Løsningsforslag, integrasjonsmetoder

Integrasjon ved delbrøkoppspaltning Oppgave 1: Vi skal bruke delbrøkoppspalting til å beregne tre integraler. $\int \frac{\displaystyle 5x – 3}{\displaystyle (x + 1)(x -3)} \; dx$   Her vet vi at nevner i den ene brøken skal være x – 1 og nevner i den andre brøken x – 3. Så vi får følgende likning:  $\frac{\displaystyle… Fortsett å lese Løsningsforslag, integrasjonsmetoder

Løsningsforslag, integrasjon

Ubestemte integraler Oppgave 1: Vi skal beregne tre ubestemte integraler: $\int 5x^2 \; dx$   $\int \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^3} \; dx$   $\int \sqrt[4]{t} \; dt$ I alle oppgavene brukes regelen for å integrere potenser: $\int x^r \; dx = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r+1}x^{\displaystyle r+1} + C, \, r \ne -1$. I 1. brukes i tillegg regelen… Fortsett å lese Løsningsforslag, integrasjon

Delvis integrasjon

Prinsippet i delvis integrasjon Generelt har vi ingen regel for å integrere et produkt. Men delvis integrasjon gir oss et verktøy som kan gjøre det mulig å integrere produkter der en faktor blir enklere når den blir derivert eller integrert. Delvis integrasjon baserer seg på produktregelen for derivasjon: (uv)′ = (u)′v + u(v)′ Integrerer vi… Fortsett å lese Delvis integrasjon

Integrasjon ved substitusjon

Substitusjon i ubestemte integraler Som vi nevnte i artikkelen om ubestemte integraler, har vi ingen «produktregel» når vi integrerer, og å integrere et produkt kan derfor være vanskelig. Men i et spesialtilfelle der den ene faktoren i et produkt er den deriverte til kjernen av den andre faktoren, eventuelt multiplisert med en konstant, kan vi… Fortsett å lese Integrasjon ved substitusjon

Integrasjon ved delbrøkoppspaltning

Ved derivasjon har vi en regel, kvotientregelen, som vi bruker når vi deriverer brøkuttrykk. For integrasjon har vi ingen slik generell regel. En del brøker vil vi allikevel kunne integrere ved å bruke en metode som heter delbrøkoppspaltning. Vi skal her holde oss til å se på brøker som kan spaltes i to delbrøker, men… Fortsett å lese Integrasjon ved delbrøkoppspaltning

Integral som helhet

Oppsamling av funksjonsverdier Store norske leksikon definerer ordet «integrere» blant annet som «danne et hele; innlemme i en helhet». Vi kjenner ordet fra dagligtalen, for eksempel «å integrere innvandrere», det vil si at innvandrerne skal innlemmes i helheten – i samfunnet. Matematisk er det egentlig det samme vi gjør når vi integrerer, vi samler opp… Fortsett å lese Integral som helhet

Integral som rektangelsum

I artikkelen om integral som areal så vi at det bestemte integralet til en funksjon tilsvarte arealet under funksjonens graf. For eksempel tilsvarer det røde arealet i figuren under $\int\limits_1^2 x^2 \; dx = \frac{7}{3} \approx 2{,}33$. Tilnærme bestemt integral med rektangler Legger vi fem like brede rektangler i samme område, ser vi at arealet til… Fortsett å lese Integral som rektangelsum

Integral som areal

Areal over x-aksen I artikkelen om bestemte integraler lærte vi at et bestemt integral representerer en verdi. Men hva representerer egentlig denne verdien? Noe ganske interessant viser det seg, nemlig arealet avgrenset av grafen til det tilhørende ubestemte integralet, integrasjonsgrensene og x-aksen. $\fbox {$ A = \int\limits_a^b f(x) \; dx$}$ Eksempel 1: Integralet av f(x) =… Fortsett å lese Integral som areal

Bestemte integraler

I artikkelen om ubestemte integraler lærte vi at når vi beregner det ubestemte integralet til en funksjon, får vi en ny funksjon. Men det finnes også noe som heter bestemte integraler. Når vi beregner det bestemte integralet til en funksjon, får vi en verdi. Til bestemte integraler bruker vi det samme symbolet som til ubestemte integraler,… Fortsett å lese Bestemte integraler

Ubestemte integraler

Integrasjon som antiderivasjon Vi har i andre artikler lært å derivere, det vil si, basert på en funksjon, avlede en ny funksjon som beskriver hvordan den opprinnelige funksjonen endrer seg. Hvis den opprinnelig funksjonen for eksempel er f(x) = x2, blir den deriverte f ′(x) = 2x. Nå skal vi gå andre veien, det vil… Fortsett å lese Ubestemte integraler