abc-formelen

Utlede abc-formelen

I artikkelen om andregradslikninger lærer vi å løse andregradslikninger ved hjelp av kvadratkomplettering. Hvis vi bruker kvadratkomplettering på den generelle andregradslikningen ax2 + bx + c = 0, får vi løsninger som er gyldige for alle koeffisienter a, b og c. Vi finner med andre ord en formel for å løse andregradslikninger, og behøver ikke bruke kvadratkomplettering hver gang. Selve utregningen vises i løsningsforslaget til oppgave 1, formelen er:

$\fbox{$x = \frac{\displaystyle −b \pm \sqrt{b^2 − 4ac}}{\displaystyle 2a}$}$

Den kalles populært «abc-formelen».

Oppgave 1:

Bruk metoden med kvadratkomplettering til å løse likningen ax2bx + c = 0.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Utregningen i oppgave 1 viser hvor nyttig generelle algebraiske manipulasjoner kan være. Vi hadde en nokså tungvint metode for å løse andregradslikninger, så brukte vi denne metoden på den generelle andregradslikningen ax2 + bx + c = 0, og vips hadde vi en formel for å løse alle mulige andregradslikninger. Utregningen var kanskje omstendelig, men belønningen for arbeidet var fantastisk.

Vi skal nå se på et eksempel på bruk av abc-formelen.

Eksempel 1:

I eksempel 5 i artikkelen om andregradslikninger løste vi likningen 3x2 + 18x = −15 ved hjelp av kvadratkomplettering, og fant at x1 = −1 og x2 = −5. Når skal vi løse den samme likningen ved hjelp av abc-formelen.

Vi har:
$3x^2 + 18x = −15$

Flytter −15 over til venstre side med fortegnsskifte:
$3x^2 + 18x + 15 = 0$

Her er koeffisientene a = 3, b = 18 og c = 15. Setter dette inn i abc-formelen:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−18 \pm \sqrt{18^2 −4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}}$

Regner ut:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−18 \pm \sqrt{144}}{6}}$

Trekker ut rota:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−18 \pm 12}{6}}$

Forkorter brøken med 6:
$x_{1, 2} = −3 \pm 2$

Vi har altså:
$x_1 = −3 + 2 = −1$

$x_2 = −3 − 2 = −5$

som er det samme som vi fant da vi løste med kvadratkomplettering.

Å bruke abc-formelen er enklere enn kvadratkomplettering, men gir ingen innsikt i problemets natur. Å lære kvadratkomplettering er derfor et viktig steg på veien til å lære å løse andregradslikninger.

Oppgave 2:

Bruk abc-formelen til å løse likningen 2x2 = −10x − 12. Sjekk at du får samme svar som ved kvadratkomplettering i oppgave 4 i artikkelen om andregradslikninger .

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Diskriminant

Når en likning er på formen ax2 + bx + c = 0, kan vi løse den grafisk ved å tegne opp grafen til funksjonen y = ax2 + bx + c. Løsningen til likningen er da x-verdiene der grafen skjærer x-aksen, det vil si der y = 0.

Bildet under viser grafene til

y = x2 + 2x − 3. Blå graf, skjærer x-aksen i −3 og 1.

y = x2 + 4x + 4. Grønn graf, tangerer x-aksen i −2.

y = x2 + 2x + 5. Rød graf, skjærer ikke x-aksen.

 

Andrekradskurver som skjærer, tangerer og ikke skjærer x-aksen

Dette er de tre mulighetene vi har:

    • Den blå grafens skjæringspunkter med x-aksen representerer løsningene til andregradslikningen x2 + 2x − 3 = 0. Setter vi koeffisientene inn i abc-formelen, får vi
      $x_{1, 2} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{2^2 −4 \cdot 1 \cdot (−3) }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{16}}{2}} = {\large \frac{−2 \pm 4}{2}} = −1 \pm 2$

      Som gir skjæringspunktene x1 = 1, x2 = −3. Vi ser at det er uttrykket under rottegnet som bestemmer hvor mye de to løsningene skiller seg fra hverandre.
       

    • Den grønne grafens tangeringspunkt med x-aksen representerer løsningen til andregradslikningen x2 + 4x + 4 = 0. Setter vi koeffisientene inn i abc-formelen, får vi
      $x_{1, 2} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{4^2 −4 \cdot 1 \cdot 4 }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{0}}{2}} = {\large \frac{−4}{2}} = −2$

      I dette tilfellet blir uttrykket under rottegnet lik 0, slik at de to løsningene ikke skiller seg fra hverandre.

      I artikkelen om andregradslikninger sier vi at hvis en andregradslikning har et kvadrat på venstre side og 0 på høyre side av likhetstegnet, har den bare 1 løsning. Vi ser at det er tilfellet her, for likningen kan skrives som (x + 2)2 = 0. På denne formen er det også lett å se at det er x = −2 som gjør at uttrykket på venstre side blir 0.
       

    • Den røde grafen har ingen skjæringspunkter med x-aksen. Setter vi koeffisientene til den tilhørende andregradslikningen, x2 + 2x + 5 = 0, inn i abc-formelen, får vi
      $x_{1, 2} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{2^2 −4 \cdot 1 \cdot 5 }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{−16}}{2}}$
       
      Vi får et negativt tall under rottegnet, og siden vi ikke kan trekke ut rota av et negativt tall, har likningen ingen løsning.

​Uttrykket under rottegnet i abc-formelen kalles andregradslikningens diskriminant, og avgjør hvordan likningens løsninger er. Vi har:

Diskriminant > 0: 2 løsninger som skiller seg fra hverandre med en verdi lik 2 ganger diskriminanten.

Diskriminant = 0: 1 løsning. Mer presist sagt faller de 2 løsningene sammen i dette tilfellet.

Diskriminant < 0: Ingen løsning.

Komplekse løsninger

Når vi sier at en andregradslikning ikke har løsning, mener vi at den ikke har løsninger blant de reelle tallene. Utvider vi tallsystemet til også å omfatte komplekse tall, vil alle andregradslikninger ha løsninger. Vi erstatter da $\sqrt{−1}$ med den imaginære enheten i.

Vi så over at da vi brukte abc-formelen på andregradslikningen, x2 + 2x + 5 = 0, fikk vi
$x_{1, 2} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{2^2 −4 \cdot 1 \cdot 5 }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{−16}}{2}}$

Her har vi altså et rota av et negativt tall, $\sqrt{−16}$, som vi ikke kan beregne hvis vi holder oss til reelle tall. Vi kan imidlertid skrive dette uttrykket som $\sqrt{16 \cdot −1} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{−1} = 4 \cdot \sqrt{−1}$, som siden $\sqrt{−1} = i$, kan skrives som $4i$.

Så vi får
$x_{1, 2} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{2^2 −4 \cdot 1 \cdot 5 }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{−16}}{2}} = {\large \frac{−2 \pm 4i}{2}} = −1 \pm 2i$

$x_{1} = −1 + 2i$

$x_{1} = −1 − 2i$

I abc-formelen dannes den imaginære delen av det negative uttrykket under rottegnet. Den imaginære delen vil derfor ha positivt fortegn i den ene løsningen og negativt fortegn i den andre løsningen, men tallverdiene vil være de samme. Den reelle delen er lik i begge løsningene. Det betyr at de to komplekse løsningene alltid er konjugerte.

Oppgave 3:

Bruk abc-formelen til å løse likningen x2 − 2x + 2 = 0.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Kilder

    • Gulliksen T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget