Ubestemte integraler

Integrasjon som antiderivasjon

Vi har i andre artikler lært å derivere, det vil si, basert på en funksjon, avlede en ny funksjon som beskriver hvordan den opprinnelige funksjonen endrer seg. Hvis den opprinnelig funksjonen for eksempel er  $f(x)=x^2$, blir den deriverte $f'(x)=2x$.

Nå skal vi gå andre veien, det vil si ta utgangspunkt i den deriverte og finne fram til den opprinnelige funksjonen, antiderivere.

Altså, hvis $f'(x)=2x$, er en antiderivert, er $f(x)=x^2$.

Men vi sløyfer derivasjonstegnet, og bruker stor $F$ for den antideriverte:

Hvis $f(x)=2x$, er en antiderivert, er $F(x)=x^2$.

Generelt sier vi at $F(x)$ er en antiderivert til $f(x)$ når $F'(x)=f(x)$.

Eksempel 1:

Hvis $f(x)=3x^2$, er $F(x)=x^3$ en antiderivert.

Men $F(x)=x^3$ er ikke den eneste antideriverte, for det er flere funksjoner som har en derivert lik $3x^2$. For eksempel har vi at

$F(x)=x^3 + 1$, siden $(x^3+1)'=3x^2$.

$F(x)=x^3 – 8$, siden $(x^3 – 8)'=3x^2$.

Siden konstanter faller bort ved derivasjon, skjønner vi at det finnes uendelig mange antideriverte som bare skiller seg fra hverandre ved en konstant. Vi kaller den integrasjonskonstanten, og symboliserer den med $C$, der $C$ er et vilkårlig reelt tall.

Generelt har vi altså at når $f(x)=3x^2$, er $F(x)=x^3 + C$, siden $(x^3 + C)'=3x^2$.

Det er vanlig å kalle antiderivasjon for integrasjon, symbolisert med et integrasjonstegn: $\int$

Bak uttrykket som skal integreres, skriver vi $dx$, noe som indikerer at det er $x$ som er variabelen i integrasjonsuttrykket. Det generelle uttrykket for å integrere en funksjon av en variabel, $x$, er altså:

$\fbox {$\int f(x) dx = F(x) + C $}$

$\int f(x) dx$ kalles det ubestemte integralet til $f(x)$ med hensyn på $x$.

Eksempel 2:

$\int 2x \; dx = x^2 + C$

$\int 2 \; dx = 2x + C$

Integrasjon av konstanter

Ved å bruke regelen for å derivere en konstant baklengs, får vi:

$\fbox {Integrasjon av konstanter: $ \int k \; dx = kx + C $}$

Eksempel 3:

$\int -5 \; dx = -5x + C$

Integrasjon av potensfunksjoner

Ved å bruke regelen for å derivere en potensfunksjon baklengs, får vi:

$\fbox {Potensregel for integrasjon: $ \int x^{\displaystyle r} \; dx = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r+1}x^{\displaystyle r+1} + C $, $r\ne -1$}$

Vi adderer altså 1 i eksponenten, og dividerer på den nye eksponenten. Dette gjelder for alle verdier av eksponenten, $r$, unntatt $r = -1$, et spesialtilfelle vi kommer tilbake til.

Potensregelen gjelder også for negative $r$, så vi kan benytte at $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^r} = x^{-r}$ til å integrere uttrykk der variabelen står under en brøkstrek.

Potensregelen gjelder også for $r$ som ikke er hele tall, så vi kan benytte at $\sqrt[\LARGE n]{x} = x^{\Large \frac{1}{n}}$ til å integrere rotuttrykk.

Eksempel 4:

$\int x^3 \; dx = {\large \frac{ 1}{3+1}}x^{3+1} + C = {\large \frac{1}{4}}x^4 + C$

$\int  \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^2} \; dx = \int x^{-2} \; dx = {\large \frac{1}{-2+1}}x^{-2+1} + C = -1x^{-1} + C = -{\large \frac{1}{x}} + C$

$\int  \sqrt[{\Large 3}]x \; dx = \int x^{\Large \frac{1}{3}} \; dx = {\Large \frac{1}{\frac{1}{3}+1}}x^{\Large{\frac{ 1}{ 3}}+1} + C = {\large \frac{3}{4}}x^{\Large \frac{ 4}{ 3}} + C = {\large \frac{3}{4}}\sqrt[{\Large 3}]{x^4} + C = {\large \frac{3}{4}}x\sqrt[{\Large 3}]{x} + C$

ScreencastSe film om integrasjon av potensfunksjoner
 

Oppgave 1:

Beregn følgende ubestemte integraler:

  1. $\int x^3 \; dx$
     
  2. $\int \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^3} \; dx$
     
  3. $\int \sqrt[{\Large4}]{t} \; dt$

Se løsningsforslag

Et spesialtilfelle har vi når eksponenten er -1, altså $f(x) = x^{-1}$, eller med andre ord $f(x) = {\large \frac{1}{x}}$. Ved derivasjon av potensfunksjoner trekker vi fra 1 i eksponenten, men for å få $x^{-1}$ måtte vi da startet med $x^0$, men $x^0 = 1$,og deriverer vi 1, får vi 0. Potensregelen for integrasjon gjelder altså ikke i dette tilfellet. I stedet har vi:

$\fbox {$ \int \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x} \; dx = \ln|x| + C $}$

Denne regelen kan utvides litt, til å gjelde alle brøker der teller er en konstant og nevner er et vilkårlig førstegradspolynom:

$\fbox {$ \int \frac{\displaystyle k}{\displaystyle ax + b} \; dx = \frac{\displaystyle k}{\displaystyle a} \ln |ax + b| + C $}$

Eksempel 5:

$\int \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 3x – 2} \; dx = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 3} \ln |3x – 2| + C$

Integrasjon av summer og differanser

Når vi integrerer en sum av flere ledd, kan vi integrere ledd for ledd.

Eksempel 6:

$\int (x^3 + 2x^2 + 3x + 1) \; dx = \\
\Big({\large \frac{1}{4}}x^4 + C_1\Big) + \Big(2{\large \frac{1}{3}}x^3 + C_2 \Big) + \Big(3{\large \frac{1}{2}}x^2 + C_3 \Big)+ \Big(x + C_4 \Big)=\\
{\large \frac{1}{4}}x^4 + {\large \frac{2}{3}}x^3 + {\large \frac{3}{2}}x^2 + x + C$

Her bruker vi regelen for å integrere potensfunksjoner på ett og ett av leddene. Vi får egentlig en integrasjonskonstant i hvert ledd, men siden disse er vilkårlige tall, kan vi slå dem sammen til en enkelt konstant. Vanligvis tar vi ikke med denne detaljen i utregningene, vi setter bare på en konstant til slutt, slik det er gjort i eksempel 7.

Samme regel gjelder for differanser av flere ledd. Dette kan vi oppsummere slik:

$\fbox {$ \int \big(f(x) \pm g(x)\big) \; dx = \int f(x) \; dx \pm \int g(x) \; dx $}$

Eksempel 7:

$\int (\sqrt x – x + \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle x^2}) \; dx = \int (x^{\large \frac{1}{2}} – x + 3x^{-2}) \; dx = \frac{\large 1}{\Large \frac{3}{2}}x^{\large \frac{3}{2}} – {\large \frac{1}{2}}x^2 + 3{\large \frac{1}{-1}}x^{-1} + C =\\
{\large \frac{2}{3}}x\sqrt{x} – {\large \frac{1}{2}}x^2 – {\large \frac{3}{x}} + C$

Her tar vi på samme måte som før for oss ledd for ledd, i det siste leddet finnes også en konstant, 3, som vi setter utenfor. Disse reglene er helt tilsvarende de vi har for derivasjon. Men når det gjelder derivasjon, har vi også regler for produkter og kvotienter, "produktregelen" og "brøkregelen". Dessverre finnes det ikke tilsvarende for integrasjon. Skal vi integrere et produkt eller en kvotient, har vi altså ingen generell formel vi kan bruke. Det finnes noen spesialtilfeller, men generelt er integrasjon av sammensatte uttrykk mye mer komplisert enn derivasjon, og i noen tilfeller helt umulig.

Oppgave 2:

Beregn følgende ubestemte integral:

$\int (4x^3 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3x^2}) \; dx$

Se løsningsforslag

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Ved å tenke derivasjon baklengs, er det lett å finne den integrerte til sinus og cosinus:

$\fbox {$\int \sin x \; dx = -\cos x + C\\
\int \cos x \; dx = \sin x + C$}$

For vi vet jo at den deriverte til sinus er lik cosinus, og den deriverte til cosinus er lik minus sinus.

Det finnes også et uttrykk som gir tangens når det blir derivert, men det er mer sammensatt, og vi går ikke inn på det her.

Integrasjon av eksponentialfunksjoner

Siden $(e^x)' = e^x$, skjønner vi at $e^x$ ikke endrer seg ved integrasjon, vi må bare huske på integrasjonskonstanten, $C$:

$\fbox {$\int e^{\large x} \; dx = e^{\large x} + C$}$

Med en konstant, $k$, i eksponenten har vi at $(e^{\large kx})' = ke^{\large kx}$, så vi må dividere med $k$ når vi integrerer:

$\fbox {$\int e^{\large kx} \; dx = {\large \frac{1}{k}}e^{\large kx} + C$}$

For en vilkårlig eksponentialfunksjon med vekstfaktor $a$, har vi at $(a^{\large x})' = \ln a \cdot a^{\large x}$, så vi må dividere med $\ln a$ når vi integrerer:

$\fbox {$\int a^{\large x} \; dx = {\large \frac{1}{\ln a}}a^{\large x} + C$}$

Eksempel 8:

$\int (e^x + e^{2x} + 5^x) \; dx = e^x + {\large \frac{1}{2}}e^{2x} + {\large \frac{1}{\ln 5}}5^x$

ScreencastSe film om integrasjon av diverse funksjoner
 

Oppgave 3:

Beregn følgende ubestemte integraler:

  1. $\int (2e^x + 3^x) \; dx$
     
  2. $\int 2(\sin x + \cos x) \; dx$
     
  3. $\int x^a \; dx, a \in \mathbb{R}$

Se løsningsforslag

Kilder

  • Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia