Å ramse opp eksempler på at en påstand er riktig er ikke et gyldig bevis med mindre vi kan ta for oss alle mulighetene som inngår i påstanden. Derimot vil ett eneste eksempel på at påstanden ikke er riktig, et såkalt moteksempel, motbevise den, det vil si gi en konklusjon om at påstanden er uriktig.
Eksempel 1:
Påstand: Alle tall på formen 2p − 1 er primtall hvis p er et primtall.
Denne påstanden undersøker vi i eksempel 2 i artikkelen om ugyldige bevis. Da finner vi at primtallet p = 11 gir det sammensatte tallet 2047. Dette er da et moteksempel som beviser at påstanden er uriktig.
Eksempel 2:
Påstand: Alle primtall er oddetall.
Moteksempel: 2 er et primtall, men ikke et oddetall. Påstanden er derved motbevist.
Påstanden i eksempel 2 er riktig for alle andre primtall enn 2. Det finnes altså uendelig mange tall den er riktig for, men bare ett den ikke er riktig for. Allikevel betyr dette ene moteksempelet at påstanden er uriktig. Med en liten modifikasjon blir imidlertid påstanden riktig:
Eksempel 3:
Påstand: Alle primtall unntatt 2 er oddetall.
Følgende argument vil være et tilfredsstillende bevis for dette:
Alle partall er delelige med 2. Siden partall større enn 2 derved er delelige med et annet tall enn 1 og seg selv, er de ikke primtall. Siden alle tall enten er partall eller oddetall, må derfor primtallene være oddetall.
Bevis at følgende påstand er uriktig: Alle sammensatte tall større enn hundre består av minst tre primtallsfaktorer.
Kilder
-
- Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.