Asymptoter

 Horisontale og vertikale asymptoter

Grafen til $f(x) = \large \frac{1}{x}$ er vist under. Vi ser at den går mot 0 når $x$ går mot pluss/minus uendelig, og mot pluss/minus uendelig når $x$ går mot 0.

Når $x$ går mot pluss/minus uendelig, kommer altså grafen til $f(x)$ nærmere og nærmere linja $y = 0$. Den kommer aldri helt borttil, men vi kan komme så nærme vi vil ved å la $x$ gå langt nok ut til høyre eller venstre. Den horisontale linja $y = 0$ kalles da en horisontal asymptote for $f(x)$.

Tilsvarende ser vi at når $x$ går mot 0, kommer grafen til $f(x)$ nærmere og nærmere linja $x = 0$. Den kommer aldri helt borttil, men vi kan komme så nærme vi vil ved å la $x$ komme nærme nok 0. Den vertikale linja $x = 0$ kalles da en vertikal asymptote for $f(x)$.

Horisontale asymptoter finner vi ved å la $x$ gå mot pluss/minus uendelig og se om funksjonsverdien nærmer seg et bestemt tall.

Vertikale asymptoter finner vi for x-verdier som gjør at funksjonsverdien går mot pluss eller minus uendelig. For eksempel verdier som gjør at nevneren i en brøk går mot 0.

Asymptotene kan godt være andre linjer enn $x = 0$ og $y = 0$, som vist i eksempel 1.

Eksempel 1:

Vi skal finne asymptotene til funksjonen $f(x) = 5 – \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x + 2}$.

Når $x$ går mot pluss uendelig, går nevner i brøken mot pluss uendelig. Når $x$ går mot minus uendelig går nevner mot minus uendelig. I begge tilfeller betyr det at brøken går mot 0, og vi står igjen med $f(x) = 5$. $y = 5$ er derfor en horisontal asymptote for $f(x)$.

Nevner i brøken går mot 0 når $x$ går mot -2, og funksjonsverdien vokser mot pluss/minus uendelig, avhengig av hvilken vei $x$ går mot -2. $x = -2$ er derfor en vertikal asymptote for $f(x)$. Grafen til $f(x)$ er vist under. Asymptotene er tegnet med rødt:

Eksempel 2:

Vi skal avgjøre om funksjonen $f(x) = x^2 + 2x – 3$ har horisontale eller vertikale asymptoter.

Svaret er nei. Funksjonsverdien går ikke mot noe fast tall, $a$, når $x$ går mot pluss/minus uendelig, så den har ingen horisontal asymptote. (Definisjon 1 over).
Det finner heller ikke noe tall, $a$, der funksjonsverdien går mot uendelig, så den har ingen vertikal asymptote. (Definisjon 2 over).
$f(x)$ er en polynomfunksjon, og polynomfunksjoner har ikke asymptoter.

Oppgave 1:

Finn horisontale og vertikale asymptoter til funksjonen

$f(x) = 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x+4}$

Se løsningsforslag

I brøker kan det imidlertid hende at vi får uttrykk der både teller og nevner går mot 0 eller mot uendelig samtidig. Da er det ikke umiddelbart lett å avgjøre om vi får en asymptote eller ikke. Et triks kan være å dividere teller og nevner med høyeste potens av $x$.

Eksempel 3:

Vi skal finne de horisontale asymptotene til

$f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 6x}{\displaystyle 3x^3 + x^2 + 1}$

Når $x$ går mot pluss/minus uendelig, ser vi at både teller og nevner går mot uendelig samtidig, og vi kan ikke trekke noen umiddelbare konklusjoner.

Vi dividerer teller og nevner med høyeste potens av $x$, som i vårt tilfelle er $x^3$. Vi får

$f(x) = \frac{\displaystyle \frac{x^3}{x^3} + \frac{6x}{x^3}}{\displaystyle \frac{3x^3}{x^3} + \frac{x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}} = \frac{\displaystyle 1 + \frac{6}{x^2}}{\displaystyle 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}}$

Når $x$ går mot uendelig, går delbrøkene mot null, og vi står igjen med $f(x) = {\large \frac{1}{3}}$. Så $y = {\large \frac{1}{3}}$ er en horisontal asymptote for $f(x)$.

Oppgave 2:

Finn eventuelle horisontale og vertikale asymptoter til funksjonen

$f(x) = \frac{\displaystyle -x^2 + x – 2}{\displaystyle x^2 – 1}$

Se film med løsningsforslag
 

Oppgave 3:

I en matematisk modell for forurensing i en innsjø er forskere kommet fram til at giftmengden, målt i kilo, ved $t$ døgn er gitt ved $f(t) = {\Large \frac{10t^2}{4t^2+6t+9}}$. De konkluderer da med at giftmengden i det lange løp vil stabilisere seg på 2,5 kilo. Hvordan kommer de fram til dette?

Se løsningsforslag

Hvis vi har en rasjonal funksjon, altså en brøk med polynomfunksjoner i teller og nevner, og lar $x$ gå mot uendelig, vil brøken gå mot en konstant hvis funksjonene i teller og nevner har samme grad, mot uendelig hvis funksjonen i teller har høyere grad enn nevner, og mot 0 hvis funksjonen i teller har lavere grad enn nevner.

Med andre funksjonstyper vil det variere hva som skjer hvis både teller og nevner går mot 0 eller uendelig samtidig. Hva er for eksempel $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$? Her, og i mange andre tilsvarende tilfeller kan vi imidlertid få hjelp av noe som heter l’Hôpitals regel, som baserer seg på derivasjon. Denne regelen er beskrevet i artikkelen om l’Hôpitals regel.

Det er ikke bare funksjoner med brøker som har asymptoter. $f(x) = \tan x$ har for eksempel uendelig mange vertikale asymptoter i $f(x) = {\large \frac{(2k + 1)\pi}{2}}$, der $k$ er et vilkårlig helt tall. Asymptotene er vist med rødt i figuren under.

Logaritmefunksjoner har en vertikal asymptote i $x = 0$, fordi funksjonsverdien går mot minus uendelig når $x$ går mot 0.

Skråasymptoter

Hvis vi har en rasjonal funksjon og polynomet i teller har høyere grad enn polynomet i nevner, kan vi skrive om brøken ved hjelp av polynomdivisjon. Dette er spesielt interessant hvis graden til polynomet i teller er 1 høyere enn graden til polynomet i nevner.

Eksempel 4:

Vi har den rasjonale funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 2}{\displaystyle x^2 + 1}$.

Ved hjelp av polynomdivisjon kan funksjonen skrives om til $f(x) = x + \frac{\displaystyle -x + 2}{\displaystyle x^2 + 1}$. Brøken vil gå mot 0 når $x$ går mot pluss/minus uendelig, og vi får derfor at $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = x$. Funksjonsverdien går mot uendelig, men på veien legger den seg inntil linja $y = x$. Denne linja er da en skråasymptote for $f(x)$. Skråasymptoten er vist med rødt i grafen under.

Skråasymptoter får vi når funksjonsverdien konvergerer mot verdien til et uttrykk på formen $y = ax + b$ når x-verdien går mot pluss eller minus uendelig.

Det er sjelden en funksjon har både en horisontal asymptote og en skråasymptote, men det er ikke umulig med en skråasymptote når $x \to \infty$ og en horisontal asymptote når $x \to -\infty$, eller omvendt. Et eksempel er vist under, i grafen til $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 4}$. Her er $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x) = 2x$ og  $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$.

Asymptoter formelt

Ved hjelp av lim-terminologien vi lærte i artikkelen om kontinuitet og grenser kan vi definere asymptoter slik:

1. $x = a$ er en vertikal asymptote for $f(x)$ hvis $\displaystyle \lim_{x \to a^{\large +}}f(x) = \pm \infty$ eller $\displaystyle \lim_{x \to a^{\large -}}f(x) = \pm \infty$
   

2. $y = a$ er en horisontal asymptote for $f(x)$ hvis $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x) = a$ eller $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x) = a$
   

3. $y = ax + b$ er en skråasymptote for $f(x)$ hvis $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x) = ax + b$ eller $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x) = ax + b$

   Dersom vi tillater at  $a$ i uttrykket $ax + b$ kan være 0, vil en horisontal asymptote  være et spesialtilfelle av en skråasymptote.

I GeoGebra kan vi finne asymptoter ved hjelp av kommandoen Asymptote.

Kilder

• Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
• Wikipedia