Betinget sannsynlighet

Hva er betinget sannsynlighet?

I artikkelen om den generelle produktregelen så vi at vi regner ut sannsynligheten for at to avhengige hendelser begge inntreffer ved å multiplisere sannsynligheten for at den første inntreffer med sannsynligheten for at den andre inntreffer, gitt at den første har inntruffet: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Vi brukte så denne regelen til å regne ut at hvis sannsynligheten for sol en vilkårlig dag er 60 %, og sannsynligheten for sol etter en annen soldag er 80 %, er sannsynligheten for sol to etterfølgende dager 0,6 · 0,8 = 0,48.

Men så snur vi litt på problemstillingen, og sier at vi vet at sannsynligheten for sol en vilkårlig dag er 60 %, og at sannsynligheten for sol på to etterfølgende dager er 48 %. Og så skal vi regne ut sannsynligheten for at en dag får sol gitt at det var sol dagen før. Det betyr at vi må finne verdien til x i likningen 0,6 · x = 0,48. Og det gjør vi ved å dividere med 0,6 på begge sider av likhetstegnet, noe som gir x = 0,8, det vil si 80 prosent.

Vi fant altså sannsynligheten for «sol, gitt sol dagen før» ved å dividere sannsynligheten for «sol etterfølgende dager» på sannsynligheten for «sol første dag». Generaliserer vi dette, og dividerer med P(A) på begge sider av likhetstegnet i produktregelen, får vi $ \frac{\displaystyle P(A \cap B)}{\displaystyle P(A)} = P(B|A)$. Bytter vi så om høyre og venstre side, får vi regelen for betinget sannsynlighet:

$\fbox{Betinget sannsynlighet: $P(B|A) = \frac{\displaystyle P(A \cap B)}{\displaystyle P(A)}$}$

Denne regelen sier at sannsynligheten for at B inntreffer, gitt at A har inntruffet, er lik sannsynligheten for at A og B begge inntreffer dividert med sannsynligheten for at A inntreffer.

I eksempel 1 under illustrerer vi denne regelen med terningkast.

Eksempel 1:

I et spill kaster vi to terninger og vinner hvis summen av øyne er elleve eller tolv. Kaller vi dette hendelse B, kan vi illustrere situasjonen med dette Venn-diagrammet:

Venn-diagrammet inneholder alle de 36 mulige kombinasjonene av øyne på terningene, med delmengden B, de kombinasjonene som gir sum elleve eller tolv, innringet. Vi ser at B inneholder 3 kombinasjoner, så «gunstige på mulige» gir $P(B) = {\large \frac{3}{36}} = {\large \frac{1}{12}}$. Sannsynligheten for å vinne er $ {\large \frac{1}{12}}$.

Men så tenker vi oss at vi kaster den første terningen, får seks, og skal finne sannsynligheten er for å vinne når vi kaster den andre terningen.

Kaller vi hendelsen «seks på første terning» for A, kan vi illustrere situasjonen med dette Venn-diagrammet:

Vi ser at $P(A \cap B) = {\large \frac{2}{36}} = {\large \frac{1}{18}}$ fordi 2 av 36 kombinasjoner ligger både i A og B. Vi vet også at $P(A) = {\large \frac{1}{6}}$ fordi sannsynligheten for å få seks på en terning er ${\large \frac{1}{6}}$. Sannsynligheten for å vinne når første terning var seks, kan vi uttrykke som P(B|A), det vil si sannsynligheten for hendelse B, «sum elleve eller tolv», gitt hendelse A, «seks på første terning».

Regelen for betinget sannsynlighet gir at $P(B|A) = \frac{\displaystyle P(A \cap B)}{\displaystyle P(A)} = {\Large\frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{6}}} = {\large \frac{6}{18}} = {\large \frac{1}{3}}$. Sannsynligheten for å vinne når første terning var seks, er $ {\large \frac{1}{3}}$.

Dette gir mening hvis vi ser på Venn-diagrammet, for av de totalt 6 mulighetene for øyne på andre terning ligger 2 av disse i A, og sannsynligheten for at vi får en av disse når vi kaster andre terning, er, ifølge «gunstige på mulige», ${\large \frac{2}{6}} = {\large \frac{1}{3}}$.

Illustrasjon av betinget sannsynlighet

I eksempel 2 under illustrerer vi hvordan P(B|A) endrer seg når P(A∩B) endrer seg og når P(A) endrer seg.

Eksempel 2:

Blant 100 gamere som ble intervjuet, spilte 80 «World of Witchcraft» (WoW), 30 spilte «Claw of Duty» (CoD), og 20 spilte begge disse. Lar vi hendelse A være at noen spiller WoW, og hendelse B at noen spiller CoD, kan vi illustrere dette med Venn-diagrammet under, der hver gamer er representert med en blå prikk.

Vi antar at disse dataene er representative for gamere, og skal anslå hvor sannsynlig det er at en vilkårlig gamer spiller CoD, gitt at vedkommende spiller WoW.

Vi har P(A) = 0,8 fordi 80 av 100 spiller WoW, og vi har P(A∩B) = 0,2 fordi 20 av 100 spiller både WoW og CoD. Regelen for betinget sannsynlighet gir da:

$P(B|A) = \frac{\displaystyle P(A \cap B)}{\displaystyle P(A)} = {\large \frac{0{,}2}{0{,}8}} = 0{,}25$. Gitt at en gamer spiller WoW, er det 25 % sannsynlig at vedkommende også spiller CoD. Vi ser av Venn-diagrammet at dette er fornuftig, for av alle gamerne i A ligger $ {\large \frac{1}{4}}$ også i B.

Så skal vi se hvordan denne sannsynligheten endrer seg hvis 80 av 100 spiller WoW som før, men bare 10 av disse også spiller CoD. Denne situasjonen kan vi illustrere med dette Venn-diagrammet:

Sannsynligheten for at en vilkårlig gamer spiller både WoW og CoD blir nå:

$P(B|A) = \frac{\displaystyle P(A \cap B)}{\displaystyle P(A)} = {\large \frac{0{,}1}{0{,}8}} = 0{,}125$. Sannsynligheten er halvert fordi bare $ {\large \frac{1}{8}}$ av alle gamerne i A også ligger i B.

Går vi tilbake til at 20 gamere spiller både WoW og CoD, men sier at bare 40 av 100 spiller WoW, får vi dette Venn-diagrammet:

Sannsynligheten for at en vilkårlig gamer spiller både WoW og CoD blir nå:

$P(B|A) = \frac{\displaystyle P(A \cap B)}{\displaystyle P(A)} = {\large \frac{0{,}2}{0{,}4}} = 0{,}5$. Sannsynligheten er doblet fordi hele $ {\large \frac{1}{2}}$ av alle gamerne i A også ligger i B.

Vi legger merke til at

• • • • Sannsynligheten for B|A øker når sannsynligheten for A∩B øker.
      • Sannsynligheten for B|A øker når sannsynligheten for A avtar. Vi kan tenke på sannsynligheten for A som et mål på hvor «eksklusiv» hendelsen A er. Jo mer A ekskluderer utfall som ikke ligger i A∩B, jo mer sannsynlig blir B|A.
      • Vi trenger ikke kjenne sannsynligheten for B for å beregne sannsynligheten for B|A.

Oppgave 1:

I et spill der du kaster to terninger, vinner du hvis du får sum 4 eller mindre.

1. Hva er sannsynligheten for å vinne?
    
2. Hva er sannsynligheten for å vinne hvis du har kastet den ene terningen og fått 2?

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

På et gatekjøkken kjøper 40 % av kundene pølse, og 15 % kjøper pølse og chips. Bruk regelen om betinget sannsynlighet til å beregne sannsynligheten for at en vilkårlig kunde som kjøper pølse, også kjøper chips.

Se løsningsforslag

Betinget sannsynlighet og mengder

Vi kan også bruke kardinalitet i mengder til å komme fram til regelen for betinget sannsynlighet.

I artikkelen om mengder bruker vi bokstaven n for å angi en mengdes kardinalitet, altså antall elementer i en mengde. For eksempel betyr n(A) = 6 at mengden A inneholder 6 elementer, slik som i eksempel 1.

Tenker vi «gunstige på mulige», kan vi uttrykke P(B|A) som antall elementer som ligger i både A og B, dividert på antall elementer i A totalt. Altså $P(B|A) = \frac{\displaystyle n(A \cap B)}{\displaystyle n(A)}$.

Gjør vi så et lite mattetriks, og utvider brøken med $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle n(U)}$, der n(U) er antall elementer i mengden som består av hele utfallsrommet, får vi:

$P(B|A) = \frac{\displaystyle n(A \cap B)}{\displaystyle n(A)} \cdot \frac{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle n(U)}}{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle n(U)}} = \frac{\frac{\displaystyle n(A \cap B)}{\displaystyle n(U)}}{\frac{\displaystyle n(A)}{\displaystyle n(U)}}$

Det som står i telleren i hovedbrøken, er antall elementer i A ∩ B dividert på antall elementer totalt. Noe som ikke er annet enn «gunstige på mulige» for hendelsen A ∩ B , altså P(A ∩ B). Tilsvarende er det som står i nevneren P(A). Trekker vi det hele sammen, får vi regelen for betinget sannsynlighet: $P(B|A) = \frac{\displaystyle P(A \cap B)}{\displaystyle P(A)}$.

Se filmen «Betinget sannsynlighet»

Uavhengighet kan også angis ved hjelp av betinget sannsynlighet:

$\fbox{$B$ er uavhengig av $A$ hvis $P(B|A) = P(B)$}$

Hendelsen B er uavhengig av hendelsen A hvis sannsynligheten for B ikke påvirkes av om A har inntruffet eller ikke.

Kilder

• • Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
  • Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
  • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk