Trigonometriske funksjoner

 Periodiske funksjoner

I naturen møter vi mange periodiske fenomener. Periodiske fenomener er noe som gjentar seg i et fast mønster over tid. For eksempel Solas høyde over horisonten, som varierer med tidspunkt på dagen, og med årstiden. Noen fenomener er lette å beskrive matematisk, andre er mer kompliserte. Grafene under viser lyd fra en tonegenerator, det vil si endringer i lufttrykk som funksjon av tiden. Grafen til venstre representerer en mer høyfrekvent tone enn den til høyre.

Kurveform for en høyfrekvent tone Kurveform for en lavfrekvent tone

 

I andre artikler har vi arbeidet med polynomfunksjoner, potensfunksjoner og rasjonale funksjoner, men ingen av de grafene vi har produsert hittil har liknet på disse kurvene. Og det lar seg ikke gjøre å modellere et fenomen som lyd eller noe annet periodisk fenomen ved hjelp av noen av disse. Vi trenger en ny type funksjoner som kalles trigonometriske funksjoner. De heter sinus, cosinus og tangens, og skrives vanligvis forkortet som $\sin$, $\cos$ og $\tan$.

Kurvene over lar seg lett beskrive ved hjelp av trigonometriske funksjoner, begge er på formen $f(x) = \sin ax$, der $a$ er en konstant. Stor $a$ gir kjappe svingninger som i kurven til venstre, liten $a$ langsomme svingninger som i kurven til høyre.

De trigonometriske funksjonene er periodiske, det vil si at de gjentar seg selv etter en viss tid. Formelt sier vi at en funksjon, $f$, er periodisk hvis det finnes en $T$ slik at $f(x) = f(x + T)$ for alle $x$. Dette er illustrert i filmen under.
ScreencastSe film om periodisitet
En mer kompleks kurve er et menneskes hjerterytme, vist under.

Periodisk kurve som viser et menneskes hjerterytme

Den er også periodisk, men lar seg ikke modellere med en enkelt trigonometrisk funksjon. Ved å bygge opp rekker av trigonometriske funksjoner kan vi imidlertid modellere alle periodiske fenomener, som vi skal se i siste avsnitt.

Nå skal vi vise hvordan vi får fram kurvene til sinus og cosinus. Vi lager en sirkel med radius 1, merker av et punkt på sirkelen, og trekker ei linje inn til origo. Linja vil danne en vinkel med x-aksen:

Definisjon av sinus og cosinus

Sinus til denne vinkelen er da avstanden fra punktet ned til x-aksen, cosinus er avstanden fra punktet bort til y-aksen. Hvis vi lar vinkelen variere i skritt på $30^\circ$ og måler disse avstandene, får vi følgende tabell:

Vinkel Sinus Cosinus
00 0,0 1,0
300 0,5 0,9
600 0,9 0,5
900 1,0 0,0
1200 0,9 -0,5
1500 0,5 -0,9
1800 0,0 -1,0
2100 -0,5 -0,9
2400 -0,9 -0,5
2700 -1,0 0,0
3000 -0,9 0,5
3300 -0,5 0,9
3600 0,0 1,0

Vi ser at sinus starter på $0$ når vinkelen er $0^\circ$, når et maksimum på $1$ når vinkelen er $90^\circ$, synker til $0$ når vinkelen er $180^\circ$, når et minimum på $-1$ når vinkelen er $270^\circ$, og går tilbake til $0$ når vinkelen er $360^\circ$. Etter $360^\circ$ vil det hele gjenta seg. Sinus er altså periodisk med en periode på $360^\circ$. Cosinus følger samme mønster, men starter på $1$ i stedet for $0$. Kurvene for cosinus og sinus er derfor helt like, bare litt forskjøvet i forhold til hverandre. For enhver vinkel, $v$, har vi at $\cos(v – 90^\circ) = \sin v$.

Verdiene til cosinus og sinus varierer altså bare innenfor intervallet $[-1, 1]$. Studerer vi fortegnet, ser vi følgende:

  • 1. kvadrant: sinus positiv og cosinus positiv.
  • 2. kvadrant: sinus positiv og cosinus negativ.
  • 3. kvadrant: sinus negativ og cosinus negativ.
  • 4. kvadrant: sinus negativ og cosinus positiv.

Et plott av grafene til sinus og cosinus er vist under. Sinus i blått og cosinus i rødt.

Kurvene til sinus og cosinus

Den tredje trigonometriske funksjonen, tangens, får vi ved å dividere sinus på cosinus: $\tan x = \frac{\displaystyle \sin x }{\displaystyle \cos x }$. Et plott av grafen til tangens er vist under.

Kurven til tangens

Vi ser at verdiene til tangens ikke holder seg mellom $-1$ og $1$, verdiområdet er hele $\mathbb R$.

Det finnes tre funksjoner til, der sinus, cosinus og tangens står under en brøkstrek:

  • cosekant: $\csc x = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin x}$
  • sekant: $\sec x = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos x}$
  • cotangens: $\cot x = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \tan x}$

Disse brukes mindre, og vi kommer ikke tilbake til dem.

Inverse trigonometriske funksjoner

Så langt har vi startet med en vinkel og beregnet en verdi som representerer sinus, cosinus eller tangens til vinkelen, men vi kan også gå andre veien, starte med en verdi og finne den tilhørende vinkelen.

Til dette bruker vi inverse trigonometriske funksjoner, også kalt omvendte trigonometriske funksjoner. Den inverse sinusfunksjonen heter arcus sinus, forkortet $\arcsin$, den inverse cosinusfunksjonen heter arcus cosinus, forkortet $\arccos$, og den inverse tangensfunksjonen heter arcus tangens, forkortet $\arctan$. Betegnelsen arcus betyr bue, og refererer til sirkelbuen vi bruker i definisjonen av de trigonometriske funksjonene. Vi kan også angi disse funksjonene ved hjelp av et ett-tall i hevet skrift, $\sin^{-1}$$\cos^{-1}$ og $\tan^{-1}$.

Definisjonsområdet til $\arcsin$ og $\arccos$ er $[-1, 1]$, siden sinus og cosinus til en vinkel alltid ligger mellom $-1$ og $1$. Definisjonsmengden til $\arctan$ er hele $\mathbb R$, siden tangens til en vinkel kan være et hvilket som helst tall.

Siden de trigonometriske funksjonene er periodiske, finnes det uendelig mange vinkler som korresponderer med en gitt verdi, så for å få entydighet, begrenser vi verdimengdene. $\arcsin$ og $\arctan$ har verdimengde $[-90^\circ, 90^\circ]$, og $\arccos$ har verdimengde $[0, 180^\circ]$.

Eksempel 1:

$\sin 30^\circ = \sin 390^\circ = \sin 750^\circ = 0{,}5$.

$\arcsin 0{,}5 = 30^\circ$.

Radianer

Vi er vant med at størrelsen på vinkler måles i grader, men det er egentlig ikke et særlig praktisk mål. I matematikken ellers opererer vi jo med tall. I stedet for grader som mål på en vinkel bruker en i matematikken heller noe som kalles radianer, og er vanlige tall uten enhet. Når vi måler i radianer, måler vi hvor stor bue en vinkel skjærer ut av en sirkel med radius 1. En vinkel på 1 radian skjærer ut en bue med lengde 1, slik det er vist i figuren under:

Illustrasjon av radian

Vi vet at omkretsen av en sirkel er gitt ved formelen $O = 2 \pi r$, der $r$ er sirkelens radius. Når radien er $1$, blir omkretsen av sirkelen $2 \pi$. En halv sirkel blir $\pi$, og en kvart sirkel blir $\large{\frac{\pi}{2}}$. Det vil si at $90^\circ$ tilsvarer $\large{\frac{\pi}{2}}$ radianer, $180^\circ$ tilsvarer $\pi$ radianer, og $360^\circ$ tilsvarer $2 \pi$ radianer. En oversikt over vinkler i grader og radianer er vist under:

Illustrasjon av kopling mellom grader og radianer

Siden $180^\circ$ tilsvarer $\pi$ radianer, regner vi om fra grader til radianer ved å multiplisere med $\pi$ og dividere med $180^\circ$. For å regne om fra radianer til grader multipliserer vi med $180^\circ$ og dividerer med $\pi$.

Oppgave 1:

Regn om $45^\circ$ til radianer.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Regn om $\frac{\displaystyle 5 \pi}{\displaystyle 2}$ radianer til grader.

Se løsningsforslag

Et plott av $\sin x$ og $\cos x$ i radianer er vist under.

Kurvene til sinus og cosinus, skala langs x-aksen i radianer

En god motivasjon for å lære seg å håndtere radianer, er at de fleste dataprogrammer forventer at vinkler oppgis i radianer. På kalkulatorer kan vi gjerne velge, og vi har ofte også et tredje alternativ, nygrader eller gradianer. Det er omtrent som grader, bare at sirkelen er delt i 400 grader i stedet for 360. En typisk feilårsak når trigonometriske beregninger bare blir nesten riktige, er at kalkulatoren er innstilt på nygrader, "GRA", i stedet for grader, "DEG".

Både i Excel og GeoGebra heter de trigonometriske funksjonene sin, cos og tan, og de inverse trigonometriske funksjonenene heter arcsin, arccos og arctan. I GeoGebra kan også navnene asin, acos og atan brukes.

Vinkler oppgis i radianer i Excel. For å regne om fra grader til radianer bruker vi funksjonen radianer, og for å regne om fra radianer til grader bruker vi funksjonen grader.

Eksempel 2:

Vi skal beregne sinus til $30^\circ$ i Excel. I ei celle skriver vi =sin(radianer(30))

I GeoGebra kan vi angi at en vinkel er oppgitt i grader ved å skrive et gradetegn, altså 0, bak vinkelmålet. Dette tegnet får vi fram ved å trykke <alt>o.

Eksempel 3:

Vi skal beregne sinus til $30^\circ$ i GeoGebra. I inntastingsfeltet skriver vi sin(300)

Gradetegnet får vi altså fram ved å trykke <alt>o.

I GeoGebra finnes det egne varianter av de inverse trigonometriske funksjonene, som gir resultatet i grader, asind, acosd og atand.

Eksempel 4:

Vi skal bruke Excel og GeoGebra til å finne en vinkel, målt i grader, som har tangens lik 1.

I ei celle i Excel skriver vi =grader(arctan(1))

I inntastingsfeltet i GeoGebra skriver vi atand(1)

På dette nettstedet finnes en egen artikkel om trigonometriske funksjoner i GeoGebra.

Det finnes funksjonsnavn både i Excel og GeoGebra som likner på de navnene vi har nevnt, men har en h på slutten, for eksempel sinh. Dette er hyperbolske varianter av de trigonometriske funksjonene, der vi i stedet for å definere funksjonene ved hjelp av en sirkel, definerer dem ved hjelp av en hyperbel. Vi går ikke nærmere inn på dette.

Oppgave 3:

Under vises en tabell over vinkler i grader og radianer, samt trigonometriske funksjoner. Bruk dataprogram eller kalkulator til utregningene og fyll ut det som mangler. Svar på desimalform er greit, det er ikke nødvendig med eksakte svar

Vinkel i grader   84    
Vinkel i radianer 0,78      
Sinus til vinkel     -0,40  
Cosinus til vinkel       0,53

ScreencastSe film med løsningsforslag

Kombinasjon av vinkler

Vi henter fram et utsnitt av figuren vi brukte da vi definerte sinus og cosinus:

Sinus og cosinus utgjør katetene i en rettrvinklet trekant

 

Vi ser at sinus og cosinus utgjør katetene i en rettvinklet trekant der hypotenusen har lengde $1$. Pytagoras gir oss derfor følgende sammenheng:

$\fbox{$\sin^2 + \cos^2 = 1$}$

Oppgave 4:

Sinus til en vinkel er $\large \frac{\sqrt 3}{2}$. Hva er cosinus? Finn eksakt svar.

Se løsningsforslag

Speiler vi figuren over om x-aksen, ser den slik ut:

Sinus og cosinus speilet om x-aksen

Vinkelen $v$ blir til vinkelen $-v$. Vi ser av figuren at når $v$ skifter fortegn, skifter sinus fortegn, men cosinus forblir den samme. Vi har altså at

$\fbox{$\sin v = -\sin(-v) $}$

$\fbox{$\cos v = \cos(-v) $}$

Oppgave 5:

  1. Sinus til en vinkel på $30^\circ$ er $0{,}5$. Hva er sinus til en vinkel på $-30^\circ$?
  2. Cosinus til en vinkel på $60^\circ$ er $0{,}5$. Hva er cosinus til en vinkel på $-60^\circ$?
  3. Hva er cosinus til en vinkel på $300^\circ$?

Se løsningsforslag

Det er ikke slik at sinus eller cosinus til en sum av to vinkler er lik summen av sinus eller cosinus til hver av vinklene. Vi har derimot at for to vinkler $u$ og $v$ er:

$\fbox{$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$}$

$\fbox{$\cos(u + v) = \cos u \cos v – \sin u \sin v$}$

og

$\fbox{$\sin(u – v) = \sin u \cos v – \cos u \sin v$}$

$\fbox{$\cos(u – v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$}$

Oppgave 6:

Benytt følgende fakta

$75^\circ = 30^\circ + 45^\circ$

$\sin 30^\circ = \large \frac{1}{2}$

$\cos 30^\circ = \large \frac{\sqrt 3}{2}$

$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \large \frac{\sqrt 2}{2}$

til å finne eksakt

  1. $\sin 75^\circ$
  2. $\cos 75^\circ$

Se løsningsforslag

Sum av trigonometriske funksjoner

Adderer vi polynomfunksjoner, får vi en ny polynomfunksjon. Adderer vi trigonometriske funksjoner derimot, får vi generelt ikke en ny trigonometrisk funksjon. Tvert imot kan enhver periodisk funksjon tilnærmes ved summer av trigonometriske funksjoner, såkalte Fourier-rekker, oppkalt etter matematikeren Jean Baptiste Joseph Fourier. Vi skal ikke gå nærmere inn på dette, bare vise et eksempel.

Vi ser på rekka $\sin x + \frac{\displaystyle \sin 3x}{\displaystyle 3} + \frac{\displaystyle \sin 5x}{\displaystyle 5} + \dots$.

Tar vi med bare ett ledd, altså $\sin x$, blir grafen slik vi har sett flere ganger tidligere i denne nettleksjonen:

Fourier-rekke med ett ledd

Tar vi med to ledd, altså $\sin x + \frac{\displaystyle \sin 3x}{\displaystyle 3}$, får grafen en dipp. Vi har fått en helt ny periodisk funksjon:

Fourier-rekke med to ledd

Tar vi med tjue ledd, altså $\sin x + \frac{\displaystyle \sin 3x }{\displaystyle 3} + \dots + \frac{\displaystyle \sin 39x}{\displaystyle 39}$, ser grafen slik ut:

Fourier-rekke med tjue ledd

Summen av de fine, buede sinusgrafene blir en graf som nesten er firkantet. Jo flere ledd vi tar med, jo nærmere kommer grafen en perfekt firkantkurve. Figurene over er laget med GeoGebra. De som har lyst til å studere hvordan kurveformen endrer seg med antall ledd, kan åpne GeoGebra-fila det er lenket til under.

GeoGerba-filSe den tilhørende GeoGebra-fila.

Ved å undersøke hvordan fila er bygget opp, vil du også lære noe om bruk av følger og rekker i GeoGebra.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia