Løsningsforslag, mer om likninger og ulikheter

Likninger av høyere grad

Oppgave 1:

Vi skal løse likningen x4 + x3 − 6x2 = 0 og sette prøve på svaret.

I oppgave 3 i artikkelen om å faktorisere polynomer skrev vi x4 + x3 − 6x2 som x2(x2 + x − 6). Vi kan derfor skrive likningen x4 + x3 − 6x2 = 0 som x2(x2 + x − 6) = 0.

Uttrykket på venstre side blir 0 når x = 0, eller når uttrykket inni parentesen er 0.

x = 0 er altså en løsning til likningen. (Siden det står x2 foran parentesen, utgjør dette egentlig to sammenfallende løsninger.)

I samme oppgave fant vi at uttrykket inni parentesen er 0 når x1 = 2 eller x2 = −3.

Løsningene til likningen blir altså x1 = 2, x2 = −3, x3 = 0.

Setter vi prøve på svaret, får vi i de tre tilfellene:

V.S. når x = 2: x4 + x3 − 6x2 = 24 + 23 − 6 · 22 = 16 + 8 − 24 = 0.

V.S. når x = −3: x4 + x3 − 6x2 = (−3)4 + (−3)3 − 6 · (−3)2 = 81 − 27 − 54 = 0

V.S. når x = 0: x4 + x3 − 6x2 = 04 + 03 − 6 · 02 = 0.

Vi ser at alle tre x gir 0 som svar, og derfor er løsning til likningen.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal løse likningen x4 − 10x2 + 9 = 0 og sette prøve på svaret.

Vi erstatter x2 med en variabel i første potens, la oss kalle den s. Likningen blir da s2 − 10s + 9 = 0.

Bruker vi abc-formelen, ser vi at løsningen til likningen s2 − 10s + 9 = 0 er s1 = 9 og s2 = 1.

Det betyr at $x_{1, 2} = \pm \sqrt 9 = \pm 3$ og $x_{3, 4} = \pm \sqrt 1 = \pm 1$.

Løsningene er altså x1 = 3, x2 = −3, x3 = 1, x4 = −1.

Setter vi prøve på svaret, får vi i de fire tilfellene:

V.S. når x = 3: x4 − 10x2 + 9 = 34 − 10 · 32 + 9 = 81 − 90 + 9 = 0.

V.S. når x = −3: x4 − 10x2 + 9 = (−3)4 − 10 · (−3)2 + 9 = 81 − 90 + 9 = 0.

V.S. når x = 1: x4 − 10x2 + 9 = 14 − 10 · 12 + 9 = 1 − 10 + 9 = 0.

V.S. når x = −: x4 − 10x2 + 9 = (−1)4 − 10 · (−1)2 + 9 = 81 − 90 + 9 = 0.

Vi ser at alle fire x gir 0 som svar, og derfor er løsning til likningen.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Basert på bildet under, som viser grafene til tre vilkårlige polynomer av odde grad, skal vi forsøk å finne et argument for at alle likninger av odde grad vil ha minst én løsning som er et reelt tall.

Grafene til polynomer av odde grad

Alle de tre grafene skjærer x-aksen, det vil si at de tre polynomene har et nullpunkt, og de tre tilhørende likningene følgelig en løsning blant de reelle tallene.

En odde potens av x vil gå mot uendelig når x går mot uendelig, og gå mot minus uendelig når x går mot minus uendelig. Grafene til ethvert polynom av odde grad vil derfor skjære x-aksen et eller annet sted. Dette skjæringspunktet vil være et nullpunkt i polynomet og følgelig en løsning til den tilhørende likningen.

Tilbake til oppgaven

Ikke-lineære ulikheter

Oppgave 1:

Vi skal løse ulikheten 2x2 > −10x − 12.

Vi flytter −10x − 12 over på venstre side med fortegnsskifte:
2x2 + 10x + 12 > 0

Vi finner nullpunktene til polynomet på venstre side:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a}} = {\large \frac{−10\pm \sqrt{10^2 −4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}} = {\large \frac{−10\pm \sqrt{4}}{4}} = {\large \frac{−10\pm 2}{4}} = {\large \frac{−5\pm 1}{2}}$

Som gir x1 = −2 og x2 = −3.

Vi benytter så at ax2 + bx + c kan skrives som a(xx1)(xx2). Så 2x2 + 10x + 12 = 2(x − (−2)(x − (−3)) = 2(x + 2)(x + 3).

(x + 2) < 0 når x < −2, og (x + 3) < 0 når x < −3.

Fortegnsskjemaet kan se slik ut:

Fortegnsskjema for 2(x + 3)(x + 2)

Her har vi også tatt med faktoren 2, men den er alltid positiv, så den kunne godt vært sløyfet.

Vi ser at linja til 2(x + 2)(x + 3) er heltrukken når x < −3 og x > −2. Løsningen til ulikheten 2x2 + 10x + 12 > 0 er altså x < −3 og x > −2.

Tilbake til oppgaven

Likninger med ukjent i eksponent

Oppgave 1:

Vi skal løse likningen 5x = 15625 og sette prøve på svaret.

Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet:
ln 5x = ln 15625.

Vi bruker regelen ln ur= r ln u til å skrive om venstre side:
x · ln 5 = ln 15625

Vi dividerer begge sider med ln 5:
$x = \frac{\displaystyle −\ln 2}{\displaystyle \ln 4 − \ln 5}$

Vi regner ut logaritmeuttrykket på kalkulator eller med funksjonen ln i Excel eller GeoGebra:
x = 6

Setter vi prøve på svaret, får vi

V.S.: 5x = 56 = 15625.

Dette er det samme som høyre side, så svaret er riktig.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal løse likningen 2 · 4x = 5x og sette prøve på svaret.

Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet:
 ln(2 · 4x)= ln 5x

Vi bruker regelen ln u · v = ln u + ln v til å skrive om venstre side:
 ln 2 + ln 4x = ln 5x

Vi bruker regelen ln ur= r ln u til å hente ned eksponentene:
ln 2 + x · ln 4 = x · ln 5

Vi flytter leddet x · ln 5 over til venstre side med fortegnsskifte og leddet ln 2 over til høyre side med fortegnsskifte:
x · ln 4 − x · ln 5 = −ln 2

Vi setter x utenfor parentes:
x(ln 4 − x · ln 5) = −ln 2

Vi dividerer begge sider med ln 4 − ln 5:
$x = \frac{\displaystyle −\ln 2}{\displaystyle \ln 4 − \ln 5}$

Vi regner ut logaritmeuttrykket på kalkulator eller med funksjonen ln i Excel eller GeoGebra:
x ≈ 3,10628372

Setter vi prøve på svaret, får vi 

V.S.: 2 · 4x ≈ 2 · 43,10628372 ≈ 148,319805

H.S.: 5x ≈ 53,10628372 ≈ 148,319805

Venstre og høyre side er like, så løsningen er riktig.

Tilbake til oppgaven

Likningssett

Oppgave 1:

Vi skal avgjør om likningene 2x + 4y = 8 og −8y = 4x − 16 er uavhengige.

Hvis vi multipliserer hver side i den første likningen med −2, får vi −4x − 8y = −16. Flytter vi så −4x over til høyre side med fortegnsskifte, får vi − 8y = 4x −16, som er lik den andre likningen. Siden vi kan komme fra den ene til den andre på denne måten, er likningene ikke uavhengige.

Plotter vi likningene i GeoGebra, ligger grafene oppå hverandre.

Tilbake til oppgaven

Løse likningssett

Oppgave 1:

Vi skal bruke innsettingsmetoden til å løse likningssettet under, og sette prøve på svaret.

(I) 3x + 2y = 4
(II) xy = 3

Likning (II) er enkel å løse med hensyn på x:
xy = 3 ⇒ y = x − 3

x − 3 kan vi så sette inn for y i (I):
3x + 2y = 4 ⇒ 3x + 2(x − 3) = 4 ⇒ 3x + 2x − 6 = 4 ⇒ 5x = 10 ⇒ x = 2

Vi fant tidligere at y = x − 3, så y = 23 = −1

Løsningen til likningssettet er x = 2, y = −1.

Vi setter prøve på svaret:

(I) V.S.: 3x + 2y = 3 · 2 + 2 · (−1) = 4. Som er lik H.S.

(II) V.S. xy = 2 − (−1) = 3. Som er lik H.S.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bruke innsettingsmetoden til å løse likningssettet under, og sette prøve på svaret.

(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8

Likning (I) er enkel å løse med hensyn på x:
x + 3y − 2z = 5 ⇒ x = 5 − 3y + 2z

Vi setter 5 − 3y + 2z inn for x i (II):
3x + 5y + 6z = 7 ⇒ 3(5 − 3y + 2z) + 5y + 6z = 7 ⇒ 15 − 9y + 6z + 5y + 6z = 7 ⇒ −4y + 12z = −8

Vi setter 5 − 3y + 2z inn for x i (III):
2x + 4y + 3z = 8 ⇒ 2(5 − 3y + 2z) + 4y + 3z = 8 ⇒ 10 − 6y + 4z + 4y + 3z = 8 ⇒ −2y + 7z = −2

Nå har vi fått et nytt likningssett som bare inneholder y og z:

(IV) −4y + 12z = −8
(V) −2y + 7z = −2

Likning (IV) er enkel å løse med hensyn på y:
−4y + 12z = −8 ⇒ y = 2 + 3z

Så setter y = 2 + 3z inn for y i (V):
−2y + 7z = −2 ⇒ −2(2 + 3z) + 7z = −2 ⇒ −4 − 6z + 7z = −2 ⇒ z = 2

Vi fant tidligere at y = 2 + 3z, så y = 2 + 3 · 2 = 8

Vi fant tidligere at x = 5 − 3y + 2z, så x = 5 − 3 · 8 + 2 · 2 = −15

Løsningen til likningssettet er x = −15, y = 8, z = 2.

Vi setter prøve på svaret:

(I) V.S.: x + 3y − 2z = −15 + 3 · 8 − 2 · 2 = 5. Som er lik H.S.
(II) V.S.: 3x + 5y + 6z = 3 · (−15) + 5 · 8 + 6 · 2 = 7. Som er lik H.S.
(III) V.S.: 2x + 4y + 3z = 8 = 2 · (−15) + 4 · 8 + 3 · 2 = 8. Som er lik H.S.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal bruke addisjonsmetoden til å løse likningssettet fra oppgave 1:

(I) 3x + 2y = 4
(II) xy = 3

Vi multipliserer (II) med 2. Vi får da dette likningssettet:

(I) 3x + 2y = 4
(II) 2x − 2y = 6

Adderer vi likningene, eliminerer vi y, og får

5x = 10 ⇒ x = 2

Så setter vi 2 inn for x i (I) og får 3x + 2y = 4 ⇒ 3 · 2 + 2y = 4 ⇒ y = −1

Vi får altså x = 2, y = −1, som er det samme som vi fikk i oppgave 1.

Et annet løsningsalternativ er å starte med å multiplisere (II) med −3. Da eliminerer vi x når vi adderer.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal bruke addisjonsmetoden til å løse likningssettet

(I) 2x + 3y = 11
(II) 5x − 7y = −16

Multipliserer vi med 5 i (I) og med −2 i (II), får vi

10x + 15y = 55
−10x + 14y = 32

Adderer vi likningene, får vi

29y = 87 ⇒ y = 3

Setter vi dette inn i (I), får vi 2x + 3 · 3 = 11 ⇒ x = 1

Løsningen til likningssettet er x = 1, y = 3.

Vi setter prøve på svaret:

(I) V.S.: 10x + 15y = 10 · 1 + 15 · 3 = 55. Som er lik H.S.

(II) V.S. −10x + 14y = −10 · 1 + 14 · 3 = 32. Som er lik H.S.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal bruke addisjonsmetoden til å løse likningssettet fra oppgave 2:

(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8

Vi multipliserer (I) med −3, adderer med (II) og får

(IV) −4y + 12z = −8

Vi multipliserer (I) med −2, adderer med (III) og får

(V) −2y + 7z = −2

Nå har vi fått et nytt likningssett som bare inneholder y og z, og kan bruke addisjonsmetoden på disse for å eliminere ytterligere en ukjent.

Vi multipliserer (V) med −2, adderer med (IV) og får

(VI) −2z = −4 ⇒ z = 2

Så setter vi 2 inn for z i (IV) eller (V). Vi velger (V) fordi det gir enklest utregning, og får −2y + 7z = −2 ⇒ −2y + 7 · 2 = −2 ⇒ −2y = −16 ⇒ y = 8

Så setter vi 8 og 2 inn for y og z i (I), (II) eller (III). Vi velger (I) fordi det gir enklest utregning, og får x + 3y − 2z = 5 ⇒ x + 3 · 8 − 2 · 2 = 5 ⇒ x = −15

Vi har altså kommet fram til x = −15, y = 8, z = 2, som er det samme som vi fikk i oppgave 2.

Tilbake til oppgaven

Modellere med likninger

Oppgave 1:

Vi skal avgjøre hvor mange kurver jordbær Alea må plukke per dag for at et betalingsalternativ med kr 50 per time og kr 5 per kurv skal lønne seg framfor kr 800 per dag, når arbeidsdagen er 8 timer.

Kaller vi antall kurver hun plukker for x, vil kr 50 per time i 8 timer og kr 5 per kurv kunne skrives som 50 · 8 + 5x. Vi skal så finne ut hva x skal være for at dette er lik 800, så vi får likningen 50 · 8 + 5x = 800.

Dette er en førstegradslikning som vi løser ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet og forenkle så langt det går på høyre.

50 · 8 + 5x = 800

5x = 800 − 50 · 8

5x = 400

x = 80

Alea må plukke mer enn 80 kurver per dag for at dette alternativet skal lønne seg.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi vet at 1 stk. brokkoli og 2 stk. purre koster kr 55 til sammen, at 2 stk. brokkoli og 4 stk. purre koster kr 110 til sammen, og skal prøve å finne ut hva 1 stk. brokkoli og 1 stk. purre koster.

Kaller vi prisen på brokkoli b og prisen på purre p, kan vi sette opp disse to likningene:

(I) b + 2p = 55
(II) 2b + 4p = 110

Vi prøver først å bruke innsettingsmetoden. Vi finner lett et uttrykk for b fra (I): b + 2p = 55 ⇒ b = 55 − 2p

Vi setter inn 55 − 2p for b i (II), og får 2(55 − 2p) + 4p = 110 ⇒ 110 − 4p + 4p = 110 ⇒ 0p = 0

Vi endte opp med at 0p = 0, noe som betyr at p kan ha en hvilken som helst verdi. Hvis vi prøver å finne et uttrykk for b i den ene likningen og sette inn i den andre, vil vi ende opp med at 0b = 0.

Prøver vi å bruke addisjonsmetoden, ser vi at det ikke er noe vi kan multiplisere likningene med slik at vi får eliminert bare én av de ukjente når vi adderer. Vi får eliminert begge eller ingen.

Årsaken er at de to likningene ikke er uavhengige. Hvis vi multipliserer (I) med 2 på begge sider av likhetstegnet, får vi (II). De to opplysningene vi har fått om prisen på brokkoli og purre, er egentlig samme opplysning gitt i to varianter.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi vet at prisen på en bil er lik prisen året før multiplisert med 0,87, og skal finne ut hvor mange år det vil gå før prisen på en bil til kr 350 000 er blitt lavere enn kr 200 000.

Et uttrykk for prisen til bilen etter x år vil være 350 000 · (0,87)x. Så skal vi finne ut når dette blir lik 200 000. Vi får derfor likningen 350 000 · (0,87)x = 200 000.

Vi løser likningen:

350 000 · (0,87)x = 200 000
⇓ (Dividerer med 1000 på begge sider)
35 · (0,87)x = 20
⇓ (Tar logaritmen på begge sider)
ln(35 · (0,87)x) = ln 20
⇓ (Benytter at ln uv = ln u + ln v)
ln 35 + ln (0,87)x = ln 20
⇓ (Benytter at ln ux = x ln u)
ln 35 + x ln 0,87 = ln 20

x = (ln 20 − ln 35)/ln 0,87

x ≈ 4,02

Dette betyr at prisen på bilen etter 4 år fremdeles er litt høyere enn kr 200 000, og at det må gå 5 år før den er lavere enn 200 000 når vi regner i hele år.

Tilbake til oppgaven

Løsningsforslag, mer om algebra

Summasjonstegn

Oppgave 1:

Vi skal beregne summen som angis med uttrykket $\displaystyle \sum_{n = 1}^{3} 2^n$.

Her går summasjonsindeksen fra og med 1 til og med 3, og settes inn for n i 2n. Så vi får 21 + 22 + 23 = 2 + 4 + 8 = 14.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal skrive summen ${\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{5}} + \cdots + {\large \frac{1}{100}}$ ved hjelp av summasjonstegn.

Her er det algebraiske uttrykket ${\large \frac{1}{n}}$, startverdien for n er 3 og sluttverdien er 100. Så dette blir

$\displaystyle \sum_{n = 3}^{100} \frac{1}{n}$

Tilbake til oppgaven

Logaritmer

Oppgave 1:

Vi skal beregne den briggske logaritmen til 0,2 og den briggske antilogaritmen til 2 på kalkulator og med Excel eller GeoGebra.

For å beregne log 0,2 på min Casio fx-82ES PLUS, trykker jeg på tastene log 0 . 2 ) =. Kalkulatoren svarer −0.6989700043. For å gjøre utregningen i Excel, skriver vi =log(0,2). I GeoGebra, skriver vi log(0.2) i inntastingsfeltet.

For å beregne den briggske antilogaritmen til 2 på min kalkulator, trykker jeg på tastene 10 2 =. Kalkulatoren svarer 100. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =10^2. I GeoGebra, skriver vi 10^2 i inntastingsfeltet.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal beregne den naturlige logaritmen til 0,2 og den naturlige antilogaritmen til 2 på kalkulator og med GeoGebra.

For å beregne ln 0,2 på min Casio fx-82ES PLUS, trykker jeg på tastene ln 0 . 2 ) =. Kalkulatoren svarer −1.609437912. For å gjøre utregningen i Excel, skriver vi =ln(0,2). I GeoGebra skriver vi ln(0.2) i inntastingsfeltet.

For å beregne den naturlige antilogaritmen til 2 på min kalkulator, trykker jeg på tastene e 2 =. Kalkulatoren svarer 7.389056099. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =eksp(2). I GeoGebra, skriver vi exp(2) i inntastingsfeltet.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal kople hvert av de fire uttrykkene under til riktig punkt på tallinja: 

      1. log 5
      2. ln 5
      3. log 1
      4. ln 0,5

Punkter som representerer logaritmer

    1. log 5. Her tar vi den briggske logaritmen, med grunntall 10, til 5. Siden 1 < 5 < 10, må log 5 ligge mellom 0 og 1, så det er punkt C.
       
    2. ln 5. Her tar vi den naturlige logaritmen, med grunntall e ≈ 2,71828, til 5. Siden 5 > e, må ln 5 være større enn 1, så det er punkt D.
       
    3. log 1. Her tar vi logaritmen til 1, som er 0, uavhengig av grunntall. Så det er punkt B.
       
    4. ln 0,5. Her tar vi logaritmen til 0,5, som er et negativt tall, uavhengig av grunntall. Så det er punkt A.

Skriver vi henholdsvis =log(5), =ln(5), =log(1) og =ln(0,5) i Excel eller (5), ln(5), log(1) og ln(0.5) i inntastingsfeltet i GeoGebra, ser vi at svarene stemmer med verdiene til henholdsvis punkt C, D, B og A.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal beregne log3 81 ved å bruke funksjonen ln i Excel eller GeoGebra, og kontrollere svaret ved å bruke log med grunntall 3.

Her benytter vi oss av at $\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \ln a}$, så vi skal beregne ${\large \frac{\ln 81}{\ln 3}}$. Vi skriver =ln(81) / ln(3) i Excel eller ln(81) / ln(3) i inntastingsfeltet i GeoGebra, og får 4 til svar.

Vi ser at dette svaret er riktig fordi 34 = 81. 4 er det tallet vi må opphøye grunntallet 3 i for å få 81.

For å kontrollere svaret, skriver vi =log(81; 3) i Excel eller log(3, 81) i inntastingsfeltet.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal anslå verdien til punktene B, C, D, F, G og H som er vist på en logaritmisk skala der verdiene 10 og 100 er markert. Svaret er

B: 2,5, C: 5,0, D: 7,5, F: 25, G: 50, H: 75.

Her er det fort å gå fem på og tenke som om det var en lineær skala mellom 1 og 10 og 10 og 100, og tro at det er lengre mellom A og B enn mellom D og E, og lengre mellom E og F enn mellom H og I.

I bildet under er samme skala vist, men nå med mellomenhetene 2, 3, … , 9 og 20, 30, … , 90 markert. Vi ser at avstanden mellom enhetene avtar jo større enhetene blir.

Punkter langs logaritmisk akse med mellomverdier markert

Tilbake til oppgaven

Løsningsforslag, polynomer

Faktorisere polynomer

Oppgave 3:

Vi skal faktorisere fjerdegradspolynomet x4 + x3 − 6x2.

Vi setter x2 utenfor parentes: x4 + x3 − 6x2 = x2(x2 + x − 6).

 Vi bruker abc-formelen til å finne andregradspolynomets nullpunkter.

$x_{1, 2} = {\large \frac{−1 \pm \sqrt{1^2 −4 \cdot 1 \cdot (−6)}}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−1 \pm \sqrt{25}}{2}} = {\large \frac{−1 \pm 5}{2}}$

$x_{1} = {\large \frac{−1 + 5}{2}} = {\large \frac{4}{2}} = 2$

$x_{2} = {\large \frac{−1 − 5}{2}} = {\large \frac{−6}{2}} = −3$

Koeffisienten a er 1, så vi får at x2 + x − 6 = (x − 2)(x − (−3)) = (x − 2)(x + 3).

Vi har altså at x4 + x3 − 6x2 = x2(x2 + x − 6) = x2(x − 2)(x + 3).

Skriver vi Faktoriser(x^4 + x^3 − 6x^2) CAS, svarer GeoGebra med x2(x − 2)(x + 3).

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal faktorisere fjerdegradspolynomet x4 − 10x2 + 9. Dette kan skrives som (x2)2 − 10x2 + 9. 

Vi erstatter x2 med s. Polynomet blir da s2 − 10s + 9.

Dette er et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til med abc-formelen:

$s_{1, 2} = {\large \frac{−(−10) \pm \sqrt{(−10)^2 −4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}} ={\large \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2}} = {\large \frac{10 \pm 8}{2}} = 5 \pm 4$

Så vi får

$s_{1} = 5 + 4 = 9$

$s_{1} = 5 + 4 = 9$

Koeffisienten a er 1, så det betyr at x4 − 10x2 + 9 kan faktoriseres som (s − 9)(s − 1).

Siden vi har at s = x2, er dette det samme som (x2 − 9)(x2 − 1).

Så må vi faktorisere andregradspolynomene x2 − 9 og x2 − 1. Det kan vi gjøre ved å bruke abc-formelen til å finne nullpunktene til de to polynomene, men det er enklere å bruke 3. kvadratsetning baklengs:

x2 − 9 = (x + 3)(x − 3) og

x2 − 1 = (x + 1)(x − 1)

Så vi har at x4 − 10x2 + 9 kan faktoriseres som (x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1).

Skriver vi Faktoriser(x^4 − 10x^2 + 9) i CAS, svarer GeoGebra (x − 3)(x − 1)(x + 1)(x + 3), som er det samme, faktorene kommer bare i en annen rekkefølge.

Tilbake til oppgaven

Løsningsforslag, likninger og ulikheter

Førstegradslikninger

Oppgave 4:

Vi skal løse likningen 2uv = 4u + v − 2, med hensyn på v, og sette prøve på svaret. Målet er da å isolere v på venstre side av likhetstegnet.

Flytter v over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2u − 2v = 4u − 2

Flytter 2u over på høyre side, skifter fortegn og trekker sammen:
−2v = 2u − 2

Dividerer med −2 på begge sider:
v = −u + 1

Det var imidlertid oppgitt at dette var den likningen vi løste med hensyn på u og fikk at u = −v + 1. Vi kan derfor ta utgangspunkt i dette svaret, og løse med hensyn på v.

Vi har:
 u = −v + 1

Flytter v over på venstre side og skifter fortegn:
v + u = 1

Flytter u over på høyre side og skifter fortegn:
v = −u + 1

For å sette prøve på svaret erstatter vi v med løsningen −u + 1 på begge sider av likhetstegnet:

V.S.: 2uv = 2u − (−u + 1) = 2u + u − 1 = 3u − 1.

H.S.: 4u + v − 2 = 4u + (−u + 1) − 2 = 3u − 1.

Begge sider er lik 3u − 1, så løsningen er riktig.

Tilbake til oppgaven

Andregradslikninger

Oppgave 2:

Vis skal løse likningen x2 + 6x = −9.

Flytter −9 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x^2+6x−9 = 0$

Benytter hintet og skriver $x^2+6x−9 = 0$ som $(x+3)^2= 0$:
$(x+3)^2= 0$

Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{ (x + 3)^2} = \pm \sqrt{0}$

Trekker ut røttene:
$x + 3 = 0$

Flytter 3 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x = −3$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal løse likningen x2 + 2x = 3 ved å bruke metoden med kvadratkomplementering.

For å komplettere kvadratet på venstre side må vi legge til halvparten av førstegradskoeffisienten kvadrert. Koeffisienten er 2, så halvparten er 1, og halvparten kvadrert er 1.

Legger til 1 på begge sider:
$x^2 + 2x + 1 = 3 + 1$

Regner ut høyresiden:
$x^2 + 2x + 1 = 4$

Nå kan vi skrive om fra formen x2 + 2kx + k2 til (x + k)2. Her er k2 = 1, så k = 1, og vi får:
$(x + 1)^2 = 4$

Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{ (x + 1)^2} = \pm \sqrt{4}$

Trekker ut røttene:
$x + 1 = \pm 2$

Flytter 1 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x = \pm 2 − 1$

Det vil si at løsningene er

$ x_1  = 2 − 1 = 1$

$x_2 = −2 − 1 = −3$

Tilbake til oppgaven

Likninger med ukjent under brøkstrek

Oppgave 2:

Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6x − 16} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x − 2}$ med hensyn på x og sette prøve på svaret.

Vi kryssmultipliserer:
2(x − 2) = 1(6x − 16)

Vi multipliserer inn i parentesene:
2x − 4 = 6x − 16

Vi flytter 6x over til venstre side med fortegnsskifte og −4 over til høyre side med fortegnsskifte:
2x − 6x = −16 + 4

Vi trekker sammen på begge sider:
− 4x = −12

Vi dividerer med −4 på begge sider:

x = 3

Vi setter prøve på svaret:

V.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6x − 16} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6 \cdot 3 −16} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 2} = 1$

H.S.: $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x − 2} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3 − 2} = 1$

Venstre og høyre side er like, så løsningen er riktig.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x}$ med hensyn på x og sette prøve på svaret.

Vi kryssmultipliserer:
x(x + 2) = (2x + 4)(x − 3)

Vi multipliserer inn x på venstre side og multipliserer sammen parentesene på høyre side:
x2 + 2x = 2x2 − 2x − 12

Vi flytter alle ledd over til venstre side med fortegnsskifte:
x2 + 2x − 2x2 + 2x + 12 = 0

Vi organiserer og trekker sammen like ledd:
−x2 + 4x + 12 = 0

Vi løser ved hjelp av abc-formelen:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 −4ac}}{2a}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{4^2 − 4 \cdot(−1) \cdot 12}}{2 \cdot(−1)}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{64}}{−2}} = {\large \frac{−4 \pm 8}{−2}} = 2 \pm 4$


x1 = 2 + 4 = 6
x2 = 2 4 = −2

Setter vi prøve på svaret, får vi når x = 6:

VS.: $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle 6+2}{\displaystyle 6 − 3} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3} $

H.S.: $\frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x} = \frac{\displaystyle 2 \cdot 6 + 4}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}$

Når x = −2, får vi:

VS.: $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle −2+2}{\displaystyle −2 − 3} = \frac{\displaystyle 0}{\displaystyle −5} = 0$

H.S.: $\frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x} = \frac{\displaystyle 2 \cdot (−2) + 4}{\displaystyle −2} = \frac{\displaystyle 0}{\displaystyle −2} = 0$

I begge tilfeller er venstre og høyre side like, så løsningene er riktige.

Tilbake til oppgaven

Løsningsforslag, grunnleggende algebra

Regneregler i algebra

Oppgave 1:

Vi skal multiplisere ut parentesen og trekke uttrykket 6x(2y + 3z − 1 + y) sammen så langt det er mulig.

Vi multipliserer 6x med hvert ledd inni parentesen:

12xy + 18xz − 6x + 6xy

Vi organiserer leddene slik at like ledd kommer etter hverandre:

12xy + 6xy + 18xz − 6x

Vi trekker sammen like ledd og organiserer alfabetisk:

− 6x + 18xy + 18xz

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal multiplisere ut parentesene og trekke uttrykket −3x(2y + 3z − 1 − y) sammen så langt det er mulig.

Vi multipliserer −3x med hvert ledd inni parentesen:

−6xy − 9xz + 3x + 3xy

Vi organiserer leddene slik at like ledd kommer etter hverandre:

−6xy + 3xy − 9xz + 3x 

Vi trekker sammen like ledd og organiserer alfabetisk:

3x − 3xy − 9xz

Tilbake til oppgaven

Potensregning

Oppgave 1:

Vi skal regne ut (−5)4 på kalkulator, i Excel og i GeoGebra.

Akkurat hva vi skriver på kalkulator, vil være avhengig av modell, men prinsippet er stort sett det samme. På min Casio fx-82ES PLUS trykker jeg på tastene
( – 5 ) x 4 =
Kalkulatoren svarer 625.

I GeoGebra skriver vi (-5)^4 i inntastingsfeltet. GeoGebra svarer med a = 625 i algebrafeltet.

Det er viktig å være oppmerksom på at vi må skrive parentes rundt −5. Opphøying utføres før fortegnsskifte, så −54 blir tolket som −(54) som er −625. Det er en vanlig feil å glemme slike parenteser.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å multiplisere potenser med samme grunntall, det vil si at vi opphøyer i summen av eksponentene:

$3^5 \cdot 3^2 = 3^{5 + 2} = 3^7 = 2187$

$3 \cdot 3^2 = 3^1 \cdot 3^{2} = 3^{1+2} = 3^3 = 27$
Her har vi brukt at når det står et grunntall uten eksponent, har vi egentlig en eksponent som er 1.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å dividere potenser med samme grunntall, det vil si at vi opphøyer i differansen av eksponentene:

$\frac{\displaystyle 4^{5}}{\displaystyle 4^{3}} = 4^{5−3} = 4^2 = 16$

$\frac{\displaystyle 4^2}{\displaystyle 4^{−2}} = 4^{2 − (−2)} = 4^4 = 256$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å opphøye en potens i en eksponent, det vil si at opphøyer i produktet av eksponentene:

$(3^{2})^{3} = 3^{2\cdot 3} = 3^6 = 729$

$(3^{−2})^{−3} = 3^{−2(−3)} = 3^6 = 729$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å multiplisere to potenser med samme eksponent, det vil si at vi multipliserer grunntallene først, og deretter opphøyer i eksponenten:

$3^{2} \cdot 4^{2} = (3\cdot 4)^2 = 12^2 = 144$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å dividere to potenser med samme eksponent, det vil si at vi dividerer grunntallene først, og deretter opphøyer i eksponenten:

$\frac{\displaystyle 6^2}{ \displaystyle 3^2} = \Big(\frac{\displaystyle 6}{ \displaystyle 3}\Big)^2 = 2^2 = 4$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 7:

Vi skal regne ved å bruke regelen om å flytte en potens under/over en brøkstrek med fortegnsskifte på eksponenten:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^{−4}} = 2^4 = 16$

$3^{−4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3^4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 81}$

Tilbake til oppgaven

Kvadratsetningene

Oppgave 2:

Vi skal bruke første kvadratsetning til å regne ut: (3x + 5y)2 og forenkle så langt som mulig.

Første kvadratsetning sier at (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. I parentesen i oppgaven har vi 3x i stedet for a, og 5y i stedet for b, så vi får:

(3x + 5y)2 = (3x)2 + 2 · 3x · 5y + (5y)2 = 9x2 + 30xy + 25y2

Vi ser at når vi opphøyer 3x i andre, så er det både 3-tallet og x som skal opphøyes, og tilsvarende når vi opphøyer 5y i andre, så er det både 5-tallet og y som skal opphøyes. Dette er egentlig i henhold til regelen ax · bx = (a · b)x, som vi lærte på siden Potensregning. I vårt tilfelle bruker vi regelen baklengs, og sier at (3 · x)2 = 32 · x2 = 9x2 og (5 · y)2 = 52 · y2 = 25y2.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal bruke formelen $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ til å regne ut (2x + 5)3, og sjekke resultatet i CAS.

I parentesen i oppgaven har vi 2x i stedet for a, og 5 i stedet for b, så vi får:

(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 · 5 + 3 · 2x · 52 + 53 = 8x3 + 3 · 4x2 · 5 + 3 · 2x · 25 + 125 = 8x3 + 60x2 + 150x + 125

I CAS skriver vi RegnUt((2x + 5)^3), og GeoGebra gir svaret 8x3 + 60x2 + 150x + 125, så vi har regnet riktig.

Tilbake til oppgaven

Røtter

Oppgave 1:

Vi skal forenkle $\sqrt[\Large 4]{8} \cdot \sqrt[\Large 4]{2}$ mest mulig.

Vi bruker regelen om rota av et produkt baklengs:

$\sqrt[\Large 4]{8} \cdot \sqrt[\Large 4]{2} = \sqrt[\Large 4]{8 \cdot 2} = \sqrt[\Large 4]{16} = 2$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal forenkle $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5}}$ mest mulig ved å gå veien om potenser.

Vi skriver først rotuttrykkene om til potenser. Vi husker at a egentlig betyr a1:

$\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} } = \frac{\displaystyle a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 }{\displaystyle a^{\large (\frac{5}{8})}}$

Så flytter vi potensen under brøkstreken opp samtidig som vi skifter fortegn på eksponenten:

$\frac{\displaystyle a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 }{\displaystyle a^{\large (\frac{5}{8})}} = a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 \cdot a^{\large (−\frac{5}{8})}$

Så benytter vi at å multiplisere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i summen av eksponentene:

$a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 \cdot a^{\large (−\frac{5}{8})} = a^{\large (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 1 – \frac{5}{8})} = a^{\large (\frac{13}{8})}$

Så regner vi tilbake til rot-form:

$a^{\large (\frac{13}{8})} = \sqrt[\Large 8]{a^{13}}$

Gjør vi utregningen med GeoGebra, får vi imidlertid svaret $a \;\sqrt{a} \;\sqrt[\Large 8]{a}$. Vi skal se hvordan vi kommer fram til dette.

Vi deler opp eksponenten i $a^{\large (\frac{13}{8})}$ i en sum av brøker:

$a^{\large (\frac{13}{8})} = a^{\large (\frac{8}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8})}$

Vi bruker regelen $a^{\large x} \cdot a^{\large y} = a^{\large x + y}$ baklengs:

$a^{\large (\frac{8}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8})} = a^{\large (\frac{8}{8})} \cdot a^{(\large \frac{4}{8})} \cdot a^{(\large \frac{1}{8})} = a^{1} \cdot a^{\large (\frac{1}{2})} \cdot a^{(\large \frac{1}{8})}$

Vi regner om fra potensform til brøkform:

$a^{1} \cdot a^{\large (\frac{1}{2})} \cdot a^{(\large \frac{1}{8})} = a \;\sqrt{a} \;\sqrt[\Large 8]{a}$

Tilbake til oppgaven

Skjermfilmer, algebra

Tabellen under gir en oversikt over alle skjermfilmer det refereres til på nettstedet, under temaet «algebra».

Artikkel Beskrivelse Skjermfilm
Elementær algebra Vi trekker uttrykket $4xy + 8z – 3xy + 5x – 3z$ sammen så langt det er mulig. elementaer algebra 01
Vi bruker potensreglene til å forenkle $\frac{\displaystyle {(a^2)}^3a^4}{\displaystyle {(a^3)}^2}$ så langt det er mulig. elementaer algebra 02
Vi forenkler potensene og trekker uttrykket $x^2y^2x + x^3y^3x^{-1} – x^3y^2 + xyyyyy^{-1}x$ sammen så langt det er mulig. elementaer algebra 03
Vi multipliserer ut parentesene og trekker uttrykket $5m^2 – 3n – 3(m^2 + n) – (-m^2- n)$ sammen så langt det er mulig. elementaer algebra 04
Brøk Vi forkorter brøken $\frac{\displaystyle 735}{\displaystyle 882}$ så langt det er mulig. broek 01
Vi forkorter brøkene $\frac{\displaystyle x^5y^4z^2}{\displaystyle xy^2z^3}$ og $\frac{\displaystyle 3x + 5y}{\displaystyle xy^2}$ så langt det går. broek 02
Vi utvider brøken $\frac{\displaystyle x^2}{\displaystyle 3}$ slik at nevneren blir $6x$. broek 03
Brøkregning Vi utfører addisjonen $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 16} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 24}$ både ved å finne minste felles multiplum og ved å gange nevnerne direkte. broekregning 01
Vi regner ut $-\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$ og forkorter mest mulig. broekregning 02
Vi regner ut $\frac{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}{\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}$ og forkorter mest mulig. broekregning 03
Vi regner ut $\frac{\frac{\displaystyle x^3y}{\displaystyle z^2}}{\frac{\displaystyle x^2y^4}{\displaystyle z}}$ og forkorter mest mulig. broekregning 04
Likninger og ulikheter Vi løser likningen $5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6$ og setter prøve på svaret. likninger og ulikheter 01
Vi løser likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x} + 10 = 12$ og setter prøve på svaret. likninger og ulikheter 02
Vi løser likningen $5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6$ grafisk. likninger og ulikheter 03
Vi løser tekstoppgaven «Astrid er halvparten så gammel som Thorild. Knut er tre år eldre enn Thorild. Til sammen er de 53 år gamle. Hvor gammel er Astrid, Thorild og Knut?» ved å stille opp og løse likningen med Astrids alder som den ukjente x». likninger og ulikheter 04
Vi løser ulikheten: $2x + 2 \le 3x – 1$. likninger og ulikheter 05
Regneregler i algebra Vi gjennomgår trinnene i likningsløsningen under, og angir hvilke regneregler som brukes.
1: $3(2x + 3) = 12 + 3x$
2: $6x + 9 = 12 + 3x$
3: $6x = 3 + 3x$
4: $3x = 3$
5: $x = 1$
regneregler i algebra 01
Vi avgjør om relasjonen «mindre enn» er henholdsvis refleksiv, symmetrisk og transitiv. regneregler i algebra 02
Kvadratsetningene Vi regner ut $(x + 2)(x + 3)$ og forenkler så langt som mulig. kvadratsetningene 01
Vi bruker andre kvadratsetning til å regne ut: $(2x – 3y)^2$ og forenkle svaret så langt som mulig. kvadratsetningene 02
Vi bruker tredje kvadratsetning til å regne ut $(2x + 3y)(2x – 3y)$ og forenkle svaret så langt som mulig. kvadratsetningene 03
Forskjellige typer tall Vi avgjør om $-3, \, \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}, \, 8, \, 3,\overline 3, \, i, \, 1,412 \dots, \, -\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}, \, 2+4i$ er naturlige tall, hele tall, rasjonale tall, reelle tall eller komplekse tall. forskjellige typer tall 01
Vi lager en skisse der vi plasserer $1, \, i, \, -2, \, 1 + 3i, \, 2 – i$ i det komplekse planet og deretter også plasserer tallenes konjugerte. forskjellige typer tall 02
Komplekse tall Vi beregner $|1 + i|$. komplekse tall 01
Vi beregner $z_1 + z_2$ og $z_1 – z_2$ når $z_1 = 1 + i$ og $z_2 = 3 – 2i$. komplekse tall 02
Vi beregner $z_1 \cdot z_2$ og $z_1 – z_2$ når $z_1 = 1 + i$ og $z_2 = 3 – 2i$. komplekse tall 03
Vi beregner $z \cdot \overline z$ når $z = 1 + i$. komplekse tall 04
Vi beregner $z_1 / z_2$ og $z_1 – z_2$ når $z_1 = 1 + i$ og $z_2 = 3 – 2i$. komplekse tall 05
Andregradslikninger Vi løser likningen $x^2 – 7 = 1$. andregradslikninger 01
Vi bruker metoden med kvadratkomplettering til å løse likningen $2x^2 = -10x – 12$. andregradslikninger 02
Vi bruker metoden med kvadratkomplettering til å løse likningen $ax^2 + bx + c = 0$. andregradslikninger 03
Vi bruker abc-formelen til å løse likningen $2x^2 = -10x – 12$. andregradslikninger 04
Vi bruker abc-formelen til å løse likningen $x^2 – 2x +2 = 0$. andregradslikninger 05
Polynomdivisjon Vi utfører polynomdivisjonen $(x^3 – 1) : (x – 1)$. polynomdivisjon 01
Vi utfører polynomdivisjonen $(x^4 + 3x^2 – 4) : (x^2 + 2x)$. polynomdivisjon 02
Faktorisere polynomer Vi faktoriser polynomet $(4x^2 – 8x + 4)(x^2 – 4)$. faktorisere polynomer 01
Vi faktoriser polynomet $2x^2 + 12x + 10$ basert på at $x_1 = -1$ og $x^2 = -5$ er nullpunkter i polynomet . faktorisere polynomer 02
Vi faktoriser polynomet $-x^4 + x^3 + 11x^2 – 9x – 18$ basert på at $x_1 = -3$ og $x_2 = 2$ er nullpunkter i polynomet. faktorisere polynomer 03
Likninger og ulikheter av høyere grad Vi løser likningen $-x^4 + x^3 + 11x^2 – 9x – 18 = 0$ når vi vet at to av fjerdegradslikningens løsninger er $x_1 = -3$ og $x_2 = 2$. likninger og ulikheter av hoyere grad 01
Vi løser likningen $x^4 – 5x^2 + 4 = 0$. likninger og ulikheter av hoyere grad 02
Vi løser ulikheten $-3x^3 + 6x^2 – 9x \le 0$. likninger og ulikheter av hoyere grad 03
Følger Vi skriver ut fem ledd i en tallfølge gitt eksplisitt, og i en tallfølge gitt rekursivt. ledd i tallfolge
Vi undersøker om tre følger er aritmetiske eller geometriske. klassifisering av folger
Vi finner en eksplisitt formel for to følger. finne eksplisitt formel
Vi bruker regneark til å finne de 30 første tallene i Fibonaccis følge, og å finne kvotienten mellom to etterfølgende tall i følgen. fibonaccitall
Summasjonstegn Vi skriver ut ledd angitt med summasjonstegn. summasjonstegn

Tallsystemer

Titallsystemet

Som mennesker er vi vant med å regne med 10 som grunntall, vi bruker titallsystemet (desimalsystemet). Dette kommer formodentlig av at mennesket har 10 fingre, og derved er i stand til å representere 10 ulike sifre uten ekstra hjelpemidler. De 10 sifrene er de velkjente symbolene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Tallsystemet vårt er et posisjonssystem, hvor verdien av hvert siffer avhenger av hvor i tallet sifferet er plassert. I tallet 782, for eksempel, representerer sifferet 7 ′syv hundre′, 8 representerer ′åtti′, og 2 representerer ′to′. Sifferet lengst til høyre representerer enere, det neste tiere, deretter hundrere, etc.

Vi ser at sifferverdien (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) multipliseres med tallsystemets grunntall (10) opphøyd i sifferets posisjonsnummer. Enerplassen regnes som posisjon null. 782 betyr altså 7·102 + 8·101 + 2·100 = 7·100 + 8·10 + 2·1.

Totallsystemet

Et annet viktig posisjonssystem er totallsystemet (binærsystemet), der vi bruker 2 som grunntall. I totallsystemet anvendes bare to sifre, 1 og 0, og de ulike posisjonene representerer 1, 2, 4, 8, etc. i stedet for titallsystemets 1, 10, 100, 1000, etc. Helt analogt med titallsystemet multipliseres sifferverdien (0, 1) med tallsystemets grunntall (2) opphøyd i sifferets posisjonsnummer. 1101 betyr for eksempel 1·23+ 1·22 + 0·21 + 1·20 = 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 = 13 i titallsystemet.

For å angi hvilket tallsystem en arbeider i, brukes et lite subskript. 2 for totallsystemet, 10 for titallsystemet, etc. For eksempel betyr 11012 = 1310 at 1101 i totallsystemet er lik 13 i titallsystemet.

Siden det bare er to sifre i totallsystemet, kan en lett representere tall fysisk ved å la 1 bety at noe er til stede, og 0 at noe ikke er til stede. Dette er illustrert på bildet under, ved hjelp av egg i en eggekartong. Her ligger det egg i de fire posisjonene lengst til venstre, mens de to til høyre er tomme. Tallet dette symboliserer blir derved 1111002. Skulle en representert det samme i titallsystemet, måtte en innført et innfløkt system der for eksempel rødt egg betydde 1, blått egg 2, grønt egg 3, etc.

Egg som illustrerer 111100 i totallsystemet
 

Datamaskiner representerer tall som fysiske enheter, selv om det ikke er egg. I DRAM-minne for eksempel, betyr «elektriske ladning» 1, og «ingen ladning» 0. Skulle en operert i titallsystemet, måtte en holdt rede på 10 forskjellige ladningsnivåer, like innviklet som 10 fargede egg.

En annen stor fordel med totallsystemet, er at regneoperasjonene er svært enkle. Regnereglene for addisjon er slik:

0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 og 1 i mente

Multiplikasjon i totallsystemet er like enkelt. Gangetabellen ser slik ut:

  0 1 10
0 0 0 0
1 0 1 10
10 0 10 100

På grunn av den enkle måten å representere tall på, og de enkle regnereglene, arbeider de aller fleste datamaskiner i totallsystemet, de er binære.

Skal en gjøre operasjoner på flere tall, kan en ta for seg to tall av gangen. For å addere tre tall for eksempel, adderer en først to av dem, og adderer deretter summen til det siste tallet.

Regneeksempler

Akkurat som i titallsystemet, adderer en to binære tall ved å addere kolonne for kolonne, fra høyre mot venstre. Eksemplet under viser skritt for skritt prosedyren med å utføre addisjonen 101012 + 11012 = 100102. I titallsystemet tilsvarer det 2110 + 1310 = 3410.

Addisjon i totallsystemet

Multiplikasjon kan en også utføre som i titallsystemet. En multipliserer tallet til venstre med hvert siffer av tallet til høyre, setter resultatene under hverandre, og summerer. Eksemplet under viser skritt for skritt prosedyren med å utføre multiplikasjonen 1010012 · 1102 = 111101102. I titallsystemet tilsvarer det 4110 · 610 = 24610.

Multiplikasjon i totallsystemet

Sekstentallsystemet

Totallsystemet er kjekt for datamaskiner, men ikke så lett for mennesker å håndtere, fordi sekvensene av ettall og nuller fort blir lange og tungvinte. For mennesker er titallsystemet mye mer praktisk. Det er for eksempel atskillig enklere å tolke tallet 128583 i titallsystemet, enn motparten i totallsystemet: 11111011001000111.

Totallsystemet brukes derfor sjelden i skriftlig materiale. Men hvis en ønsker å vise hvordan tall representeres i en datamaskin, er titallsystemet heller ikke særlig velegnet. Dersom en f.eks. øker tallet 11112 med 1, får en 100002, en endring som overhodet ikke gjenspeiles i at 1510 blir til 1610.

En slår derfor i stedet sifrene i totallsystemet sammen i grupper på fire, og representerer hver gruppe med ett enkelt symbol. En slik gruppe på fire sifre kan representere 16 forskjellige tall, og et slikt tallsystem kalles derfor sekstentallsystemet (heksadesimalsystemet). For de første10 sifrene brukes de vanlige symbolene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Men så eksisterer det ikke flere tallsymboler. En kunne selvfølgelig oppfunnet nye symboler for å representere de neste 6 sifrene, men i stedet har en valgt å bruke bokstavene A, B, C, D, E og F. Dette er illustrert i tabellen under.

00002=016 00012=116 00102=216 00112=316
01002=416 01012=516 01102=616 01112=716
10002=816 10012=916 10102=A16 10112=B16
11002=C16 11012=D16 11102=E16 11112=F16

 

I sekstentallsystemet vil en endring fra 11112 til 100002, vises ved at F16 blir til 1016. I motsetning til titallsystemet, gjenspeiler sekstentallsystemet at sifrene i posisjon 0, 1, 2 og 3 er blitt satt til 0, og sifferet i posisjon 4 er blitt satt til 1.

Sekstentallsystemet er et posisjonssystem hvor sifferverdien (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) multipliseres med tallsystemets grunntall (16) opphøyd i sifferets posisjonsnummer. 3F6 betyr for eksempel 3 ·162 + 15 ·161 + 6 ·160 = 3 · 256 + 15 ·16 + 6 ·1 = 1014 i titallsystemet.

Omregning mellom tallsystemene

Fra totallsystemet til titallsystemet

Multipliser sifferet lengst til høyre med 20, neste siffer med 21, neste med 22, etc., og adder resultatet.
Eksempel: 101012 = 1 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 + 0 · 23 + 1 · 24 = 1 · 1 + 0 · 2 + 1 · 4 + 0 · 8 + 1 · 16 = 2110.

Fra titallsystemet til totallsystemet

Del tallet på to. Blir det en rest, skriv 1. Blir det ingen rest, skriv 0. Stryk resten og del på to på nytt. Skriv 1 eller 0 til venstre for forrige siffer, alt etter om det ble rest eller ikke.
Gjenta operasjonen inntil det står null igjen.

Eksemplet under viser hvordan en regner om 1310 til 11012:

Desimalt   Rest?   Binært
13 : 2  = 6,5    Ja   1
6 : 2  = 3,0    Nei   01
3 : 2  = 1,5    Ja   101
1 : 2  = 0,5    Ja   1101
         

Fra totallsystemet til sekstentallsystemet

Grupper sifrene 4 og 4, fra høyre mot venstre. Dersom siste gruppe har færre enn fire sifre, fyll på med nuller til venstre. Regn om ifølge tabellen i avsnittet om sekstentallsystemet.

Eksempel: 111110110010001112 = 0001 1111 0110 0100 01112 = 1F64716.

Fra sekstentallsystemet til totallsystemet

Ta utgangspunkt i tabellen i avsnittet om sekstentallsystemet, og erstatt hvert siffer med de tilhørende fire sifrene i totallsystemet. Ledende nuller kan strykes.

Eksempel: 2F316 = 0010 1111 00112 = 10111100112.

Fra sekstentallsystemet til titallsystemet

Multipliser sifferet lengst til høyre med 160, neste siffer med 161, neste med 162, etc., og adder resultatet. Husk at A16 = 1010, B16 = 1110, C16 = 1210, D16 = 1310, E16 = 1410, F16 = 1510.

Eksempel: 2F3C16 = 12· 160 + 3· 161 + 15 · 162 + 2 · 163 = 12 · 1 + 3 · 16 + 15 · 256 + 2 · 4096 = 1209210

Fra titallsystemet til sekstentallsystemet

Det enkleste er nok å regne om til totallsystemet først, og deretter til sekstentallsystemet, som beskrevet i avsnittene over. En kan imidlertid bruke teknikken for å regne om fra ti- til totallsystemet til å regne om direkte til sekstentallsystemet. Men en må dele på seksten, og i stedet for å skrive 1 når en får rest, skriver en resten multiplisert med seksten.

Eksemplet under viser hvordan en regner om 1209210 til 2F3C16:

Desimalt Oppmultiplisert rest   Heksadesimalt
12092 : 16  = 755,75    0,75  * 16= 12    C
755 : 16  = 47,1875    0,1875  * 16 = 3   3C
47 : 16  = 2,9375    0,9375  * 16 = 15   F3C
2 : 16  = 0,125    0,125  * 16 = 2   2F3C
           

Omregning med kalkulator

Windows har en kalkulator-app som en får fram ved å åpne Windows-menyen og skrive «kalkulator».Denne kan brukes til å regne om mellom totallsystemet (binært), åttetallsystemet (oktalt), titallsystemet (desimalt) og sekstentallsystemet (heksadesimalt).

Første gang kalkulatoren hentes fram, vises den i modus «Standard», dette endrer vi til «Programmering» i menyen øverst til venstre.

Windows-kalkulator i programmerings-modus

HEX, DEC, OCT og BIN er til å velge tallsystem med, henholdsvis sekstentallsystemet, titallsystemet, åttetallsystemet og totallsystemet. Vil en regne om fra titallsystemet til sekstentallsystemet, for eksempel, klikker en på DEC, skriver inn tallet, og klikker på HEX. Vil en regne om fra totallsystemet til titallsystemet, klikker en på BIN, skriver inn tallet, og klikker på DEC. Kalkulatoren deaktiverer knapper med tall som ikke er gyldige i et gitt tallsystem. Velger en BIN, er således bare 0 og 1 aktivert. Velger en OCT, aktiveres i tillegg 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Med DEC kommer også 8 og 9, og med HEX A, B, C, D, E og F.

Kilder

  • Bård Kjos: Innføring i informasjonsteknologi. Tapir Akademisk forlag, Trondheim 2005

CAS i GeoGebra

I GeoGebra kan vi bruke verktøyet CAS, Computer Algebra System til å utføre beregninger på symboler. Det vil si at CAS ikke bare er i stand til å gjøre aritmetikk, som å beregne at 2 + 3 = 5, men også utføre generelle algebraiske utregninger, som at a · a = a2.

Vi får fram CAS-vinduet ved å velge «Vis» – «CAS». Vi skriver så inn uttrykket vi vil forenkle og trykker linjeskift-tasten. (Enter)

I bildet under har vi skrevet inn uttrykket 3xy − 3x + 2xy + 5x, og GeoGebra har trukket det sammen så langt det går.

Bruk av CAS i GeoGebra

Oppgave 1:

Bruk CAS i GeoGebra til å forenkle uttrykkene

1: $4xy + 8z − 3xy + 5x − 3z$

2: $5m^2 − 3n − 3(m^2 + n) − (−m^2 − n)$

3: $\frac{\displaystyle {(a^{\large 2})}^{\large 3}a^{\large 4}}{\displaystyle {(a^{\large 3})}^{\large 2}}$

4: $x^2y^2x + x^3y^3x^{−1} − x^3y^2 + x \, y \, y \, y \, y \, y^{−1}x$
Hint: Hvis vi skriver inn uttrykket x y y y y y direkte, vil CAS tolke dette som ett langt variabelnavn. For å indikere at vi skal ha variabelen x multiplisert med variabelen y fem ganger, må vi skylle symbolene med multiplikasjons-operatoren stjerne, *.

Se løsningsforslag

Rotuttrykk

I GeoGebra beregner vi kvadratrøtter med kommandoen sqrt. For eksempel betyr sqrt(2) kvadratrota av 2. For andre former for røtter bruker vi kommandoen nrot eller nroot. Da må vi først oppgi hva vi skal trekke ut rota av, deretter hvilken rot vi skal trekke ut. For eksempel betyr nrot(8, 3) tredjerota av 8, mens nrot(3, 8) betyr åttenderota av 3.

Disse kommandoene kan vi skrive både i inntastingsfeltet og i CAS. Forskjellen er at inntastingsfeltet brukes mest til funksjonsforskrifter, for eksempel vil uttrykket sqrt(x^3) i inntastingsfeltet gi et plott av grafen til funksjonen $f(x)=\sqrt{x^3}$, mens det i CAS vil bli forenklet til $\sqrt x \, x$.

Eksempel 1:

Vi skal bruke GeoGebra til å forenkle uttrykket $\sqrt 8 + \sqrt 2$ mest mulig.

I CAS skriver vi sqrt(8) + sqrt(2), og GeoGebra forenkler uttrykket til $3 \sqrt 2$.

Dersom ikke uttrykket blir forenklet så langt vi ønsker, kan vi bruke kommandoen forenkle. For eksempel forenkle(sqrt(8) + sqrt(2)).

Oppgave 2:

Bruk CAS til å forenkle uttrykkene

1: $\sqrt[\Large 3]{x^4} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^{\phantom 1}}$

2: $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} }$

Se løsningsforslag

Potenser av parentesuttrykk

Hvis vi vil bruke CAS i GeoGebra til å regne ut potenser av parentesuttrykk, for eksempel (a + b)2, bruker vi kommandoen RegnUt, for eksempel RegnUt((a + b)^2) for å illustrere første kvadratsetning.

CAS er spesielt nyttig ved mer kompliserte uttrykk, for eksempel (a + b + c)4, som kan være omstendelige å regne ut for hånd.

Oppgave 3:

Bruk CAS til å regne ut (x + 5)3.

Se løsningsforslag

Faktorisere polynomer

Vi kan faktorisere polynomer ved hjelp av kommandoen Faktoriser. For å faktorisere polynomet 2x2 − 10x + 12, for eksempel, skriver vi Faktoriser(2x^2 − 10x + 12). GeoGebra svarer med 2(x − 3)(x − 2). GeoGebra finner ikke faktorer som er komplekse tall.

Løse likninger

Vi kan bruke CAS til å løse likninger. Vi skriver da inn likningsuttrykket og trykker på «Løs» eller «Løs numerisk».

"Løs" og "Løs numerisk" i CAS

Forskjellen på «Løs» og «Løs numerisk» er at hvis løsningen involverer brøker eller rotuttrykk, vises disse med «Løs», mens de med «Løs numerisk» rundes av til desimaltall.

Vi kan også bruke kommandoen Løs eller Nløs for å gjøre det samme.

Løse likningssett

Vi kan også løse likningssett med CAS. Den letteste måten å gjøre det på er å legge inn likningene én for én, markere alle, og så klikke på «Løs» eller «Nøs Numerisk».

Eksempel 2:

Vi skal løse likningen 5x = 3 i CAS. Vi skriver inn 5x = 3. Trykker vi på «Løs», svarer GeoGebra ${\Large \lbrace} x = {\large \frac{3}{5}} {\Large \rbrace}$. Trykker vi på «Løs numerisk», svarer GeoGebra ${\Large \lbrace} x = 0.6 {\Large \rbrace}$.

Alternativt skriver vi løs(5x = 3) eller nløs(5x = 3).

Vi kan også skrive kommandoen løs eller nløs og oppgi likningene mellom krøllparenteser, samt de ukjente vi skal løse for mellom krøllparenteser.

Eksempel 3:

Vi skal løse likningssettet

2x + 3y + z = 37
3x + 2y + 3z = 45
3x + y + z = 33

I CAS legger vi inn likningene, én i hver rute. Deretter markerer vi alle likningene ved å klikke på rute «1», holde nede <skift> og klikke på rute «3». Så klikker vi på «Løs» eller «Nøs Numerisk». Siden løsningene er hele tall, spiller det i dette tilfellet ikke noen rolle hva vi velger. GeoGebra viser løsningen x = 8, y = 6, z = 3.

Løsning av likningssett i CAS

Alternativt skriver vi løs({2x + 3y + z = 37, 3x + 2y + 3z = 45, 3x + y + z = 33}, {x, y, z}). Vi kan også skrive nløs i stedet for løs.

Oppgave 4:

Bruk CAS til å løse likningssettet

(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8

Se løsningsforslag

Kilder