Løsningsforslag, geometri

Plangeometriske figurer

Oppgave 1:

Vi skal plassere firkanter i et hierarki. Det kan se noe slik ut:

Hierarki av firkanttyper

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

    1. Vi skal finne arealet til et trapes der de to parallelle sidene er henholdsvis 5 og 8 cm og høyden er 6 cm.
      Vi bruker formelen for arealet av et trapes, $A={{\displaystyle (a+b) \cdot h}\over{\displaystyle 2}}$, der a og b er de parallelle sidene og h høyden og får

      $A={{\displaystyle (5+8) \cdot 6}\over{\displaystyle 2}} cm^2 = 39 \, cm^2$
       

    2. Vi vet at et trapes har areal 26 cm2, at de to parallelle sidene er 7 og 6 cm. og skal finne trapesets høyde.
      Vi bruker vanlige algebra-regler til å regne om formelen slik at vi får høyden alene på venstre side av likhetstegnet: $h={{\displaystyle 2A}\over{\displaystyle a + b}}$, setter inn og får
       
      $h={{\displaystyle 2 \cdot 26 }\over{\displaystyle 7 + 6 }} cm = 4 \, cm$

Tilbake til oppgaven

Trigonometri

Oppgave 1:

Det er oppgitt at i en rettvinklet trekant er hypotenusen 13 cm og den ene kateten 12 cm, og vi skal finne ut hvor lang den andre kateten er.

Kaller vi hypotenusen c og katetene a og b, sier Pytagoras′ setning at c2 = a2 + b2.

Vi regner om slik at den ene kateten blir stående alene til venstre for likhetstegnet:

a2 = b2c2

Setter vi inn, får vi a2=132 − 122 = 25. Det vil si at $a=\sqrt{25} = 5$.

Den andre kateten er 5 cm.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

I en rettvinklet trekant med navn som i figuren under, er det oppgitt at  vinkelen v = 42° og d = 10, og vi skal finne lengdene til c og e.

Rettvinklet trekant som illustrerer oppgave

Vi har at cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen: $\cos v = {\large \frac{c}{d}}$.

Regner vi om slik at vi får c alene på venstre side av likhetstegnet, blir det

c = d · cos v.

Vi finner cos 42° ≈ 0,74 på en kalkulator eller i GeoGebra e.l., setter inn og får

c ≈ 10 · 0,74 = 7,4.

Vi har at sinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom motstående katet og hypotenusen:

$\sin v = {\large \frac{e}{d}}$.

Regner vi om slik at vi får e alene på venstre side av likhetstegnet, blir det

e = d · sin v.

Vi finner sin 42° ≈ 0,67, setter inn og får

e ≈ 10 · 0,67 = 6,7

Her kunne vi også brukt Pytagoras′ setning og fått

$e^2 = d^2 − c^2 \approx 10^2 − 7{,}4^2 = 45{,}24 \Rightarrow e \approx \sqrt{45{,}24 } \approx 6{,}7$

c er om lag 7,4 cm lang og e er om lag 6,7 cm lang.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

I trekanten under vet vi at sidelengdene a = 7 og c = 9, og skal bruke trigonometri til å finne vinkelen A.

Rettvinklet trekant som illustrerer oppgave

Vi vet at sinus til en vinkel er lik motstående katet over hypotenusen, så vi får at

$\sin A = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle c} = {\large \frac{7}{9}} \approx 0{,}78$.

A = sin−1 0,78 ≈ 51,3°.

Vi får da at A = sin−1 0,78 ≈ 51,3°.

Så skal vi kontrollere at vinkelsummen i trekanten er 180°, når vi vet at B er om lag 38,7°.

Vi får 90° + 38,7° + 51,3°= 180°.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal undersøk om sammenhengene

$\cos v = \sin(90^ \circ − v)$

$\tan v = \frac{\displaystyle \sin v}{\displaystyle \cos v}$

er riktige for vinklene 0, 30, 45, 60 og 90 grader, slik de er vist i tabellen under.

Liste over spesielle trigonometriske verdier

Vi ser at

$\cos 0^\circ = \sin(90^\circ − 0^\circ) = \sin 90^\circ = 1$

$\cos 30^\circ = \sin(90^\circ − 30^\circ) = \sin 60^\circ = {\large \frac{\sqrt 3}{2}}$

$\cos 45^\circ = \sin(90^\circ − 45^\circ) = \sin 45^\circ = {\large \frac{\sqrt 2}{2}}$

$\cos 60^\circ = \sin(90^\circ − 60^\circ) = \sin 30^\circ = {\large \frac{1}{2}}$

$\cos 90^\circ = \sin(90^\circ − 90^\circ) = \sin 0^\circ = 0$

${\large \frac{\sin 0^\circ}{\cos 0^\circ}}=  {\large \frac{0}{1}} = 0 = \tan 0^\circ$

${\large \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}}=  {\large \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt 3}{2}}} =  {\large \frac{1}{\sqrt 3}} = {\large \frac{\sqrt 3}{3}} = \tan 30^\circ$

${\large \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}}=  {\large \frac{\frac{\sqrt 2}{2}}{\frac{\sqrt 2}{2}}} =  1= \tan 45^\circ$

${\large \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}}=  {\large \frac{\frac{\sqrt 3}{2}}{\frac{1}{2}}} =  \sqrt 3 = \tan 60^\circ$

${\large \frac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ}}=  {\large \frac{1}{0}}$. Denne verdien er udefinert.

Alt stemmer med tabellen.

Tilbake til oppgaven

Vektorregning

Oppgave 1:

Vi har punktene G = (0, 4), L = (−2, 2), O = (2, 3) og R = (4, 4), og skal beregne koordinatene til vektorene $\vec{GL}$ og $\vec{OR}$.

Vi finner koordinatene til vektorer ved å trekke x– og y-koordinatene til startpunktet fra henholdsvis x– og y-koordinatene til sluttpunktet, så vi får

$\vec{GL} = [−2 − 0, 2 − 4] = [−2, −2]$

$\vec{OR} = [4 − 2, 4 − 3] = [2, 1]$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi har vektorene $\vec{a} = [−3, 2]$, $\vec{b} = [4, 2]$ og $\vec{c} = [−1, −3]$ og skal beregne

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Vi får

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = [−3 + 4 + (−1), 2 + 2 + (−3)] = [0, 1]$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal beregne $|\vec{b}|$ når $\vec{b} = [12, 5]$

Vi får

$|\vec{b}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi har vektorene $\vec{a} = [3,1]$ og $\vec{b} = [−2,3]$ og skal beregne

$2\vec{a} + 4 \vec{b}$

Vi får

$2\vec{a} + 4 \vec{b} = 2[3,1] + 4[−2,3] = [6,2] + [−8,12]=[−2,14]$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

 Vi skal beregne prikkproduktet til vektorene $\vec{a} = [4,2]$ og $\vec{b} = [−8,−4]$

Vi får

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (−8) + 2 \cdot (−4) = −40$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Vi skal beregne prikkproduktet av vektorene fra oppgave 5, $\vec{a} = [4,2]$ og $\vec{b} = [−8,−4]$ ved å benytte at vinkelen mellom vektorene er $180^\circ$.

Vi vet at

cos 180° = −1

og beregner

$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}$

og 

$|\vec{b}| = \sqrt{(−4)^2 + (−8)^2} = \sqrt{80}$

Så prikkproduktet blir

$\vec{a} \cdot \vec{b} =\sqrt{20} \cdot \sqrt{80} \cdot  (−1) = \sqrt{1600} \cdot(−1) = −40$

Som er det samme som vi fikk i oppgave 5.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 7:

Vi skal finne vinkelen mellom vektorene $\vec{a} = [2,−1]$ og $\vec{b} = [1,3]$.

Vi har at (I)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = 2\cdot 1 + (−1) \cdot 3 = −1$

Samtidig har vi at (II)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b} | \cos \theta = \sqrt{2^2 + (−1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 3^2} \cdot \cos \theta = \\
 \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos \theta = \sqrt{50} \cdot \cos \theta$

Setter vi sammen I og II, får vi

$−1 =\sqrt{50} \cos \theta\Rightarrow \cos \theta = {\large \frac{−1}{\sqrt{50}}}$

$\theta = \cos^{−1}{\Big({\large \frac{−1}{\sqrt{50}}}}\Big) \approx 98{,}13^\circ$

Dette er illustrert under.

Vinkel beregnet ved hjelp av prikkprodukt

Tilbake til oppgaven

Oppgave 8:

Vi skal beregne projeksjonen av $\vec{a} = [−3, 2]$ på $\vec{b} = [4, 1]$

Vi får

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = −3\cdot 4+ 2 \cdot 1 = −10$

og

$\vec{b} \cdot \vec{b} = b_x \cdot b_x + b_y \cdot b_y = 4 \cdot 4 + 1 \cdot 1 = 17$

$\vec{a_b} = {\large \frac{−10}{17}}[4,1] \approx[−2{,}35, −0{,}59]$

Dette er illustrert under.

Vektorprojeksjon

Tilbake til oppgaven

Polarkoordinater

Oppgave 1:

Vi skal angi punktet $(4,3)$ i polarkoordinater. Da setter vi x = 4 og y = 3 inn i $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ og $\theta = \tan^{−1}{\large \frac{y}{x}}$ og får:

$r = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

og

$\theta = \tan^{−1}{\large \frac{3}{4}} \approx 37^\circ$

Så punktet blir (5, 37°)

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal angi punktet (2, 60°) i kartesiske koordinater. Da setter vi r = 2 og θ = 60° inn i x = r · cos θ og y = r · sin θ og får:

$x = 2 \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot {\large \frac{1}{2}} = 1$

og

$y = 2 \cdot \sin60^\circ = 2 \cdot {\large \frac{\sqrt 3}{2}} = \sqrt3$

Så punktet blir $(1, \sqrt 3)$

Tilbake til oppgaven

Skjermfilmer, geometri

Tabellen under gir en oversikt over alle skjermfilmer det refereres til på nettstedet, under temaet «geometri».

Artikkel Beskrivelse  Skjermvideo
Trigonometri I en trekant der det er gitt to sidelengder og en vinkel beregner vi den tredje sidelengden ved hjelp av cosinussetningen, de to manglende vinklene ved hjelp av sinussetningen og trekantens areal ved hjelp av arealsetningen. trekantberegninger

Dynamisk geometri med GeoGebra

Dynamisk geometri går ut på at vi lager geometriske objekter i GeoGebra, og studerer hva som skjer med objektenes egenskaper når vi siden endrer på dem.

Et eksempel kan være at vi illustrerer Pytagoras setning ved å konstruere rektangler på sidene i en rettvinklet trekant, og ser at summen av arealene av rektanglene på katetene alltid er lik arealet av rektangelet på hypotenusen, selv om vi endrer sidelengdene. Men at dette ikke lenger er riktig hvis vi endrer vinklene slik at trekanten ikke lenger er rettvinklet. Dette eksemplet kan så gjøres mer avansert ved å utvide den til å ta hensyn til vinkelen og illustrere cosinussetningen. Hennig Bueies bok GeoGebra for lærere» (ISBN 978-82-15-01860-7) gir flere gode eksempler. I denne artikkelen skal vi detaljert vise hvordan vi kan illustrere at vinkelsummen i en trekant alltid er 180 grader.

Eksempel 1:

Vi skal konstruere en trekant, markere de tre vinklene i trekanten og følge med på hva som skjer med summen av disse vinklene når vi endrer formen på trekanten. Prosessen går i fire trinn:

  1. Vi lager en vilkårlig trekant. Det kan vi gjøre enten ved å sette trekanten sammen av linjer ved hjelp av «Linjestykke mellom to punkt» eller å sette inn en mangekant. Vi velger da «Mangekant» og klikker der trekantens hjørner skal være. Så klikker vi en gang til i trekantens første punkt. Det tolker GeoGebra som at mangekanten er komplett. Denne metoden har vi brukt i figuren under. Vi har valgt «Mangekant», klikket i A, B, C og så i A igjen. GeoGebra har opprettet en trekant med hjørner ABC og sider a, b, c:
    Trekant som skal brukes til å studere vinkelsummer. Grunnkonstruksjon.
  2. Vi setter inn vinkelmål. Vi velger da «Vinkel» og klikker parvis på de sidene vi skal opprette en vinkel mellom. a og c, b og a, c og b. Legg merke til at vinkelen alltid tegnes mot klokka, derfor er rekkefølgen på de to linjene viktig. Hadde vi for eksempel valgt c før a i stedet for omvendt, ville vinkelen på utsiden av trekanten blitt markert. GeoGebra navner vinklene α, β, γ.
    Trekant som skal brukes til å studere vinkelsummer. Vinkler markert
  3. Vi oppretter en variabel med summen av de tre vinklene. I inntastingsfeltet skriver vi α + β + γ. GeoGebra oppretter en variabel, δ, som er summen av de tre vinklene. Denne vises i algebrafeltet.
    Nå kan vi jo ikke skrive de greske bokstavene direkte, så vi henter dem derfor fra symbolmenyen som kommer opp til høyre når vi klikker på α-symbolet til høyre inntastingsfeltet, slik det er vist i bildet under:
    Meny for å sette inn symboler i GeoGebra
    Alternativt kan vi navne om vinklene til navn med latinske bokstaver, for eksempel alfa, beta, og gamma.
     
  4. Vi gjør variabelen mer synlig ved å plassere den i grafikkfeltet, gjerne med en ledetekst. Vi velger da «Tekst», klikker der vi vil ha teksten i grafikkfeltet, og fyller ut tekstboksen som kommer opp. Her har vi skrevet «Vinkelsum: » og hentet inn δ fra «Objekt»-menyen. Alle objekter som vises i algebrafeltet er tilgjengelige fra denne menyen.
    Meny for å sette inn tekst i GeoGebra

Den ferdige trekanten ser slik ut:

Trekant som skal brukes til å studere vinkelsummer. Ferdig versjon.

Hvis vi klikker på pila øverst til venstre i verktøylinja, kan vi endre form på trekanten ved å ta tak i A, B eller C og dra punktet rundt. Vi ser at vinkelsummen holder seg konstant på 1800, selv om de andre vinklene varierer.

GeoGebra-filÅpne GeoGebra-fil med ferdig konstruksjon

Vi nevner til slutt at hvis vi vil markere hvordan et objekt flytter seg, kan vi slå på sporing ved å høyreklikke på objektet og velge «Slå på sporing». Spor vi har laget blir stående selv om vi slår videre sporing av. For å fjerne spor, velger vi «Vis» – «Forny og fjern ev. spor».

Oppgave 1:

Lag en vilkårlig trekant som i eksempel 1, og bruk den til å illustrere sinussetningen, det vil si at forholdet mellom en sinus til en vinkel i en trekant og lengden på den motstående siden er likt for alle vinkler og sider i en trekant.

Se løsningsforslag

Kilder

Vektorer og avbildninger i GeoGebra

Vektorer

Vi kan sette inn vektorer i GeoGebra på forskjellige måter. Den ene er å velge «Vektor» eller «Vektor fra punkt» fra menyen:

Meny for å sette inn vektorer i GeoGebra

«Vektor» gir en frittstående vektor, med start- og sluttpunkt der vi klikker i grafikkfeltet. 

«Vektor fra punkt» gir en kopi av en vektor. Vi klikker da først på punktet der vi vil at vektoren skal starte, deretter på vektoren vi vil ha kopi av. Kopien er dynamisk, endrer vi på den opprinnelige vektoren, endrer kopien seg.

I bildet under har vi valgt «Vektor» og deretter klikket på (2, 2) og (5, 2). GeoGebra har opprettet punktene A=(2, 2) og B=(5, 2), og strukket vektoren u mellom dem. Vi har så klikket på (−3, 2) og (−1, 5). GeoGebra har opprettet punktene C=(−3, 2) og D=(−1, 5), og strukket vektoren v mellom dem. Til slutt har vi valgt «Vektor fra punkt», klikket på punktet A, deretter på vektoren v. GeoGebra har opprettet vektoren w, som starter i A og er en kopi av v, med sluttpunkt kalt A′. Endrer vi på v, vil w endre seg tilsvarende. 

Frittstående vektor og vektor fra punkt

Vi ser at GeoGebra navner punkter med stor bokstav, fra A og oppover, og vektorer med liten bokstav, fra u og oppover.

Vektorenes koordinater vises mellom parenteser i algebrafeltet. x-koordinaten øverst, y-koordinaten underst.

Ønsker vi bare å se vektorene og ikke punktene de går mellom, kan vi klikke på «Punkt» i algebrafeltet, høyreklikke og fjerne avmerkingen for «Vis objekt».

Meny for å skru av og på visning i GeoGebra

Da ser grafikkfeltet slik ut:

Frittstående vektor og vektor fra punkt. Punkter skjult

Vi kan også sette inn vektorer ved å skrive i inntastingsfeltet. Hvis vi ikke angir noe annet, eller navngir med stor bokstav, tolker GeoGebra en koordinat som et punkt. Navngir vi med liten bokstav, derimot, tolker GeoGebra koordinatene som en vektor som starter i origo. For å overstyre disse reglene, kan vi bruke kommandoene punkt og vektor. Kommandoen vektor kan ha én eller to koordinater. Én koordinat tolkes som et sluttpunkt for en vektor som starter i origo. To koordinater tolkes som start- og sluttpunktet til en vektor.

I bildet under har vi skrevet (3, 2), og GeoGebra har satt inn punktet A = (3, 2). Vi har så skrevet u=(3, -2), og GeoGebra har satt inn vektoren u med startpunkt i origo og sluttpunkt i (3, −2). Deretter har vi skrevet vektor((-1, 2), (2, 3)), og GeoGebra har satt inn vektoren v mellom (−1, 2) og (2, 3). Til slutt har vi skrevet P=vektor((-2, 2), (1, 1)), og GeoGebra har satt inn vektoren P mellom (−2, 2) og (1, 1).

Vi ser at GeoGebra ikke oppretter egne start- og sluttpunkter når vi setter inn en vektor ved hjelp av inntastingsfeltet, slik som når vi setter inn ved å klikke i grafikkfeltet.

 Vektorer satt inn fra kommandovinduet

Vektorregning

GeoGebra kan addere og subtrahere vektorer, beregne en vektors lengde og beregne to vektorers prikkprodukt.

For å addere to vektorer, skriver vi navnet på vektorene med plusstegn mellom i inntastingsfeltet, med minustegn mellom for å subtrahere og med gangetegn mellom for å beregne prikkproduktet. Prikkproduktet kan også beregnes ved hjelp av kommandoen skalarprodukt.

Lengden til en vektor kan beregnes ved å sette absoluttverditegn rundt vektornavnet i inntastingsfeltet, eller ved å bruke kommandoen lengde eller abs.

I bildet under har vi satt inn vektorene u og v og så skrevet u + v i inntastingsfeltet. GeoGebra har satt inn vektoren w, som er summen av u og v. For å tydeliggjøre har vi så endret fargen til grønn. Deretter har vi skrevet u – w. GeoGebra har satt inn vektoren a, som er differansen av u og v. For å tydeliggjøre har vi så endret fargen til oransje.

Vi har så beregnet lengden til u ved å skrive |u| og prikkproduktet av u og v ved å skrive u * v. Dette er skalarer som ikke kan vises i grafikkvinduet, men verdiene vises i algebravinduet. Her er b = |u| og c = u · v. Det er ikke lett å se, men holder vi musepekeren over tallene, viser GeoGebra formelen som er brukt for å lage dem.

Lengde og prikkprodukt av vektorer

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å sette inn vektoren $\vec a$ med startpunkt i (0, 0) og sluttpunkt i (4, 3) og vektoren $\vec b$ med startpunkt i (4, 3) og sluttpunkt i (6, −1).

Beregn så vektorene $\vec s = \vec a + \vec b$ og $\vec d = \vec a − \vec b$, lengden $| \vec a |$ og prikkproduktet $\vec a \cdot \vec b$

Resultatet skal se noe slikt ut:

Sum, differanse, lengde og prikkprodukt av vektorer

Se løsningsforslag

Kongruensavbildninger

GeoGebra har en rikholdig meny for avbildninger i planet:

Meny for kongruensavbildinger i GeoGebra

Vi kan avbilde punkter, linjer eller hele objekter.

«Speil objekt om en linje» speile et objekt om en vilkårlig linje. Vi klikker da først på objektet vi vil speile, deretter på linja vi vil speile om. Det lages da et speilbilde av objektet, der hvert punkt speiles på normalen fra punktet til linja.

I bildet under har vi speilet firkanten ABCD om linja y = 2x + 1.

Speiling av objekt om linje

«Speil objekt om et punkt » minner om «Speil objekt om en linje», men i stedet for å speile på normaler, speiles det på linjene gjennom speilingspunktet. Vi klikker da først på objektet vi vil speile, deretter på punktet vi vil speile om.

I bildet under har vi speilet firkanten ABCD om punktet E = (1, 3).

Speiling av objekt om punkt

«Reflekter om sirkel» gir, som navnet sier en speiling om en sirkellinje. Her er speilingen avhengig av vinkelen fra objektet til sirkelsentrum danner med sirkelen. Resultatet er et fortegnet objekt, slik det er vist i bildet under, der vi har speilet firkanten ABCD om en sirkel med sentrum i (−1, 3) og radius 2.

Speiling av objekt om sirkel

Vi kan også angi speilinger ved å skrive i inntastingsfeltet. Vi bruker da kommandoen speil, etterfulgt av navnet på objektet vi vil speile og objektet vi vil speile om, i parentes, atskilt med komma. For eksempel vil speil(a, b) speile objektet a om objektet b. Objektet vi speiler om trenger ikke være opprettet fra før, vi kan i stedet angi objektets egenskaper direkte når vi skriver. For eksempel vil speil(a,(2, 3)) speile objektet a om punktet (2, 3).

«Roter om punkt med fast vinkel» roterer om et vilkårlig punkt. Vi klikker da først på objektet vi vil rotere, deretter på punktet vi vil rotere om, så oppgir vi vinkelen vi vil rotere om i dialogboksen som kommer opp.

I bildet under har vi rotert firkanten ABCD 60 grader om punktet F = (1, 4).

Rotering av objekt om punkt

Rotasjon kan også gjøres ved å skrive kommandoen roter i inntastingsfeltet.

«Flytt objekt med vektor» forskyver alle x– og y-koordinater i et punkt med x– og y-koordinatene til en vektor. Vi klikker først på objektet vi vil flytte, deretter på vektoren som spesifiserer hvor mye vi skal flytte. 

I bildet under har vi flyttet firkanten ABCD som angitt ved vektoren u = [−3, 3].

Flytting av objekt parallelt med vektor

Flytting kan også gjøres ved å skrive kommandoen flytt i inntastingsfeltet.

«Forstørr objekt fra punkt» gir ikke en kongruensavbildning, men en skalering basert på at avstanden fra objektet til punktet multipliseres med en skalar. Vi klikker da først på objektet vi vil forstørre, deretter på punktet vi vil basere forstørrelsen på, så oppgir vi faktoren vi vil forstørre med i dialogboksen som kommer opp. «Forstørre» er litt misvisende, for vi kan også forminske ved å skalere med en faktor mindre enn 1.

I bildet under har vi forstørret firkanten ABCD med en faktor 2, basert på punktet H = (1, 2).

Skalering av objekt basert på et punkt

Forstørring kan også gjøres ved å skrive kommandoen forstørr i inntastingsfeltet.

Oppgave 2:

Bruk GeoGebra til å lage en trekant med hjørner i (3, 2), (6, 2) og (4, 4) og flytt trekanten −2 enheter i x-retning og 3 enheter i y-retning. Roter deretter den flyttede trekanten 60 grader om punktet (0, 4).

Resultatet skal være om lag som vist under, her har vi skjult hjelpeobjekter vi har brukt.

Sammensatte avbildninger

Se løsningsforslag

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget

Fraktaler

Geometriske objekter kan ha forskjellige dimensjoner. Et punkt har dimensjon 0, ei linje dimensjon 1, et polygon dimensjon 2 og et polyeder dimensjon 3. Imidlertid finnes det objekter som har dimensjoner som ikke er hele tall. De kalles fraktaler, avledet av det latinske ordet fractus, som betyr brutt.

Et fraktal er en figur som inneholder kopier av seg selv. Det betyr at kopiene inneholder kopier av kopiene, kopiene av kopiene inneholder kopier av kopiene av kopiene, og slik fortsetter det i all evighet, omtrent som et bilde som reflekteres fram og tilbake mellom to speil.

Et eksempel er Sierpińskis trekant, der en stor trekant er delt opp i tre mindre trekanter, som igjen er delt opp i tre mindre trekanter, og så videre, slik som vist under. I praksis er det jo begrenset hvor små trekanter vi kan tegne, men teoretisk fortsetter denne oppdelingen i det uendelige. Sierpińskis trekant har en dimensjon på om lag 1,585.

Et annet eksempel er Kochs snøflak, som baserer seg på en likesidet trekant der den midterste tredjedelen av hver side blir erstattet med to linjer som hver har samme lengde som linjen som er tatt bort. Den midterste tredjedelen av sidene i den nye figuren blir så erstattet på samme måte, og prosessen gjentar seg i all evighet. Kochs snøflak har en dimensjon på om lag 1,262. Arealet inni snøflaket er 8/5 av arealet til den opprinnelige trekanten, men omkretsen er uendelig lang. Vi kan altså teoretisk fargelegge snøflaket inni, men aldri tegne en linje rundt det.

De fire første trinnene i genereringen av Kochs snøflak er vist under.

Å tegne fraktaler er en morsom øvelse, der en kan ta utgangspunkt i en enkel figur, og så tegne repeterende mønstre. Se for eksempel Sierpinski Triangle, Koch Snowflake, Dragon Curve og Hilbert Curve.

Fraktaler finnes også i naturen, et tydelig eksempel er grønnsaken romanesco:

Fraktaler i grønnsaken romanesco

Kilder

  • Devaney, R.L. (1990). Chaos, Fractals, and Dynamics. Addison-Wesley.

Polarkoordinater

I funksjons-artikkelen om representasjonsformer diskuterte vi det rettvinklede, kartesiske koordinatsystemet som er det vi bruker til vanlig. 

I en del sammenhenger kan det imidlertid være praktisk å bruke et annet koordinatsystem, polarkoordinater. I stedet for å angi et punkts x– og y-koordinater angir vi da punktets avstand fra origo, og vinkelen linja fra origo danner med x-aksen. Det er vanlig å bruke bokstavene r og θ (gresk theta) til dette. Dette er illustrert i bildet under, for punktet, A, med kartesiske koordinater (4, 3):

Illustrasjon av polarkoordinater

Vi ser at r utgjør hypotenusen og x og y katetene i en rettvinklet trekant. Videre er x motstående, og y hosliggende katet til vinkelen θ. Ved hjelp av de trigonometriske likningene for rettvinklede trekanter som vi lærte i artikkelen om trigonometri, og Pytagoras, ser vi at det er følgende sammenheng mellom kartesiske koordinater og polarkoordinater:

$\fbox{$x = r \cdot \cos \theta$}$

$\fbox{$y = r \cdot \sin \theta$}$

$\fbox{$r = \sqrt{x^2 + y^2}$}$

$\fbox{$\theta = \tan^{-1}\large \frac{y}{x}$}$

Oppgave 1:

Angi punktet med kartesiske koordinater (4,3) i polarkoordinater.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Angi punktet med polarkoordinater (2, 60°) i kartesiske koordinater. Bruk eksakte verdier for sinus og cosinus. (Se artikkelen om trigonometri).

Se løsningsforslag

For å ikke gjøre det for innviklet, har vi brukt grader som vinkelmål. Imidlertid brukes nesten alltid radianer når vi regner med polarkoordinater.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Vektorregning

Hva er en vektor?

Enkelt sagt er vektorer linjestykker med retning. Retningen angis gjerne ved piler, slik som illustrert under.

Illustrasjon av vektorer

For å motivere bruken av vektorer kan vi tenke oss en mann som prøver å flytte en stein ved å dra i et tau:

Tolkning av vektor som kraft gjennom et tau på en stein

Hvordan steinen vil bevege seg, avhenger både av hvilken retning mannen drar, og med hvilken kraft han drar. Vektorer er supre til å illustrere slike situasjoner. Vi lar retningen vektoren peker i symbolisere retningen mannen drar i, og lengden på vektoren symbolisere kraften han drar med.

Illustrasjon 1 av kraft som en vektor Illustrasjon 2 av kraft som en vektor Illustrasjon 3 av kraft som en vektor
Drar på skrå opp Drar mot høyre Drar kraftigere mot høyre

Vektorer tegner vi gjerne inn i et koordinatsystem, som vist under.

Vektorer vist i et koordinatsystem

Vi kan navngi en vektor ved å angi endepunktene med en pil over. For eksempel vektorene $\vec{AB}$, $\vec{CD}$ og $\vec{EF}$ som er vist over. Vi kan også gi vektorene et eget navn, gjerne med liten bokstav, for eksempel $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{c}$. Noen bøker bruker vektornavn uten pil, men med fet skrift, for eksempel a, b og c. Her kommer vi imidlertid til å konsekvent markere at noe er en vektor ved å sette pil over navnet.

En vektor har koordinater som beskriver hvordan vi forflytter oss når vi beveger oss langs vektoren. Så lenge vi holder oss i planet, vil en slik forflytning skje i x– og/eller y-retning.

Vi holder oss her til å studere vektorer i planet, men prinsippene kan enkelt utvides til å gjelde i flere dimensjoner.

Vektorkoordinater

Koordinatene til en vektor finner vi ved å ta sluttpunktets koordinater og subtrahere startpunktets koordinater.

Eksempel 1:

I figuren over har vi punktene A = (4, 1), B = (2, 1), C = (1, 3), D = (3, 2), E = (−1, 1) og F = (1,0). Vi har derfor at

$\vec{AB} = [2 − 4, 1 −1] = [−2, 0]$

$\vec{CD} = [3 − 1, 2 −3] = [2, −1]$

$\vec{EF} = [1 − (−1), 0 −1] = [2, −1]$

Vi ser at koordinatene til vektorer angis mellom klammeparenteser.

Koordinatene til en vektor er uavhengige av hvor den befinner seg i koordinatsystemet. I figuren over har vi for eksempel at $\vec{CD} = \vec{EF} = [2, −1]$. Det betyr at $\vec{CD}$ og $\vec{EF}$ er samme vektor. Koordinatene [2, −1] betyr at når vi beveger oss langs vektoren, går vi 2 enheter i positiv retning langs x-aksen og 1 enhet i negativ retning langs y-aksen. I tilfellet $\vec{CD}$ går vi fra (1,3) til (3, 2), og i tilfellet $\vec{CD}$ går vi fra (−1, 1) til (1, 0).

Oppgave 1:

Vi har punktene G = (0, 4), L = (−2, 2), O = (2, 3) og R = (4, 4). Beregn koordinatene til vektorene $\vec{GL}$ og $\vec{OR}$.

Se løsningsforslag

Addere vektorer

Vi adderer to vektorer ved å addere koordinatene.

$\fbox{$\vec{a} + \vec{b} = [a_x + b_x, \; a_y + b_y]$}$

Eksempel 2:

Vi har vektorene $\vec{a} = [2, −3]$ og $\vec{b} = [2, 1]$, som vist under.

Addisjon av vektorer 1

Vi får

$\vec{a}+ \vec{b} = [2 + 2, −3 + 1] = [4, −2]$

Dette tilsvarer vektoren som går fra starten av $\vec{a}$ til slutten av $\vec{b}$ hvis vi plasserer $\vec{b}$ etter $\vec{a}$:

Addisjon av vektorer 2

Vektoraddisjon er kommutativ, det vil si at rekkefølgen vi adderer vektorene i, er uten betydning. For to vilkårlige vektorer, $\vec{a}$ og $\vec{b}$, vil altså

$\fbox{$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$}$

Eksempel 3:

Vi adderer vektorene $\vec{a} = [2, −3]$ og $\vec{b} = [2, 1]$ fra eksempel 2 i omvendt rekkefølge.

Vi får $\vec{b}+ \vec{a} = [2 + 2, 1 + (−3)] = [4, −2]$. Som er det samme som vi fikk i eksempel 2.

Dette tilsvarer vektoren som går fra starten av $\vec{b}$ til slutten av $\vec{a}$ hvis vi plasserer $\vec{a}$ etter $\vec{b}$

Addisjon av vektorer 3

Vektoren er ikke plassert på samme sted i koordinatsystemet som i eksempel 2, men det har ingen betydning. Det er samme vektor, som går 4 enheter i positiv retning langs x-aksen og 2 enheter i negativ retning langs y-aksen.

Addisjon av vektorer kan vi illustrere med to menn som prøver å flytte en stein ved å dra i hvert sitt tau. Retningen og kraften av draget på steinen blir summen av vektorene som representerer draget fra hver mann, markert med grønt:

Tolkning av vektorsum som sum av krefter gjennom to tau.

Vektoraddisjon er assosiativ, det vil si at hvis vi adderer mer enn to vektorer, spiller det ingen rolle hvilken rekkefølge vi adderer i. For tre vilkårlige vektorer, $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{c}$, vil altså

$\fbox{$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c} ) = ( \vec{a} + \vec{b} ) + \vec{c}$}$

I praksis adderer vi alle koordinatene i samme operasjon.

Eksempel 4:

Vi har vektorene $\vec{a} = [1, 3]$, $\vec{b} = [−2, 4]$ og $\vec{c} = [2, 1]$, og skal beregne

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Vi får 

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = [1 + (−2) + 2, 3 + 4 +1] = [1, 8]$

Oppgave 2:

Vi har vektorene $\vec{a} = [−3, 2]$, $\vec{b} = [4, 2]$ og $\vec{c} = [−1, −3]$.

Beregn

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Se løsningsforslag

Subtrahere vektorer

Vi subtraherer to vektorer ved å subtrahere koordinatene.

$\fbox{$\vec{a} − \vec{b} = [a_x − b_x, \; a_y − b_y]$}$

Eksempel 5:

Vi har vektorene $\vec{a} = [2, 4]$ og $\vec{b} = [3, 1]$, og skal beregne $\vec{a} − \vec{b}

Vi får

$\vec{a}− \vec{b} = [2 − 3, 4 − 1] = [−1, 3]$.

Dette vil være vektoren vi må legge til $\vec{b}$ for å få $\vec{a}$:

Subtraksjon av vektorer 1

Vektorsubtraksjon er ikke kommutativ, men antikommutativ. Det vil si at hvis vi bytter om rekkefølgen på vektorene, bytter koordinatene i resultatet fortegn, slik at vektoren peker motsatt vei.

Eksempel 6:

Vi har vektorene $\vec{a} = [2, 4]$ og $\vec{b} = [3, 1]$, som i eksempel 5, og skal beregne $\vec{b} − \vec{a}$

Vi får

$\vec{b} − \vec{a} = [3 − 2, 1 − 4] = [1, −3]$, som er resultatet fra eksempel 5 med omvendt fortegn.

Dette vil være vektoren vi må legge til $\vec{a}$ for å få $\vec{b}$:

Subtraksjon av vektorer 2

Additiv invers

For en vilkårlig vektor, $\vec{a}$, finnes det en invers vektor $\vec{−a}$, som er slik at $\vec{a} + (\vec{−a}) = \vec{0}$. Inverse vektorer har samme lengde, men peker i motsatt retning, slik som de grønne vektorene i henholdsvis eksempel 5 og 6. En vektors invers finner vi ved å skifte fortegn på koordinatene.

Vektoren $\vec{0}$ kalles en nullvektor og har ingen lengde.

Eksempel 7:

Vektorene $\vec{a} = [1, −3]$ og $\vec{−a} = [−3, 1]$ er additive inverser fordi

$\vec{a} +(\vec{−a}) = [1 + (−1), −3 +3] = [0, 0] = \vec{0}$

Lengden til en vektor

Lengden til en vektor er avstanden fra start- til sluttpunktet. På bildet under ser vi at en vektor i planet danner hypotenusen i en rettvinklet trekant, der katetene består av vektorens x– og y-koordinater.

Beregning av lengde av vektor

Pytagoras′ setning gir oss derfor at lengden til en vektor i planet med koordinater $[x, y]$ blir $\sqrt{x^2 + y^2}$.

Eksempel 8:

Vi skal finne lengden til vektoren $\vec {a} = [3, 4]$

Vi får

$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Lengden til en vektor angis med absoluttverditegn. I eksempel 8 har vi for eksempel at $|\vec {a}| = 5$. Vi har altså at

$\fbox{$|\vec{a}| = \sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2}$}$

Det er ikke tilfeldig at vi bruker absoluttverditegn. Absoluttverdien til et vanlig, reelt tall forteller hvor langt tallet ligger fra 0, uavhengig av om det er positivt eller negativt. Plasserer vi en vektor med startpunktet i origo, forteller lengden hvor langt endepunktet er fra origo, uavhengig av hvilken vei vektoren peker. Lengden til en vektor er altså en utvidelse av absoluttverdibegrepet.

Oppgave 3:

Beregn $|\vec{b}|$ når $\vec{b} = [12, 5]$

Se løsningsforslag

At to vektorer har samme lengde, betyr ikke at de er like. For at to vektorer skal være like, må de i tillegg til å være like lange også peke i samme retning.

I bildet under er for eksempel $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$, men bare $\vec{a} = \vec{c}$

Vektorer med samme lengde

Multiplisere vektor med skalar

Vi multipliserer en vektor med en skalar, altså et vanlig, reelt tall, ved å multiplisere koordinatene med tallet.

$\fbox{$k \vec{a} = [ka_x, \; ka_y]$}$

Lengden på vektoren skaleres da med tallet vi multipliserer med. Multipliserer vi med et negativt tall, skifter i tillegg vektoren retning.

Eksempel 9:

Vi har vektoren $\vec{a} = [1, 2]$. Da er

$2\vec{a} = [2 \cdot 1, 2 \cdot 2] = [2, 4]$

$\frac{1}{2}\vec{a} = [\frac{1}{2} \cdot 1, \frac{1}{2} \cdot 2] = [\frac{1}{2} , 1]$

$−\vec{a} = [−1 \cdot 1, −1 \cdot 2] = [−1, −2]$

$−2\vec{a} = [−2 \cdot 1, −2 \cdot 2] = [−2, −4]$

Dette er illustrert under.

Skalering av vektorer

Oppgave 4:

Gitt vektorene $\vec{a} = [3,1]$ og $\vec{b} = [−2,3]$

Beregn $2\vec{a} + 4 \vec{b}$

Se løsningsforslag

Multiplikasjon med skalar er distributiv under vektoraddisjon. Det vil si at vi for to vilkårlige vektorer, $\vec{a}$ og $\vec{b}$, og et vilkårlig, reelt tall, k, vil ha at

$\fbox{$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$}$

Vi får altså samme resultat hvis vi multipliserer skalaren med summen av vektorene, som når vi multipliserer skalaren med hver av vektorene og deretter summerer.

Multiplikasjon med skalar er også distributiv under skalaraddisjon. Det vil si at vi for en vilkårlig vektor, $\vec{a}$, og to vilkårlige, reelle tall k og l, vil ha at

$\fbox{$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$}$

Vi får altså samme resultat hvis vi multipliserer summen av skalarene med vektoren, som når vi multipliserer hver av skalarene med vektoren og deretter summerer.

Mens vi for vanlig tallregning bare trenger én distributiv lov, trenger vi altså to for vektorregning. Én for distribusjon av vektorer og én for distribusjon av skalarer.

Skalarmultiplikasjon er assosiativ, så for en vilkårlig vektor, $\vec{a}$, og to vilkårlige, reelle tall, $k$ og $l$, vil ha at

$\fbox{$ k(l\vec{a}) = (k l)\vec{a}$}$

Vi får altså samme resultat hvis vi multipliserer den ene skalaren med vektoren først og deretter med den andre skalaren, som når vi multipliserer skalarene først og deretter med vektoren.

Multiplisere vektorer

Vi har sett hvordan vi kan addere og subtrahere vektorer, og vi kan også multiplisere vektorer.

For vektorer er det definert to produkter.

Kryssprodukt

Den ene typen produkt er kryssproduktet. Kryssproduktet av to vektorer er en ny vektor som står vinkelrett på begge de opprinnelige vektorene og har lengde lik produktet av lengdene til de opprinnelige vektorene multiplisert med sinus til vinkelen mellom dem.

Kryssproduktet til to vektorer, $\vec{a}$ og $\vec{b}$, skriver vi som $\vec{a} \times \vec{b}$.

Siden kryssproduktet er en vektor, kalles kryssproduktet ofte også vektorproduktet.

For at en vektor skal kunne stå normalt på to andre, vilkårlige vektorer, må vi bevege oss ut av planet, slik det er illustrert under for $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$.

Illustrasjon av kryssprodukt

Kryssproduktet er antikommutativt, det vil si at

$\fbox{$\vec {a} \times \vec {b} = −(\vec {b} \times \vec {a})$}$

Bytter vi om faktorene, bytter kryssproduktet retning.

Kryssproduktet er ikke assosiativt, det vil si at generelt er

$\fbox{$\vec {a} \times (\vec {b} \times \vec {c}) \not = (\vec {a} \times \vec {b}) \times \vec {c}$}$

Kryssproduktet er et effektivt verktøy til å beregne areal og volum av romlegemer. Siden vi imidlertid i denne artikkelen holder oss til vektorer i planet, går vi ikke nærmere inn på kryssproduktet.

Prikkprodukt

Den andre typen produkt er prikkproduktet. Prikkproduktet til to vektorer i planet finner vi ved å multiplisere den ene vektorenes x-koordinat med den andres, og den ene vektorenes y-koordinat med den andres, og så summere produktene.

$\fbox{$\vec {a} \cdot \vec {b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y$}$

Prikkproduktet er altså en skalar, og kalles derfor ofte også skalarproduktet. Vi holder oss imidlertid til navnet prikkprodukt for å unngå forveksling med skalarmultiplikasjon.

Eksempel 10:

Vi skal beregne prikkproduktet til vektorene $\vec{a} = [4,−1]$ og $\vec{b} = [5,3]$

Vi får

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 + (−1) \cdot 3 = 17$

Oppgave 5:

 Beregn prikkproduktet til vektorene $\vec{a} = [4,2]$ og $\vec{b} = [−8,−4]$

Se løsningsforslag

Prikkproduktet er kommutativt. Det vil si at rekkefølgen vi multipliserer vektorene i, er uten betydning. For to vilkårlige vektorer, $\vec{a}$ og $\vec{b}$, har vi altså at

$\fbox{$\vec {a} \cdot \vec {b} = \vec {b} \cdot \vec {a}$}$

Siden prikkproduktet av to vektorer ikke er en vektor, men en skalar, gir det ingen mening å snakke om noen assosiativ lov for prikkproduktet. Men den distributive lov gjelder:

$\fbox{$(\vec {a} + \vec {b}) \cdot \vec {c} = \vec {a} \cdot \vec {c} + \vec {b} \cdot \vec {c} $}$

En annen måte å beregne prikkproduktet til to vektorer i planet på er å multiplisere lengdene til vektorene med cosinus til vinkelen mellom dem.

Kaller vi vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ for θ, har vi altså at

$\fbox{$\vec {a} \cdot \vec {b} = |\vec {a}| \cdot |\vec {b} | \cos \theta$}$

Eksempel 11:

Vi skal beregne prikkproduktet til vektorene $\vec{a} = [4,−1]$ og $\vec{b} = [5,3]$ fra eksempel 10 ved å benytte formelen over når vi vet at vinkelen mellom vektorene er 45°.

Vi vet at

$\cos 45^\circ = {\large \frac{\sqrt 2}{2}}$

og beregner

$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (−1)^2} = \sqrt{17}$

og

$|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$

Så prikkproduktet blir

$\vec {a} \cdot \vec {b} =\sqrt{17} \cdot \sqrt{34} \cdot {\large \frac{\sqrt 2}{2}} = \sqrt{17} \cdot (\sqrt{17} \cdot \sqrt 2) \cdot {\large \frac{\sqrt 2}{2}} =$

$\sqrt{17} \cdot \sqrt{17} \cdot {\large \frac{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2}{2}} = 17 \cdot {\large \frac{2}{2}} = 17$

Som er det samme vi fikk i eksempel 10.

Utregningen i eksempel 11 er jo mye mer innviklet enn den i eksempel 10, og det er jo sjelden at vi har et eksakt uttrykk for cosinus til en vinkel, så det kan ved første øyekast se ut til at vi bare har oppnådd å komplisere noe enkelt, men denne måten å beregne prikkproduktet på er svært nyttig i mange sammenhenger.

Oppgave 6:

Benytt metoden fra eksempel 11 til å beregne prikkproduktet av vektorene fra oppgave 5, $\vec{a} = [4,2]$ og $\vec{b} = [−8,−4]$, når du vet at vinkelen mellom vektorene er 180°.

Svaret skal bli det samme som i oppgave 5.

Se løsningsforslag

Ved å kombinere de to metodene, kan vi finne vinkelen mellom to vektorer.

Eksempel 12:

Vi skal finne vinkelen mellom vektorene $\vec{a} = [2,1]$ og $\vec{b} = [2,3]$

Vi har at (I)

$\vec {a} \cdot \vec {b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = 2\cdot 2 + 1 \cdot 3 = 7$

Samtidig har vi at (II)

$\vec {a} \cdot \vec {b} = |\vec {a}| \cdot |\vec {b} | \cos \theta = \sqrt{2^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + 3^2} \cdot \cos \theta =$

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{13} \cdot \cos \theta = \sqrt{65} \cdot \cos \theta$

Setter vi sammen (I) og (II), får vi

$7 =\sqrt{65} \cos \theta\Rightarrow \cos \theta = {\large \frac{7}{\sqrt{65}}}$

$\theta = \cos^{−1}{\Big( {\large \frac{7}{\sqrt{65}}}}\Big) \approx 29{,}74^\circ$

Det er slik at for alle vinkler, v, er cos v = cos( −v).

Regner vi modulo 360°, får vi

cos( −v) = cos(−v + 360) = cos(360 −v)

Så det betyr at 

θ ≈ 360 − 29,74° = 330,26°

også er en løsning i eksempel 12.

Dette er illustrert i figuren under:

Vinkelen mellom to vektorer målt på to måter.

Vi ser at vi får om lag 29,74° hvis vi måler fra $\vec {a}$ til $\vec {b}$, men om lag 330,26° hvis vi måler fra $\vec {b}$ til $\vec {a}$.

Når vi beregner vinkelen mellom vektorer, er det imidlertid naturlig å velge den minste vinkelen, som også er den vi får når vi beregner cos−1 θ på kalkulator eller datamaskin.

Oppgave 7:

Finn vinkelen (den minste) mellom vektorene $\vec{a} = [2,−1]$ og $\vec{b} = [1,3]$

Se løsningsforslag

Projisere vektorer

Vi nedfeller en normal fra enden av en vektor $\vec {a}$ på en vektor $\vec {b}$. Normalen vil da avgrense en ny vektor langs $\vec {b}$, som vi kaller projeksjonen av $\vec {a}$ på $\vec {b}$, og skriver som $\vec {a_b}$. Dette er illustrert under:

Vektorprojeksjon 1

Denne vektoren vil være gitt som

$\fbox{$\vec{a_b} = \Big(\frac{\displaystyle \vec a \cdot \vec b}{\displaystyle \vec b \cdot \vec b}\Big)\vec b$}$

Det som står inni parentesen, er to prikkprodukter, som vi vet er skalarer. Projeksjonen skalerer altså $\vec {b}$, det vil si at den endrer lengden til vektoren $\vec {b}$. Skalering med et tall større enn 1 gjør vektoren lengre, skalering med et tall mellom 0 og 1 gjør vektoren kortere. Skalering med et negativt tall endrer også retning på vektoren.

Eksempel 13:

Vi skal beregne projeksjonen av $\vec a = [2, 4]$ på $\vec b = [6, 2]$, slik det er illustrert i figuren over.

Vi får

$\vec {a} \cdot \vec {b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = 2\cdot 6 + 4 \cdot 2 = 20$

og

$\vec {b} \cdot \vec {b} = b_x \cdot b_x + b_y \cdot b_y = 2\cdot 2 + 6 \cdot 6 = 40$

$\vec{a_b} = \Big({\large \frac{20}{40}}\Big)[6,2] = [3,1]$

Beregner vi prikkproduktet i nevneren i formelen, får vi

$\vec b \cdot \vec b = b_x \cdot b_x + b_y \cdot b_y = (b_x)^2 + (b_y)^2$

Som er det samme som

$\Big(\sqrt{(b_x)^2 + (b_y)^2} \, \Big)^2 = \Big |\vec b|^2$

Vi dividerer altså med kvadratet av lengden til $\vec {b}$. Projeksjonen er derved uavhengig av lengden til $\vec {b}$, den avhenger bare av retningen.

Eksempel 14:

Vi krymper $\vec {b}$ fra eksempel 13 til $[{\large \frac{3}{2}}, {\large \frac{1}{2}}]$ og skal beregne projeksjonen av vektoren, $\vec a = [2, 4]$ fra eksempel 13, slik det er illustrert i figuren under:

Vektorprojeksjon 2

Vi får

$\vec {a} \cdot \vec {b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = 2\cdot {\large \frac{3}{2}} + 4 \cdot {\large \frac{1}{2}} = 5$

og

$\vec {b} \cdot \vec {b} = b_x \cdot b_x + b_y \cdot b_y = {\large \frac{3}{2}}\cdot {\large \frac{3}{2}} +{\large \frac{1}{2}} \cdot {\large \frac{1}{2}} = {\large \frac{5}{2}}$

$\vec{a_b} = \bigg({\large \frac{5}{\Large{\frac{5}{2}}}}\bigg)\Big[{\large \frac{3}{2}},{\large \frac{1}{2}}\Big] = 2\Big[{\large \frac{3}{2}},{\large \frac{1}{2}}\Big] = [3,1]$

Som er det samme som vi fikk i eksempel 13.

Oppgave 8:

Beregn projeksjonen av $\vec a = [−3, 2]$ på $\vec b = [4, 1]$

Se løsningsforslag

Vi avslutter med et gjensyn med vår venn som prøver å dra en stein.

La oss si at steinen ligger i ei grøft, og bare kan bevege seg rett mot høyre. Intuitivt vet vi at vi da bør dra i den retningen steinen kan bevege seg. Men la oss si at det ikke går an å gå i grøfta, men at mannen må gå litt på siden, slik:

Vektorprojeksjon illustrert som kraft

Lar vi kraften mannen drar med, være symbolisert med en vektor, vil kraften som drar steinen i riktig retning være projeksjonen av denne ned på en vektor som går rett mot høyre, markert med grønt i figuren over. Jo lenger mannen går ut til siden, jo kortere blir projeksjonsvektoren, og jo mindre blir kraften som drar steinen i riktig retning.

Trigonometri

Ordet trigonometri kommer av det greske trigonon, som betyr tre vinkler, og metro, som betyr måling. Trigonometri brukes i sammenheng med beregning av sider og vinkler i trekanter.

I funksjonsartikkelen om trigonometriske funksjoner ble vi kjent med funksjonene sinus, cosinus og tangens. Nå skal vi se hvordan disse kan benyttes til å bestemme trekanter, det vil si å finne størrelsene på alle vinklene og lengden av alle sidene i trekanten.

Trigonometri i rettvinklede trekanter

I en rettvinklet trekant er en av vinklene er 90°. Sidene som ligger inntil til den rette vinkelen kalles kateter, mens den motstående siden kalles hypotenusen. Dette er illustrert i figuren under.

Illustrasjon av kateter og hypotenus i rettvinklet trekant

Pytagoras′ setning

Pytagoras′ setning er oppkalt etter den greske matematikeren Pytagoras. Setningen angir en sammenheng mellom sidelengdene i en rettvinklet trekant, og sier at summen av kvadratene av katetene er lik kvadratet av hypotenusen. Kaller vi sidene a, b og c som på figuren over, har vi altså at

a2 + b2 = c2

Det finnes en mengde forskjellige typer bevis for Pytagoras setning. Se for eksempel NDLAs nettside og denne demonstrasjonen med vanntanker fra Vitensenteret i Arendal.

Oppgave 1:

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 13 cm og den ene kateten 12 cm. Hvor lang er den andre kateten?

Se løsningsforslag

Trigonometriske funksjoner

Pytagoras′ setning gir oss hjelp til å finne lengden av den tredje siden i en rettvinklet trekant når to av de andre er kjent. Men den gir ingen hjelp med å finne vinklene. Til det trenger vi de trigonometriske funksjonene, som vi kaller sinus, cosinus og tangens. Dette er funksjoner i ordets egentlige forstand, og vi studerer dem i funksjonsartikkelen om trigonometriske funksjoner, men her nøyer vi oss med å si at de kan brukes til å uttrykke forholdstall i trekanter. Fordi funksjonsverdiene kan finnes med en kalkulator eller i et dataprogram som Excel eller GeoGebra, har vi derved et redskap til å beregne størrelsen på en trekants vinkler.

De to vinklene i en rettvinklet trekant som ikke er 90°, vil ligge mellom en katet og hypotenusen. Kateten som ligger inntil vinkelen, kalles hosliggende katet, den andre kalles motstående katet. Dette er illustrert for vinkelen v i figuren under.

Illustrasjon av hosliggende og motstående katet i rettvinklet trekant

Det er da slik at 

  • sinus til en vinkel er lik lengden av motstående katet dividert med lengden av hypotenusen.
  • cosinus til en vinkel er lik lengden av hosliggende katet dividert med lengden av hypotenusen.
  • tangens til en vinkel er lik lengden av motstående katet dividert med lengden av hosliggende katet.

Vi forkorter gjerne funksjonsnavnene til sin, cos og tan. Med referanse til figuren over har vi altså at

$\fbox{$\begin{align} \sin v &= \frac{\displaystyle b}{\displaystyle c} \\
&\, \\
\cos v &= \frac{\displaystyle a}{\displaystyle c} \\
&\, \\
\tan v &= \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a} \end{align}$}$

Kjenner vi størrelsen til en vinkel i en rettvinklet trekant og lengden til en av sidene, kan vi ved hjelp av disse formlene beregne lengdene til de to andre sidene. Sinus, cosinus og tangens til en vinkel finner vi ved hjelp av en kalkulator eller et dataprogram som Excel eller GeoGebra.

Eksempel 1:

I en rettvinklet trekant med navn som i figuren over, har vi at vinkelen v = 50°, at sidelengden a=7, og vi skal bruke trigonometriske funksjoner til å finne sidelengdene b og c.

Fra lista med formler ser vi at $\tan v =  \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}$, altså er b = a · tan v.

Vi setter inn de oppgitte verdiene og får

b = 7 · tan 50° ≈ 7 · 1,19 ≈ 8,33.

Fra lista med formler ser vi at $\cos v = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle c}$, altså er $c = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle \cos v}$.

Vi setter inn de oppgitte verdiene og får

$c = {\large \frac{7}{\cos 50^\circ}} \approx {\large \frac{7}{0{,}64}} \approx 10{,}89$.

Her brukte vi en kalkulator til å finne tan 50° ≈ 1,19 og cos 50° ≈ 0,64.

I eksempel 1 kunne vi også brukt formelen $\sin v = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle c}$ til å beregne c, for vi hadde jo allerede beregnet b. Imidlertid inneholder b en avrundingsunøyaktighet, mens a er oppgitt til å være akkurat 7. Derfor er det et bedre valg å bruke at $\cos v = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle c}$, slik vi har gjort. Når vi har flere alternative utregningsmetoder, vil det ofte være et godt valg å bruke den som gir minst unøyaktighet.

I eksempel 1 kunne vi naturligvis også beregnet c ved hjelp av Pytagoras′ setning:

c2 = a2 + b2 ≈ 72 + 8,332 ≈ 118,39 ⇒ c ≈ 10,88.

Som er det samme vi fant i eksempel 1, med unntak av en avrundingsunøyaktighet.

Windows har en kalkulator vi kan få fram ved å skrive «Kalkulator i Windows-menyen. Velger vi så «Vitenskapelig» i menyen øverst til venstre på kalkulatoren, ser den ut som vist under. Her har vi markert knappene for de trigonometriske funksjonene, og knappen «DEG», som brukes til å skifte mellom «DEG» = grader, «RAD» = radianer og «GRAD» = gradianer, altså på hvilket format vinkelmålet oppgis.

Illustrasjon av trigonometriske funksjoner i Windows-kalkulator

Navngivingen i en trekant kan være vilkårlig. Vi bør derfor huske at sinus er motstående katet over hypotenus, cosinus er hosliggende katet over hypotenus og tangens er motstående katet over hosliggende katet, i stedet for å pugge formlene med a, b og c.

Oppgave 2:

I en rettvinklet trekant med navn som i figuren under har vi at vinkelen v = 42° og d = 10. Finn lengdene til c og e.

Rettvinklet trekant som illustrerer oppgave

Se løsningsforslag

Inverse trigonometriske funksjoner

Vi har så langt sett hvordan vi kan beregne lengden til sidene i en rettvinklet trekant basert på størrelsen til vinkler, men vi kan også beregne vinkler basert på lengden til sidene. Har vi for eksempel formelen $\tan v = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}$ og vet at b = 3 og a = 6, følger det at $\tan v = {\large \frac{3}{6}} = 0{,}5$. Nå kjenner vi ikke vinkelen og skal finne tangens, men kjenner tangens og skal finne vinkelen.

I slike tilfeller bruker vi inverse funksjoner, også kalt omvendte funksjoner. Det finnes inverse funksjoner for både sinus, cosinus og tangens, de heter asin, acos og atan alternativt arcsin, arccos og arctan. De skrives ofte også som sin−1, cos−1 og tan−1. På bildet av Windows-kalkulatoren under har vi aktivert disse funksjonene ved å trykke på pil-opp, slik det er markert.

Illustrasjon av inverse trigonometriske funksjoner i Windows-kalkulator

Har vi for eksempel at tangens er 0,5, som nevnt over, bruker vi den inverse tangensfunksjonen, og finner at tan−1 0,5 ≈ 26,6°. Den tilhørende vinkelen er altså 26,6°.

Eksempel 2:

I trekanten under er det oppgitt at sidelengdene a = 7 og c = 9 og vi skal finne vinkelen B.

Rettvinklet trekant som illustrerer eksempel

Vi vet at cosinus til en vinkel er lik hosliggende katet over hypotenusen, så vi får at

$\cos B = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle c} = {\large \frac{7}{9}} \approx 0{,}78$.

Vi får da at

B = cos−1 0,78 ≈ 38,7°.

Oppgave 3:

I trekanten i eksempel 2 vet vi at sidelengdene a = 7 og c = 9. Bruk trigonometri til å finne vinkelen A. Kontroller at vinkelsummen i trekanten blir 180°, når du fra eksempel 2 vet at vinkelen B er om lag 38,7°.

Se løsningsforslag

Trigonometri i vilkårlige trekanter

Vi har i forrige avsnitt sett hvordan vi kan beregne vinkler og sidelengder i rettvinklede trekanter. Nå skal vi se på noen regler som gjelder i vilkårlige trekanter, slik som den under.

Eksempel på vilkårlig trekant

Arealsetningen

Arealsetningen sier at arealet av en vilkårlig trekant er halve produktet av lengden til 2 sider og sinus til vinkelen mellom dem.

Med referanse til trekanten over får vi

$\fbox{$\text{Areal} = {\large \frac{1}{2}} a b \sin C = {\large \frac{1}{2}} b c \sin A = {\large \frac{1}{2}} a c \sin B$}$

Eksempel 3:

I trekanten over er sidelengden a = 9, sidelengden c = 9,8, vinkelen B = 30°, og vi skal beregne arealet. Arealsetningen gir

$\text{Areal} = {\large \frac{1}{2}} a c \sin B =  {\large \frac{1}{2}} \cdot 9 \cdot 9{,}8 \cdot \sin 30^\circ =  {\large \frac{1}{2}} \cdot 9 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}5 = 22{,}05$

Sinus til en rett vinkel er 1. Hvis for eksempel vinkelen C er rett, får vi fra formelen over at

$\text{Areal} = {\large \frac{1}{2}} a b \cdot 1 ={\large \frac{1}{2}} a b$

Noe som vi kjenner igjen som formelen for å beregne arealet av en rettvinklet trekant med kateter a og b. Denne formelen er altså et spesialtilfelle av arealsetningen.

Sinussetningen

Sinussetningen sier at i en vilkårlig trekant er forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden til den motstående siden i en trekant den samme for alle de tre vinklene og sidene. Med trekanten over som eksempel har vi altså at

$\fbox{$\frac{\displaystyle \sin A}{\displaystyle a} =\frac{\displaystyle \sin B}{\displaystyle b} =\large \frac{\displaystyle \sin C}{\displaystyle c}$}$

Eksempel 4:

I trekanten over er sidelengden a = 9, sidelengden c = 9,8, vinkelen A = 66°, og vi skal beregne vinkelen C. Sinussetningen gir

$ \frac{\displaystyle \sin C}{\displaystyle c} = \frac{\displaystyle \sin A}{\displaystyle a} \Rightarrow \sin C = \frac{\displaystyle c \cdot\sin A}{\displaystyle a} =  {\large \frac{9,8 \cdot\sin 66^\circ}{9}} \approx 0{,995}$

C = sin−1 0,995 ≈ 84°.

Vi ser at dette er riktig, fordi vinkelsummen i en trekant skal være 180°, og

A + B + C = 66° + 30° + 84° = 180°.

Cosinussetningen

Cosinussetningen sier at i en vilkårlig trekant er kvadratet av en sidelengde lik summen av kvadratene av de andre to sidelengdene minus to ganger produktet av de to sidelengdene og cosinus til vinkelen mellom dem.

Med referanse til trekanten over, får vi at

$\fbox{$\begin{align} &a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos A \\
&\\
&b^2 = a^2 + c^2 − 2ac \cos B \\
&\\
&c^2 = a^2 + b^2 − 2ab \cos C \end{align}$}$

Eksempel 5:

I trekanten over er sidelengden a = 9, sidelengden c = 9,8, vinkelen B = 30°, og vi skal beregne sidelengden b. Cosinussetningen gir

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B = 92 + 9,82 − 2 · 9 · 9,8 · cos 30° ≈ 24,273.

$b \approx \sqrt{24,273} \approx 4{,}9$.

Oppgave 4:

I trekanten under er det gitt to sidelengder, a = 7 og c = 9, samt en vinkel, B = 40°. Beregn

  1. Sidelengden b.
     
  2. Vinklene A og C.
     
  3. Trekantens areal.

Eksempel på vilkårlig trekant

SkjermfilmSe film med løsningsforslag 
 (Her brukes en eldre utgave av Windows-kalkulatoren)

Cosinussetningen kalles også «den utvidede pytagoreiske setning». For hvis for eksempel vinkelen C er rett, er cos C = 0, og formelen blir redusert til den vanlige pytagoreiske setningen:

c2 = a2 + b2 − 2ab · cos C = a2 + b2 − 2ab · 0 = a2 + b2

Trigonometriske sammenhenger

Verdiene til de trigonometriske funksjonene kan ofte bare uttrykkes som desimaltall, men for vinkler på 0, 30, 45, 60 og 90 grader blir verdiene hele tall, eller kan uttrykkes som røtter av hele tall, som vist i tabellen under:

Liste over spesielle trigonometriske verdier

I en rettvinklet trekant som vist under, kaller vi vinklene ved hypotenusen for v og v′:

Eksempel på vinkler i en rettvinklet trekant

Siden vinkelsummen i en trekant er 180°, og 90° går bort i den rette vinkelen, må vi ha v′ = 90° − v.

Ved å bruke reglene for trigonometriske funksjoner i trekanter, ser vi at vi har:

$\begin{align} \sin v &= \frac{\displaystyle b}{\displaystyle c} \\
\cos v &= \frac{\displaystyle a}{\displaystyle c} \\
\sin v′ &= \frac{\displaystyle a}{\displaystyle c} \\
\cos v′ &= \frac{\displaystyle b}{\displaystyle c} \end{align}$

Sinus til v er altså lik cosinus til v′ og omvendt. Og siden v′ = 90° − v, ser vi at vi har

$\fbox{$\cos v = \sin(90^ \circ − v)$}$

$\fbox{$\sin v = \cos (90^ \circ − v)$}$

Disse sammenhengene gjelder for alle vinkler.

I trekanten over har vi også at

$\tan v = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}$

Og ved å skrive om formlene for sinus og cosinus over, har vi at

b = c sin v

a = c cos v

Vi har altså at $\tan v = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a} = \frac{\displaystyle c \cdot \sin v}{\displaystyle c \cdot \cos v} = \frac{\displaystyle \sin v}{\displaystyle \cos v}$.

Tangens er lik sinus dividert på cosinus. Denne sammenhengen gjelder for alle vinkler.

$\fbox{$\tan v = \frac{\displaystyle \sin v}{\displaystyle \cos v}$}$

Oppgave 5:

Undersøk om sammenhengene

$\cos v = \sin(90^ \circ − v)$

$\tan v = \frac{\displaystyle \sin v}{\displaystyle \cos v}$

er riktige for vinklene 0, 30, 45, 60 og 90 grader, slik de er vist i tabellen lenger opp.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Plangeometriske figurer

Denne artikkelen gir en oversikt over sentrale begreper og formler for plangeometriske figurer.

Plangeometriske figurer har utstrekning i inntil to retninger, de er flate. Vanlige plangeometriske figurer er:

Punkter

Et punkt har posisjon, men ingen utstrekning, det har altså dimensjon 0. Men vi må naturligvis gi et punkt en viss utstrekning når vi tegner det. Vi bruker vanligvis store bokstaver A, B, C, …, som navn på punkter, og markerer dem med en prikk, et kryss eller lignende.

Punkter

Rette linjer

En rett linje har posisjon, retning og uendelig utstrekning. Linjer har dimensjon 1, det vil si at de ikke har bredde, selv om vi naturligvis må gi dem en viss bredde når vi tegner dem. Linjer gis vanligvis navn med små bokstaver l, m, n, …

Gitt to punkter A og B, finnes det nøyaktig én linje som går gjennom A og B. Denne noteres som l(A, B), «linja gjennom A og B» eller «linja AB».

Linje

Linjestykker

Et linjestykke er en del av ei linje som er begrenset av to endepunkter, A og B, nemlig den delen av linja gjennom A og B som ligger mellom A og B. Vi lar AB både betegne linjestykket fra A til B (eller fra B til A) og lengden av dette linjestykket, som kan defineres som avstanden mellom endepunktene. Det vil da framgå av sammenhengen hva som menes.

Linjestykke

Stråler

En stråle er del av en linje som er bestemt ved et startpunkt og ved at den er ubegrenset i én av de to mulige retningene. Den har uendelig utstrekning. Hvis A er et endepunkt på en stråle og B er et punkt på strålen, snakker vi om strålen fra A gjennom B.

Stråle

Vinkler

To linjer kan være plassert på forskjellige måter i forhold til hverandre: Enten har de ikke noen punkter felles og er parallelle, eller de skjærer hverandre i en vinkel. At to linjer, l og m, er parallelle skriver vi $l \parallel m$. Skriver vi $l \not \parallel m$, betyr det at linjene l og m ikke er parallelle, men skjærer hverandre.

En vinkel er en del av planet som er begrenset av to stråler med felles startpunkt. Dette startpunktet kalles vinkelens toppunkt. Hvis vinkelen er definert ved hjelp av strålen fra O gjennom A og strålen fra O gjennom B, skriver vi «vinkelen AOB» eller $\angle AOB$. Strålene OA og OB kalles vinkelens vinkelbein.

Hvis det bare er én vinkel med toppunkt i O, kan vi skrive $\angle O$ uten å bli misforstått. Eller vi kan gi vinkelen navn som u, v og w.

Vinkel

Vi markerer ofte vinkler med små sirkelbuer i ulike format, gjerne slik at vinkler som er like store, får samme format.

Vinkelbuer

Vinkeltyper

En spiss vinkel er en vinkel som er mindre enn 90°.

Spiss vinkel

En rett vinkel er en vinkel som er nøyaktig 90°.

Rett vinkel

En stump vinkel er en vinkel som ligger mellom 90° og 180°.

Stump vinkel

En like vinkel er en vinkel som er nøyaktig 180°.

Like vinkel

En full vinkel er en vinkel som er nøyaktig 360°.

Full vinkel

To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, kalles nabovinkler hvis de har et felles vinkelbein.
To vinkler med bein som er forlengelser av hverandre, kalles toppvinkler.

I figuren under er v og w, w og x, x og u, og u og v nabovinkler. v og x og u og w er toppvinkler.

Vinkelgruppe

Når vinkelen mellom to rette linjer, l og m, er rett, sier vi at l er en normal til m, eller at m er en normal til l.

To vinkler som til sammen utgjør en rett vinkel, er komplementvinkler til hverandre.

Komplementvinkel

To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, er supplementvinkler til hverandre.

Supplementvinkel

Nabovinkler er supplementvinkler med samme toppunkt og et felles vinkelbein imellom dem.

Nabosupplementvinkel

To vinkler som enten har venstre vinkelbein eller høyre vinkelbein felles, kaller vi samsvarende vinkler.
Samsvarende vinkler behøver ikke være like store.

Samsvarende vinkler

Vinkelsammenhenger

Toppvinkler er like store.

Toppvinkler

Samsvarende vinkler er like store hvis og bare hvis de to overskårne linjene er parallelle.

Like, samsvarende vinkler

To vinkler er like store hvis vinkelbeina er parvis parallelle.

Parvis parallelle vinkelbein

Når vinkelbeina til to vinkler står parvis normalt på hverandre, er vinklene like.

Parvis normale vinkelbein

Sirkler

En kurve i planet kan illustreres ved en strek på papiret, tegnet uten å løfte blyanten. En kurve kalles enkel hvis den ikke krysser seg selv.
Kurve

En lukket kurve er en kurve uten endepunkter. Enhver enkel, lukket kurve deler planet i to områder, som kalles kurvens ytre og indre område.
Lukket kurve

En sirkel består av alle punkter i planet som har en gitt, fast avstand fra et bestemt punkt, sirkelens sentrum. Selve sirkelen omtales også som sirkelperiferien. Avstanden fra sentrum til periferien kalles sirkelens radius.

En sirkel er eksempel på en lukket kurve. 
Sirkel

Omkretsen av en sirkel med radius r er gitt ved O = 2πr.

Arealet av en sirkel med radius r er gitt ved A = πr2.

En korde i en sirkel er et linjestykke med endepunkter på sirkelen. En diameter i en sirkel er en korde som går gjennom sirkelens sentrum. En radius i en sirkel er et linjestykke fra sentrum til et punkt på sirkelen, altså en halv diameter. En sekant er en rett linje som skjærer sirkelen. En tangent til sirkelen er en rett linje som har ett punkt – berøringspunktet eller tangeringspunktet, felles med sirkelen. Vi kan tenke på en tangent som grensestillingen for en sekant når de to skjæringspunktene nærmer seg hverandre. En bue er en del av sirkelperiferien.

Arealet av det indre området i en sirkel avgrenset av en korde kalles et segment, og arealet avgrenset av to radier kalles en sektor.

Disse begrepene er illustrert i bildene under:

Sirkelbegreper

Mangekanter

En mangekant, også kalt polygon, er en enkel, lukket to-dimensjonal kurve som består av rette linjestykker mellom like mange punkter i et plan. Dette betyr at mangekanten må ha minst tre hjørner. Under ser vi en enkel, men ikke lukket kurve, og en lukket, men ikke enkel kurve. Ingen av disse kurvene oppfyller derfor kravene til mangekanter.
Ikke-mangekant

Vi kan beskrive mangekanter ut fra kanter (sider), vinkler og hjørner. Forskjellen på hjørner og kanter er at kantene er selve linjestykket, mens hjørnet er der to linjestykker møtes:
Mangekant, beskrivelse

En mangekant kalles konveks hvis alle linjer vi trekker mellom to vilkårlige punkter i mangekanten holder seg i det indre området. I en konveks mangekant er alle vinklene mindre enn 180°. Bildene under viser en konveks og en ikke-konveks mangekant. Vi ser at mangekanten som ikke er konveks har en vinkel som er større enn 180°, markert med rød pil, og at vi kan trekke linjer som går ut av det indre området, et eksempel vist med grønt.
Konvekse figurer

I regulære mangekanter er alle sider like lange og alle vinkler like store. Bildet under viser en regulær trekant, firkant, femkant, sekskant, sjukant og åttekant.

Regulære mangekanter

Trekanter

Den enkleste mangekanten er trekanten, med tre hjørner og sider. Vi navngir gjerne en trekant etter hjørnene, for eksempel kalles en trekant med hjørner A, B og C for «trekanten ABC», noe vi også skriver som $\triangle ABC$.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180°.

Arealet av en trekant med grunnlinje g og høyde h er gitt ved $A=\frac{\displaystyle gh}{\displaystyle 2}$

Vi deler trekanter inn i flere typer etter egenskaper ved vinklene i trekanten:

    • En spiss eller spissvinklet trekant er en trekant der alle vinklene er mindre enn 90°.
       
    • En stump eller stumpvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er større enn 90°.
       
    • En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er 90°. De hosliggende sidene til den rette vinkelen kalles kateter, mens den motstående siden kalles hypotenusen.
       
    • En likesidet trekant er en trekant der alle sidene er like lange. Også alle vinklene blir da like, nemlig 60°.
       
    • En likebeint trekant er en trekant der to av sidene er like lange. To av vinklene blir da også like.

Dette er illustrert i bildet under:

Trekanttyper

Vi kan plassere de forskjellige trekanttypene i et hierarki, slik:

Trekanthierarki

Firkanter

Firkanten har, som navnet sier, fire hjørner og kanter. På samme måte som i en trekant navngir vi gjerne etter hjørnene, for eksempel kalles en firkant med hjørner A, B, C og D for «firkanten ABC», noe vi også skriver som $\Box ABCD$. Ei linje mellom to motstående hjørner i en firkant kalles en diagonal.

Vi deler firkantene inn i flere typer, der parallellitet, vinkler og sidelengden er definerende egenskaper:

    • Hvis to par sider med felles vinkel er like lange, har vi en drake.
       
    • Hvis to av sidene er parallelle, kalles firkanten for et trapes.
       
    • Hvis to og to av sidene er parallelle, kalles firkanten for et parallellogram.
       
    • Hvis alle sidene i et parallellogram er like, har vi en rombe.
       
    • Hvis alle de indre vinklene i et parallellogram er rette, har vi et rektangel.
       
    • Et rektangel der alle sidene er like, kalles et kvadrat.

Dette er illustrert i bildet under:

Firkanttyper

Oppgave 1:

I forrige avsnitt plasserte vi trekantene i et hierarki. Plasser firkantene i et tilsvarende hierarki.

Se løsningsforslag

Arealet av et parallellogram med grunnlinje g og høyde h, er gitt ved A = g · h

Arealet av et trapes med to parallelle sider a og b, og høyde h, er gitt som $A=\frac{\displaystyle (a + b) \cdot h}{\displaystyle 2}$

Oppgave 2:

    1. I et trapes er de to parallelle sidene henholdsvis 5 og 8 cm. Høyden er 6 cm. Hva er trapesets areal?
    2. Et trapes har areal 26 cm2. De to parallelle sidene er 7 og 6 cm. Hva er trapesets høyde?

Se løsningsforslag

Enhver polygon kan deles opp i trekanter. Dermed kan man i prinsippet beregne ethvert areal som er begrenset av rette linjer.

Areal av polygon

Arealet til en uregelmessig figur kan anslås. Elevene kan prøve å tegne arealet til hånda si på et blankt ark og legge transparenter med rutenett oppå tegningen av håndflaten. Så kan de telle ruter. Snakk om at hvis de kun teller rutene som ligger helt inni hånda, vil arealet bli for lite. Hvis de også teller ruter som hånda delvis ligger inni, vil arealet bli for stort. Jo tettere rutenettet er, jo mer nøyaktig blir målingen.

Areal av hånd

Hjørner og vinkler i mangekanter

Deler vi en firkant i to langs en av diagonalene, får vi to trekanter. Limer vi to trekanter sammen, får vi en firkant. Siden vinkelsummen i en trekant er 180°, blir derfor vinkelsummen i en firkant 360°.

Generelt, hvis vi har en n-kant og limer til en trekant, får vi en (n+1)-kant, der vinkelsummen har økt med 180°. For hvert hjørne utover tre en mangekant har, øker altså vinkelsummen med 180°, og vi har:

Vinkelsummen i en n-kant er
(n − 2) · 180°

I en regulær n-kant er alle vinklene like store. For en regulær n-kant gir derfor regelen over følgende korollar:

Hver vinkel i en regulær n-kant er
${\large \frac{ n – 2}{n}} \cdot 180^\circ$

Kilder

    • Brodahl, C. (2016). Forkurs til MA-924 og MA-925. Upublisert manuskript, UiA.
    • Hinna, K. R. C., Rinvold, R. A., Gustavsen, T. S. (2011) QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget.