Bevis ved selvmotsigelse

I et bevis ved selvmotsigelse antar vi at det motsatte av det vi skal bevise er riktig, og demonstrerer at dette fører til en selvmotsigelse. Denne prosessen kalles også «reductio ad absurdum».

Eksempel 1:

Påstand: Det finnes uendelig mange primtall.

For å bevise dette, tar vi for oss den motsatte påstanden, nemlig at det finnes et endelig antall primtall. La oss kalle dette antallet for r. Primtallene selv kaller vi p1, p2, p3, … , pr. Her er p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, og så videre oppigjennom lista med primtall.

La oss så kalle tallet vi får når vi multipliserer disse primtallene for A. Da vil A være delelig med samtlige av disse primtallene, for vi har jo at A = p1 · p2 · p3 · … · pr. Men A+1 vil ikke være delelig med noen av dem.

A+1 trenger ikke være et primtall. Men er A+1 et sammensatt tall, må faktorene være noen andre enn p1, p2, p3, … , pr, for vi vet jo at A+1 ikke er delelig med noen av disse. Så uansett om A+1 er primtall eller sammensatt, har vi vist at det må finnes mer enn r primtall.

Utgangspunktet vårt, påstanden om at det finnes uendelig mange primtall, må derfor være riktig.

Eksempel 2:

Vi skal bevise at $\sqrt{2}$ er et irrasjonalt tall, det vil si at det ikke finnes hele tall, a og b, slik at ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$.

Vi tar da utgangspunkt i det motsatte, nemlig at det faktisk finnes hele tall, a og b, slik at ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$.

Vi forutsetter videre at brøken ${\large \frac{a}{b}}$ er forkortet så langt det går. Dette er et viktig poeng, for i det følgende vil vi vise at hvis ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$, må både a og b være partall, derved er ikke brøken forkortet så langt det går, og vi har fått en selvmotsigelse.

Vi starter med å skrive uttrykket ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$ om litt:

${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2} \, \Rightarrow \, \Big({\large \frac{a}{b}}\Big)^2 = 2 \, \Rightarrow \, a^2 = 2b^2$

2b2 er et partall, siden 2 er en faktor. Og a2 er jo samme tall, så a2 er et partall. Når kvadratet av et tall er et partall, er tallet selv også et partall, for alle kvadrater av oddetall er oddetall. a er altså et partall.

Siden a er et partall, kan det skrives på formen 2n, der n er et helt tall. Så a2 = 2b2 kan skrives som (2n)2 = 2b2 ⇒ 4n2 = 2b2 ⇒ 2n2 = b2. Så vi ser at b2 også må være et partall, og følgelig at b er et partall.

Siden både a og b er partall, betyr det at brøken ${\large \frac{a}{b}}$ ikke er forkortet så langt det går, noe som motsier forutsetningen vår, og påstanden om at det finnes hele tall, a og b, slik at ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$ er ikke riktig. Utgangspunktet vårt, påstanden om at $\sqrt{2}$ er et irrasjonalt tall, må derfor være riktig.

Eksempel 3:

Påstand: Det finnes ingen hele, positive tall, a og b, slik at a2b2 = 10.

Bevis: Vi antar det motsatte, at det faktisk finne to slike tall, og viser at dette fører til en selvmotsigelse.

Vi starter med å bruke konjugatsetningen baklengs på venstre side, og får
(a + b)(ab) = 10.

10 kan skrives som produktet 5 · 2. Setter vi dette inn i likningen over, får vi

(a + b)(ab) = (5)(2) = 10.

Vi må altså ha
a + b = 5
ab = 2

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 7, det vil si at a = 3,5.

a er altså ikke et helt tall, noe som er en selvmotsigelse siden vi i utgangspunktet forutsatte at både a og b skulle være hele tall.

10 kan også skrives som produktet 10 · 1. Da får vi

(a + b)(ab) = (10)(1) = 10.

Vi må altså ha
a + b = 10
ab = 1

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 11, det vil si at a = 5,5.

a er heller ikke her et heltall, og vi har igjen en selvmotsigelse.

10 kan ikke skrives som et produkt av positive heltall på noen andre måter, og påstanden er derved bevist ved selvmotsigelse.

I eksempel 3 benyttet vi også prinsippet fra et uttømmende bevis. Det fantes to måter å skrive 10 som et produkt av heltall på, og vi tok for oss begge to.

Oppgave 1:

Finn feilen i følgende resonnement:

Vi påstår at det ikke finnes hele, positive tall, a og b, slik at a2b2 = 12.

Som bevis bruker vi selvmotsigelse:

12 kan skrives som produktet 4 · 3. Da har vi

(a + b)(ab) = (4)(3) = 12.

Vi må altså ha
a + b = 4
ab = 3

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 7, det vil si at a = 3,5.

a er altså ikke et heltall, noe som er en selvmotsigelse siden vi i utgangspunktet forutsatte at både a og b skulle være heltall.

12 kan også skrives som produktet 12 · 1. Da har vi

(a + b)(ab) = (12)(1) = 12.

Vi må altså ha
a + b = 12
ab = 1

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 13, det vil si at a = 6,5.

a er heller ikke her et heltall, og vi har igjen en selvmotsigelse.

Påstanden er derved bevist ved selvmotsigelse.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.