Addisjonsregelen for disjunkte hendelser
I artikkelen om begreper i sannsynlighet lærer vi å beregne sannsynligheten for en hendelse ut fra prinsippet «gunstige på mulige». I eksempel 5 i denne artikkelen bruker vi dette prinsippet til å beregne sannsynlighetene for de forskjellige summene vi kan få når vi kaster to terninger:
$P(2) = P(12) = {\large \frac{1}{36}}$
$P(3) = P(11) = {\large \frac{2}{36}} = {\large \frac{1}{18}}$
$P(4) = P(10) = {\large \frac{3}{36}} = {\large \frac{1}{12}}$
$P(5) = P(9) = {\large \frac{4}{36}} = {\large \frac{1}{9}}$
$P(6) = P(8) = {\large \frac{5}{36}}$
$P(7) = {\large \frac{6}{36}} = {\large \frac{1}{6}}$
Hvis vi nå lurer på hva som er sannsynligheten for å få «sum 11 eller mer», kan vi telle opp antall «gunstige», det vil si enkeltutfall som gir 11 eller 12, og dividere på det totale antall enkeltutfall. Men vi kan også beregne sannsynligheten uten å se på enkeltutfallene, ved å i stedet summere sannsynligheten for å få 11 og sannsynligheten for å få 12:
$P(\{11, 12 \}) = {\large \frac{1}{18}} + {\large \frac{1}{36}} = {\large \frac{3}{36}} = {\large \frac{1}{12}}$.
Hvis vi lar X betegne summen av antall øyne, kan vi i stedet for P( {11, 12} ) skrive P(X ≥ 11).
Her brukte vi addisjonsregelen for disjunkte hendelser, som sier at når to hendelser ikke begge kan inntreffe, er sannsynligheten for at minst én av hendelsene inntreffer lik summen av sannsynlighetene for hver av de to hendelsene.
Tenker vi på en hendelse som en mengde av utfall, kan vi uttrykke addisjonsregelen ved hjelp av mengde-terminologi:
$\fbox{Addisjonsregelen for disjunkte hendelser: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$}$
Hvis mengden A er utfallene som gir sum lik 11, og mengden B er utfallene som gir sum lik 12, ved kast med to terninger, er unionen av A og B det som er markert med grønt i figuren under:
Addisjonsregelen for disjunkte hendelser sier da at sannsynligheten for å få en sum i en av de grønne mengdene er lik sannsynligheten for å få en sum i mengde A pluss sannsynligheten for å få en sum i mengde B.
For tre disjunkte hendelser vil vi ha at P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C), og slik kan vi utvide med så mange disjunkte hendelser vi vil. Sannsynligheten for en union av hendelser der bare én kan inntreffe, er lik summen av sannsynlighetene for hver av hendelsene som inngår.
I oppgave 3 i artikkelen om begreper i sannsynlighet beregner vi sannsynlighetene for å få henholdsvis 0, 1, 2 og 3 kron ved kast med 3 mynter, og finner at $P(0) = P(3) = {\large \frac{1}{8}}$, og $P(1) = P(2) = {\large \frac{3}{8}}$.
Bruk dette til å beregne sannsynligheten for «minst én kron», altså P(X ≥ 1), der X er antall kron, ved kast med 3 mynter.
Den generelle addisjonsregelen
Hvis vi vil finne sannsynligheten for hendelsen «minst én sekser» ved et kast med to terninger, kan vi telle opp utfallene som inneholder seksere, nemlig 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6, 1-6, 2-6, 3-6, 4-6, og 5-6, i alt 11 utfall. Totalt har vi 36 mulige utfall, så regelen om «gunstige på mulige» gir at $P(\text{minst én sekser}) = {\large \frac{11}{36}}$.
Men hva om vi prøver å bruke addisjonsregelen, og sier at sannsynligheten for «minst én sekser» er lik sannsynligheten for «seks på første terning» pluss sannsynligheten for «seks på andre terning»? Da får vi ${\large \frac{1}{6}} + {\large \frac{1}{6}} = {\large \frac{2}{6}} = {\large \frac{1}{3}}$, som er lik $ {\large \frac{12}{36}}$, altså litt mer enn det vi fikk ved å telle opp enkeltutfallene.
Utvider vi ideen til kast med flere terninger, skjønner vi at noe er galt. Kaster vi seks terninger, vil sannsynligheten for «minst én sekser» ifølge denne logikken bli $6 \cdot {\large \frac{1}{6}} = 1$. Det tilsier at vi helt sikkert får minst én sekser hvis vi kaster seks terninger, noe som selvfølgelig er galt. Trekker vi det enda lenger og kaster sju terninger, blir sannsynligheten større enn 1, noe som er meningsløst.
Problemet er at de to hendelsene «seks på første terning» og «seks på andre terning» ikke er disjunkte. Dette er illustrert med Venn-diagrammet under, der hendelse A er «seks på første terning» og hendelse B er «seks på andre terning». Vi ser at de to overlapper, vi kan nemlig få seks både på første og andre terning.
Regner vi «gunstige på mulige» med seks gunstige i første kast pluss seks gunstige i andre kast, ser vi at 6-6, altså seks i både første og andre kast er tatt med to ganger. 6-6 er ett av 36 mulige utfall, så sannsynligheten for å få 6-6 er ${\large \frac{1}{36}}$. Tar vi hensyn til at 6-6 er regnet med to ganger, og trekker sannsynligheten fra én gang, får vi at sannsynligheten for minst én sekser blir ${\large \frac{1}{6}} + {\large \frac{1}{6}} – {\large \frac{1}{36}} = {\large \frac{11}{36}}$, som er det samme som vi fikk ved å telle opp enkeltutfallene.
Hendelser som overlapper, er ikke disjunkte, derfor gjelder ikke addisjonsregelen for disjunkte hendelser. Men det finnes en utvidet variant som alltid gjelder:
$\fbox{Den generelle addisjonsregelen: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$}$
Sannsynligheten for en hendelse som er en union av hendelsene A og B, er lik sannsynligheten for at A inntreffer pluss sannsynligheten for at B inntreffer minus sannsynligheten for at A og B begge inntreffer. Hvis A og B er disjunkte, blir P(A ∩ B) = 0, og vi er tilbake i addisjonsregelen for disjunkte hendelser.
Eksempel 1:
Vi skal beregne sannsynligheten for å få enten en hjerter eller et ess når vi trekker et kort fra en kortstokk med 52 kort.
I en kortstokk er 13 kort hjerter, 4 er ess, og 1 er både hjerter og ess. Kaller vi hendelsen «hjerter» for A og hendelsen «ess» for B, har vi derfor ut fra «gunstige på mulige» at
$P(A) = {\large \frac{13}{52}} = {\large \frac{1}{4}}$
$P(B) = {\large \frac{4}{52}} = {\large \frac{1}{13}}$
$P(A \cap B) = {\large \frac{1}{52}}$
Den generelle addisjonsregelen gir
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{13}} – {\large \frac{1}{52}} = {\large \frac{16}{52}} = {\large \frac{4}{13}}$.
Sannsynligheten for å få hjerter eller ess er ${\large \frac{4}{13}} \approx 30{,}77%$.
I en slags forenklet rulett skal du satse på en av rutene i spillet vist under.
Du kan velge å spille på:
«Tall». Gevinst på riktig tall.
«Farge». Gevinst på riktig farge.
«Tall og farge». Gevinst på både riktig tall og riktig farge samtidig.
«Tall eller farge». Gevinst på enten riktig tall eller riktig farge.
Hva er sannsynligheten for å vinne i hvert av de fire tilfellene?
Mens addisjonsregelen for disjunkte hendelser lett lar seg utvide fra to hendelser til et vilkårlig antall, er ikke det samme tilfelle for den generelle. For tre vilkårlige hendelser har vi
$\fbox{$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A \cap B) – P(A \cap C) – P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$}$
Dette er illustrert i figuren under:
Her ser vi at vi trekker fra arealene som overlapper mellom to hendelser, altså mellom A og B, mellom A og C og mellom B og C. Men når vi har gjort det, har vi trukket fra arealet der alle tre hendelsene overlapper en gang for mye, så det må legges til igjen.
Med økende antall hendelser øker kompleksiteten raskt. Men som vi ser i artikkelen om å kombinere regler, kan vi ofte unngå disse beregningene ved å bruke den såkalte komplementregelen.
Se filmen «Addisjonsprinsippet»
Kilder
-
- Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
- Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
- Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk