Asymptoter

 Horisontale og vertikale asymptoter

Grafen til $f(x) = \large \frac{1}{x}$ er vist under. Vi ser at den går mot 0 når x går mot pluss/minus uendelig, og mot pluss/minus uendelig når x går mot 0.

Når x går mot pluss/minus uendelig, kommer altså grafen til f(x) nærmere og nærmere linja y = 0. Den kommer aldri helt borttil, men vi kan komme så nærme vi vil ved å la x gå langt nok ut til høyre eller venstre. Den horisontale linja y = 0 kalles da en horisontal asymptote for f(x).

Tilsvarende ser vi at når x går mot 0, kommer grafen til f(x) nærmere og nærmere linja x = 0. Den kommer aldri helt borttil, men vi kan komme så nærme vi vil ved å la x komme nærme nok 0. Den vertikale linja x = 0 kalles da en vertikal asymptote for f(x).

Horisontale asymptoter finner vi ved å la x gå mot pluss/minus uendelig, og se om funksjonsverdien nærmer seg et bestemt tall.

Vertikale asymptoter finner vi for x-verdier som gjør at funksjonsverdien går mot pluss eller minus uendelig. For eksempel verdier som gjør at nevneren i en brøk går mot 0.

Asymptotene kan godt være andre linjer enn x = 0 og y = 0, som vist i eksempel 1.

Eksempel 1:

Vi skal finne asymptotene til funksjonen $f(x) = 5 – \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x + 2}$.

Når x går mot pluss uendelig, går nevner i brøken mot pluss uendelig. Når x går mot minus uendelig går nevner mot minus uendelig. I begge tilfeller betyr det at brøken går mot 0, og vi står igjen med f(x) = 5. y = 5 er derfor en horisontal asymptote for f(x).

Nevner i brøken går mot 0 når x går mot -2, og funksjonsverdien vokser mot pluss/minus uendelig, avhengig av hvilken vei x går mot -2. x = -2 er derfor en vertikal asymptote for f(x). Grafen til f(x) er vist under. Asymptotene er tegnet med rødt:

Eksempel 2:

Vi skal avgjøre om funksjonen f(x) = x² + 2x – 3 har horisontale eller vertikale asymptoter.

Svaret er nei.

Funksjonsverdien går ikke mot noe fast tall når x går mot pluss eller minus uendelig, så funksjonen har ingen horisontal asymptote.

Det finner ikke noe fast tall for x der funksjonsverdien går mot pluss eller minus uendelig, så funksjonen har ingen vertikal asymptote.

f(x) er en polynomfunksjon, og polynomfunksjoner har ikke asymptoter.

Oppgave 1:

Finn horisontale og vertikale asymptoter til funksjonen

$f(x) = 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x+4}$

Se løsningsforslag

I brøker kan det imidlertid hende at vi får uttrykk der både teller og nevner går mot 0 eller mot uendelig samtidig. Da er det ikke umiddelbart lett å avgjøre om vi får en asymptote eller ikke. Et triks kan være å dividere teller og nevner med høyeste potens av x.

Eksempel 3:

Vi skal finne de horisontale asymptotene til

$f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 6x}{\displaystyle 3x^3 + x^2 + 1}$

Når x går mot pluss/minus uendelig, ser vi at både teller og nevner går mot uendelig samtidig, og vi kan ikke trekke noen umiddelbare konklusjoner.

Vi dividerer teller og nevner med høyeste potens av x, som i vårt tilfelle er x³. Vi får

$f(x) = \frac{\displaystyle \frac{x^3}{x^3} + \frac{6x}{x^3}}{\displaystyle \frac{3x^3}{x^3} + \frac{x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}} = \frac{\displaystyle 1 + \frac{6}{x^2}}{\displaystyle 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}}$

Når x går mot uendelig, går delbrøkene mot null, og vi står igjen med $f(x) = {\large \frac{1}{3}}$. Så $y = {\large \frac{1}{3}}$ er en horisontal asymptote for f(x).

Oppgave 2:

Finn eventuelle horisontale og vertikale asymptoter til funksjonen

$f(x) = \frac{\displaystyle -x^2 + x – 2}{\displaystyle x^2 – 1}$

Se film med løsningsforslag
 

Oppgave 3:

I en matematisk modell for forurensing i en innsjø er forskere kommet fram til at giftmengden, målt i kilo, ved t døgn er gitt ved $f(t) = {\Large \frac{10t^2}{4t^2+6t+9}}$. De konkluderer da med at giftmengden i det lange løp vil stabilisere seg på 2,5 kilo. Hvordan kommer de fram til dette?

Se løsningsforslag

Hvis vi har en rasjonal funksjon, altså en brøk med polynomfunksjoner i teller og nevner, og lar x gå mot uendelig, vil brøken gå mot en konstant hvis funksjonene i teller og nevner har samme grad, mot uendelig hvis funksjonen i teller har høyere grad enn nevner, og mot 0 hvis funksjonen i teller har lavere grad enn nevner.

Med andre funksjonstyper vil det variere hva som skjer hvis både teller og nevner går mot 0 eller uendelig samtidig. Hva er for eksempel $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$? Her, og i mange andre tilsvarende tilfeller kan vi imidlertid få hjelp av noe som heter l’Hôpitals regel, som baserer seg på derivasjon. Denne regelen er beskrevet i artikkelen om l’Hôpitals regel.

Det er ikke bare funksjoner med brøker som har asymptoter. f(x) = tan(x) har for eksempel uendelig mange vertikale asymptoter i $f(x) = {\large \frac{(2k + 1)\pi}{2}}$, der k er et vilkårlig helt tall. Asymptotene er vist med rødt i figuren under.

Logaritmefunksjoner har en vertikal asymptote i x = 0, fordi funksjonsverdien går mot minus uendelig når x går mot 0.

Skråasymptoter

Hvis vi har en rasjonal funksjon og polynomet i teller har høyere grad enn polynomet i nevner, kan vi skrive om brøken ved hjelp av polynomdivisjon. Dette er spesielt interessant hvis graden til polynomet i teller er 1 høyere enn graden til polynomet i nevner.

Eksempel 4:

Vi har den rasjonale funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 2}{\displaystyle x^2 + 1}$.

Ved hjelp av polynomdivisjon kan funksjonen skrives om til $f(x) = x + \frac{\displaystyle -x + 2}{\displaystyle x^2 + 1}$. Brøken vil gå mot 0 når x går mot pluss/minus uendelig, og vi får derfor at $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = x$. Funksjonsverdien går mot uendelig, men på veien legger den seg inntil linja y = x. Denne linja er da en skråasymptote for f(x). Skråasymptoten er vist med rødt i grafen under.

Skråasymptoter får vi når funksjonsverdien konvergerer mot verdien til et uttrykk på formen y = ax + b når x-verdien går mot pluss eller minus uendelig.

Det er sjelden en funksjon har både en horisontal asymptote og en skråasymptote, men det er ikke umulig med en skråasymptote når $x \to \infty$ og en horisontal asymptote når $x \to -\infty$, eller omvendt. Et eksempel er vist under, i grafen til $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 4}$. Her er $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x) = 2x$ og $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$.

Asymptoter formelt

Ved hjelp av lim-terminologien vi lærte i artikkelen om kontinuitet og grenser kan vi definere asymptoter slik:

1. x = a er en vertikal asymptote for f(x) hvis $\displaystyle \lim_{x \to a^{\large +}}f(x) = \pm \infty$ eller $\displaystyle \lim_{x \to a^{\large -}}f(x) = \pm \infty$
    
2. y = a er en horisontal asymptote for f(x) hvis $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x) = a$ eller $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x) = a$
    
3. y = ax + b er en skråasymptote for f(x) hvis $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x) = ax + b$ eller $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x) = ax + b$

   Dersom vi tillater at a i uttrykket ax + b kan være 0, vil en horisontal asymptote være et spesialtilfelle av en skråasymptote.

I GeoGebra kan vi finne asymptoter ved hjelp av kommandoen Asymptote.

Kilder

• Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget