten over har vi også at

$\tan v = {\large\frac{b}{a}}$

Og ved å skrive om formlene for sinus og cosinus over, har vi at

$b = c \sin v$

$a = c \cos v$

Vi har altså at $\tan v = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a} = \frac{\displaystyle c \cdot \sin v}{\displaystyle c \cdot \cos v} = \frac{\displaystyle \sin v}{\displaystyle \cos v}$.

Tangens er lik sinus dividert på cosinus. Denne sammenhengen gjelder for alle vinkler.

$\fbox{$\tan v = \frac{\displaystyle \sin v}{\displaystyle \cos v}$}$

Oppgave 5:

Undersøk om sammenhengene

$\cos v = \sin90^ \circ – v$

$\tan v = \frac{\displaystyle \sin v}{\displaystyle \cos v}$

er riktige for vinklene 0, 30, 45, 60 og 90 grader, slik de er vist i tabellen lenger opp.

Se løsningsforslag

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia