Løsningsforslag, anvendelser av derivasjon

Ekstremalpunkter Oppgave 1: Vi skal bruke derivasjon og fortegnsskjema til å finne og klassifisere de stasjonære punktene til $f(x) = {\large \frac{1}{3}}x^3 – {\large \frac{1}{2}}x^2 -6x + 2$. Vi deriverer og får f ′(x) = x2 – x – 6. Løser vi likningen x2 – x – 6 = 0, får vi x1 = 3,… Fortsett å lese Løsningsforslag, anvendelser av derivasjon

Funksjonsdrøfting

Vi har nå sett på en funksjons eventuelle asymptoter, kritiske punkter og vendepunkter. I denne delen samler vi trådene og utfører funksjonsdrøfting. Hva er funksjonsdrøfting? Med å drøfte en funksjon mener vi å finne fram til funksjonens viktigste egenskaper, og eventuelt skissere en graf på bakgrunn av disse. Vi undersøker: Er funksjonen kontinuerlig? Hvis ikke, har… Fortsett å lese Funksjonsdrøfting

Optimeringsproblemer

En typisk anvendelse av derivasjon er optimering. Vi har funksjon som beskriver et eller annet som vi ønsker å gjøre så stort eller så lite som mulig. Det kan være at vi ønsker mest mulig fortjeneste, størst mulig areal, minst mulig utgifter eller lavest mulig materialforbruk. Vi bruker da funksjonens deriverte til å finne et maksimumspunkt… Fortsett å lese Optimeringsproblemer

Ekstremalpunkter

Finne stasjonære punkter I artikkelen om polynomfunksjoner så vi vi at en andregradsfunksjon, f(x) = ax2 + bx + c, vil ha et topp- eller bunnpunkt når $x= -\frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2a}$. Dette er fordi andregradsfunksjoner er symmetriske om sitt topp/bunnpunkt. Andre funksjonstyper vil ikke ha så behagelige egenskaper. Da kan den deriverte komme oss til hjelp. Fordi den deriverte… Fortsett å lese Ekstremalpunkter

Høyere ordens deriverte

Gjentatt derivasjon Vi har i andre artikler nøyd oss med å derivere funksjoner én gang. Nå skal vi se hva vi kan få ut av å derivere flere ganger. Vi har brukt en apostrof til å angi at vi deriverer, og skrevet den deriverte til en funksjon, f, som f ′. For å angi at vi… Fortsett å lese Høyere ordens deriverte

Kombinere derivasjonsregler

Vi har i andre artikler lært å derivere forskjellige typer funksjoner, lært å derivere uttrykk som består av summer, differanser, produkter og kvotienter av disse funksjonene og funksjoner inni funksjoner. Ofte vil vi imidlertid støte på uttrykk som krever bruk av flere regler etter hverandre, eller bruk av samme regel flere ganger. Vi trenger ikke… Fortsett å lese Kombinere derivasjonsregler

Derivere funksjonskombinasjoner

I artikkelen om å derivere potensfunksjoner og artikkelen om å derivere ulike typer funksjoner har vi sett hvordan vi deriverer potensfunksjoner, trigonometriske funksjoner, eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner. Nå skal vi se på regler for hvordan vi deriverer kombinasjoner av funksjoner. Litt om notasjon I alle reglene bruker vi en funksjon som vi kaller f(x), og i de fleste også… Fortsett å lese Derivere funksjonskombinasjoner

Derivere ulike typer funksjoner

I artikkelen om å derivere potensfunksjoner lærte vi å derivere potensfunksjoner. Her skal vi kjapt presentere derivasjonsregler for noen andre typer funksjoner. Trigonometriske funksjoner $\fbox{$\begin{align}(\sin x)’ &= \cos x \\ (\cos x)’ &= -\sin x \end{align}$}$ Den deriverte av sinus er altså cosinus, og den deriverte av cosinus er minus sinus. Sinus- og cosinusfunksjoner er deriverbare for… Fortsett å lese Derivere ulike typer funksjoner

Derivere potensfunksjoner

Potensfunksjoner generelt I artikkelen om derivasjonsbegrepet så vi at (x2)′ = 2x. To-tallet i eksponenten har kommet ned og står som en koeffisient foran x. Dette er et spesialtilfelle av en regel som sier at vi for alle eksponenter, r, har følgende sammenheng: $\fbox{Derivasjon av potens: $(x^r)’ = r x^{r-1}$}$ Vi deriverer altså en potens… Fortsett å lese Derivere potensfunksjoner