Funksjoner formelt

Vi har i flere artikler arbeidet med funksjoner. Men vi har enda ikke definert nøyaktig hva en funksjon er. Spør vi studenter hva en funksjon er, svarer mange noe litt upresist om formler, grafer og koordinatsystemer. Men en funksjon kan godt eksistere uten en formel, det passer ikke alltid å tegne en graf, og ikke alt er naturlig å framstille i et koordinatsystem.

En presis definisjon av en funksjon er: «En kopling av hvert element i en mengde til nøyaktig ett element i en annen.»

Eksempel 1:

Bildet under viser hvordan funksjonen Adresse kopler tre personer til adressen de bor på.

Funksjon som kopler navn til adresser

Mengden vi henter elementene fra er definisjonsmengden, mengden elementene koples til er verdimengden, slik vi lærte i artikkelen om funksjonsbegrepet. Definisjonsmengden består altså av Ola, Kari og Svein, mens verdimengden består av Buveien 1, Marka 43 og Jordet 21.

Oppgave 1:

I tabellen under vises fire eksempler på koplinger mellom to mengder. Avgjør ut fra definisjonen av en funksjon hvilke av disse som er funksjoner.

Koplinger mellom mengder som kanskje er funksjoner

Se løsningsforslag

En funksjon som bare kopler ett element i definisjonsmengden til hvert element i verdimengden kalles injektiv.

En funksjon der samtlige elementer i verdimengden er koplet til definisjonsmengden kalles surjektiv.

En funksjon som er både injektiv og surjektiv kalles bijektiv.

Funksjonen i eksempel 1 er bijektiv.

Funksjon B i oppgave 1 er injektiv, men ikke surjektiv.

Funksjon C i oppgave 1 er surjektiv, men ikke injektiv.

Oppgave 2:

Hvilke av følgende utsagn definerer y som en funksjon av x?

  1. 3x − 2y = 5.
     
  2. x2 + y2 = 1.
     
  3. y er overflaten til ei kule med radius x.
     
  4. y er omkretsen av et rektangel med areal x.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Trigonometriske funksjoner

Periodiske funksjoner

I naturen møter vi mange periodiske fenomener. Periodiske fenomener er noe som gjentar seg i et fast mønster over tid. For eksempel solas høyde over horisonten, som varierer med tidspunkt på dagen, og med årstiden. Noen fenomener er lette å beskrive matematisk, andre er mer kompliserte. Grafene under viser lyd fra en tonegenerator, det vil si endringer i lufttrykk som funksjon av tiden. Grafen til venstre representerer en mer høyfrekvent tone enn den til høyre.

Kurveform for en høyfrekvent tone Kurveform for en lavfrekvent tone

 

I andre artikler har vi arbeidet med polynomfunksjoner, potensfunksjoner og rasjonale funksjoner, men ingen av de grafene vi har produsert hittil har liknet på disse kurvene. Og det lar seg ikke gjøre å modellere et fenomen som lyd eller noe annet periodisk fenomen ved hjelp av noen av disse. Vi trenger en ny type funksjoner som kalles trigonometriske funksjoner. De heter sinus, cosinus og tangens, og skrives vanligvis forkortet som sin, cos og tan.

Kurvene over lar seg lett beskrive ved hjelp av trigonometriske funksjoner, begge er på formen f(x) = sin ax, der a er en konstant. Stor a gir kjappe svingninger, som i kurven til venstre, liten a gir langsomme svingninger, som i kurven til høyre.

De trigonometriske funksjonene er periodiske, det vil si at de gjentar seg selv etter en viss tid. Formelt sier vi at en funksjon, f(x), er periodisk hvis det finnes en T slik at f(x) = f(x+T) for alle x. Dette er illustrert i filmen under.

SkjermfilmSe film om periodisitet

 
En mer kompleks kurve er et menneskes hjerterytme, vist under.

Periodisk kurve som viser et menneskes hjerterytme

Den er også periodisk, men lar seg ikke modellere med en enkelt trigonometrisk funksjon. Ved å bygge opp rekker av trigonometriske funksjoner kan vi imidlertid modellere alle periodiske fenomener.

Sinus og cosinus

Nå skal vi vise hvordan vi får fram kurvene til sinus og cosinus. Vi lager en sirkel med radius 1, merker av et punkt på sirkelen, og trekker ei linje inn til origo. Linja vil danne en vinkel med x-aksen:

Definisjon av sinus og cosinus

Sinus til denne vinkelen er da avstanden fra punktet ned til x-aksen, cosinus er avstanden fra punktet bort til y-aksen. Hvis vi lar vinkelen variere i skritt på 30° og måler disse avstandene, får vi følgende tabell:

Vinkel Sinus Cosinus
0,000 1,000
30° 0,500 0,866
60° 0,866 0,500
90° 1,000 0,000
120° 0,866 −0,500
150° 0,500 −0,866
180° 0,000 −1,000
210° −0,500 −0,866
240° −0,866 −0,500
270° −1,000 0,000
300° −0,866 0,500
330° −0,500 0,866
360° 0,000 1,000

Vi ser at sinus starter på 0 når vinkelen er 0°, når et maksimum på 1 når vinkelen er 90°, synker til 0 når vinkelen er 180°, når et minimum på −1 når vinkelen er 270°, og går tilbake til 0 når vinkelen er 360°. Etter 360° vil det hele gjenta seg. Sinus er altså periodisk med en periode på 360°. Cosinus følger samme mønster, men starter på 1 i stedet for 0. Kurvene for cosinus og sinus er derfor helt like, bare litt forskjøvet i forhold til hverandre. For enhver vinkel, v, har vi at cos(v − 90°) = sin v. Har vi for eksempel v = 270°, har vi cos(270° − 90°) = cos(180°) = −1 = sin(270°).

Verdiene til cosinus og sinus varierer altså bare innenfor intervallet [−1, 1]. Studerer vi fortegnet, ser vi følgende:

  • 1. kvadrant: sinus positiv og cosinus positiv.
     
  • 2. kvadrant: sinus positiv og cosinus negativ.
     
  • 3. kvadrant: sinus negativ og cosinus negativ.
     
  • 4. kvadrant: sinus negativ og cosinus positiv.

Et plott av grafene til sinus og cosinus er vist under. Sinus i blått og cosinus i rødt.

Kurvene til sinus og cosinus

Tangens

Den tredje trigonometriske funksjonen, tangens, får vi ved å dividere sinus på cosinus: $\tan x = \frac{\displaystyle \sin x }{\displaystyle \cos x }$. Et plott av grafen til tangens er vist under.

Kurven til tangens

Vi ser at verdiene til tangens ikke holder seg mellom 1 og 1, verdiområdet er hele $\mathbb R$.

Det finnes tre funksjoner til, der sinus, cosinus og tangens står under en brøkstrek:

  • cosekant: $\csc x = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin x}$
     
  • sekant: $\sec x = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos x}$
     
  • cotangens: $\cot x = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \tan x}$

Disse brukes mindre, og vi kommer ikke tilbake til dem.

Inverse trigonometriske funksjoner

Så langt har vi startet med en vinkel og beregnet en verdi som representerer sinus, cosinus eller tangens til vinkelen, men vi kan også gå andre veien, starte med en verdi og finne den tilhørende vinkelen.

Til dette bruker vi inverse trigonometriske funksjoner, også kalt omvendte trigonometriske funksjoner. Den inverse sinusfunksjonen heter arcus sinus, forkortet arcsin, den inverse cosinusfunksjonen heter arcus cosinus, forkortet arccos, og den inverse tangensfunksjonen heter arcus tangens, forkortet arctan. Betegnelsen arcus betyr bue, og refererer til sirkelbuen vi bruker i definisjonen av de trigonometriske funksjonene. Vi kan også angi disse funksjonene ved invers-notasjon: sin−1, cos−1 og tan−1.

Definisjonsområdet til arcsin og arccos er [−1, 1] siden sinus og cosinus til en vinkel alltid ligger mellom −1 og 1. Definisjonsmengden til arctan er hele $\mathbb R$, siden tangens til en vinkel kan være et hvilket som helst tall.

Siden de trigonometriske funksjonene er periodiske, finnes det uendelig mange vinkler som korresponderer med en gitt verdi, så for å få entydighet, begrenser vi verdimengdene. arcsin og arctan har verdimengde [−90°, 90°], og arccos har verdimengde [0°, 180°].

Eksempel 1:

sin 30° = sin 390° = sin 750° = 0,5.

arcsin 0,5 = 30°.

Radianer

Vi er vant med at størrelsen på vinkler måles i grader, men det er egentlig ikke et særlig praktisk mål. I matematikken ellers opererer vi jo med tall. I stedet for grader som mål på en vinkel bruker en i matematikken heller noe som kalles radianer, og er vanlige tall uten enhet. Når vi måler i radianer, måler vi hvor stor bue en vinkel skjærer ut av en sirkel med radius 1. En vinkel på 1 radian skjærer ut en bue med lengde 1, slik det er vist i figuren under:

Illustrasjon av radian

Vi vet at omkretsen av en sirkel er gitt ved formelen O = 2πr, der r er sirkelens radius. Når radien er 1, blir omkretsen av sirkelen 2π En halv sirkel blir π, og en kvart sirkel blir $\large{\frac{\pi}{2}}$. Det vil si at 90° tilsvarer $\large{\frac{\pi}{2}}$ radianer, 180° tilsvarer π radianer, og 360° tilsvarer 2π radianer. En oversikt over vinkler i grader og radianer er vist under:

Illustrasjon av kopling mellom grader og radianer

Siden 180° tilsvarer π radianer, regner vi om fra grader til radianer ved å multiplisere med π og dividere med 180°. For å regne om fra radianer til grader multipliserer vi med 180° og dividerer med π.

Oppgave 1:

Regn om 45° til radianer.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Regn om $\frac{\displaystyle 5 \pi}{\displaystyle 2}$ radianer til grader.

Se løsningsforslag

Et plott av sin x og cos x i radianer er vist under.

Kurvene til sinus og cosinus, skala langs x-aksen i radianer

En god motivasjon for å lære seg å håndtere radianer er at de fleste dataprogrammer forventer at vinkler oppgis i radianer. På kalkulatorer kan vi gjerne velge, og vi har ofte også et tredje alternativ, nygrader eller gradianer. Det er omtrent som grader, bare at sirkelen er delt i 400 grader i stedet for 360. En typisk feilårsak når trigonometriske beregninger bare blir nesten riktige, er at kalkulatoren er innstilt på nygrader, «GRA», i stedet for grader, «DEG».

Trigonometriske funksjoner i Excel og GeoGebra

Både i Excel og GeoGebra heter de trigonometriske funksjonene sin, cos og tan, og de inverse trigonometriske funksjonene heter arcsin, arccos og arctan. I GeoGebra kan også navnene asin, acos og atan brukes.

Vinkler oppgis i radianer i Excel. For å regne om fra grader til radianer bruker vi funksjonen radianer, og for å regne om fra radianer til grader bruker vi funksjonen grader.

Eksempel 2:

Vi skal beregne sinus til 30° i Excel. I ei celle skriver vi =sin(radianer(30))

I GeoGebra kan vi angi at en vinkel er oppgitt i grader ved å skrive et gradetegn, altså °, bak vinkelmålet. Dette tegnet får vi fram ved å trykke <alt>o. (Bokstaven «o»).

Eksempel 3:

Vi skal beregne sinus til 30° i GeoGebra. I inntastingsfeltet skriver vi sin(30°)

Gradetegnet får vi altså fram ved å trykke <alt>o.

I GeoGebra finnes det egne varianter av de inverse trigonometriske funksjonene, som gir resultatet i grader, asind, acosd og atand.

Eksempel 4:

Vi skal bruke Excel og GeoGebra til å finne en vinkel, målt i grader, som har tangens lik 1.

I ei celle i Excel skriver vi =grader(arctan(1))

I inntastingsfeltet i GeoGebra skriver vi atand(1)

På dette nettstedet finnes en egen artikkel om trigonometriske funksjoner i GeoGebra.

Det finnes funksjonsnavn både i Excel og GeoGebra som likner på de navnene vi har nevnt, men har en «h» på slutten, for eksempel sinh. Dette er hyperbolske varianter av de trigonometriske funksjonene, der vi i stedet for å definere funksjonene ved hjelp av en sirkel, definerer dem ved hjelp av en hyperbel. Vi går ikke nærmere inn på dette.

Oppgave 3:

Under vises en tabell der første rad skal ha vinkler målt i grader, andre rad vinkler målt i radianer, tredje rad sinus til vinkler, og fjerde rad cosinus til vinkler.

I hver kolonne er det oppgitt en verdi, og du skal beregne resten av verdiene i kolonnen. I kolonne 2 er for det eksempel oppgitt at en vinkel målt i grader er 84, og du skal beregne hva vinkelen blir i radianer, hva sinus til vinkelen blir og hva cosinus til vinkelen blir. 

Bruk dataprogram eller kalkulator til utregningene. Tall på desimalform er greit, det er ikke nødvendig med eksakte svar

Vinkel i grader   84    
Vinkel i radianer 0,78      
Sinus til vinkel     −0,40  
Cosinus til vinkel       0,53

SkjermfilmSe film med løsningsforslag

 

Kombinasjon av vinkler

Vi henter fram et utsnitt av figuren vi brukte da vi definerte sinus og cosinus:

Sinus og cosinus utgjør katetene i en rettrvinklet trekant

 

Vi ser at sinus og cosinus utgjør katetene i en rettvinklet trekant der hypotenusen har lengde 1. Pytagoras gir oss derfor følgende sammenheng:

$\fbox{$\sin^2 + \cos^2 = 1$}$

Oppgave 4:

Sinus til en vinkel er $\large \frac{\sqrt 3}{2}$. Hva er cosinus? Finn eksakt svar.

Se løsningsforslag

Speiler vi figuren over om x-aksen, ser den slik ut:

Sinus og cosinus speilet om x-aksen

Vinkelen v blir til vinkelen −v. Vi ser av figuren at når v skifter fortegn, skifter sinus fortegn, men cosinus forblir den samme. Vi har altså at

$\fbox{$\sin v = −\sin(−v) $}$

$\fbox{$\cos v = \cos(−v) $}$

Oppgave 5:

    1. Sinus til en vinkel på 30° er 0,5. Hva er sinus til en vinkel på −30°?
       
    2. Cosinus til en vinkel på 60° er 0,5. Hva er cosinus til en vinkel på −60°?
       
    3. Hva er cosinus til en vinkel på 300°?

Se løsningsforslag

Det er ikke slik at sinus eller cosinus til en sum av to vinkler er lik summen av sinus eller cosinus til hver av vinklene. Vi har derimot at for to vinkler, u og v er:

$\fbox{$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$}$

$\fbox{$\cos(u + v) = \cos u \cos v − \sin u \sin v$}$

og

$\fbox{$\sin(u − v) = \sin u \cos v − \cos u \sin v$}$

$\fbox{$\cos(u − v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$}$

Oppgave 6:

Benytt følgende fakta

75° = 30° + 45°

sin 30° = $\large \frac{1}{2}$

cos 30°= $\large \frac{\sqrt 3}{2}$

sin 45° = cos 45° = $\large \frac{\sqrt 2}{2}$

til å finne eksakt

  1. sin 75°
     
  2. cos 75°

Se løsningsforslag

Fourier-rekker

Adderer vi polynomfunksjoner, får vi en ny polynomfunksjon. Adderer vi trigonometriske funksjoner derimot, får vi generelt ikke en ny trigonometrisk funksjon. Tvert imot kan enhver periodisk funksjon tilnærmes ved summer av trigonometriske funksjoner, såkalte Fourier-rekker, oppkalt etter matematikeren Jean Baptiste Joseph Fourier. Vi skal ikke gå nærmere inn på dette, bare vise et eksempel.

Vi ser på rekka $\sin x + \frac{\displaystyle \sin 3x}{\displaystyle 3} + \frac{\displaystyle \sin 5x}{\displaystyle 5} + \dots$

Tar vi med bare ett ledd, altså $\sin x$, blir grafen slik vi har sett flere ganger tidligere i denne artikkelen:

Fourier-rekke med ett ledd

Tar vi med to ledd, altså $\sin x + \frac{\displaystyle \sin 3x}{\displaystyle 3}$, får grafen en dipp. Vi har fått en helt ny periodisk funksjon:

Fourier-rekke med to ledd

Tar vi med tjue ledd, altså $\sin x + \frac{\displaystyle \sin 3x }{\displaystyle 3} + \dots + \frac{\displaystyle \sin 39x}{\displaystyle 39}$, ser grafen slik ut:

Fourier-rekke med tjue ledd

Summen av de fine, buede sinusgrafene blir en graf som nesten er firkantet. Jo flere ledd vi tar med, jo nærmere kommer grafen en perfekt firkantkurve. Figurene over er laget med GeoGebra. De som har lyst til å studere hvordan kurveformen endrer seg med antall ledd, kan åpne GeoGebra-fila det er lenket til under.

GeoGerba-filSe den tilhørende GeoGebra-fila.
 

Ved å undersøke hvordan fila er bygget opp, vil du også lære noe om bruk av følger og rekker i GeoGebra.

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Logaritmefunksjoner

I algebra-artikkelen om logaritmer forklarte vi hva logaritmer er, og hvordan de kan brukes i beregninger. Her skal vi kjapt se på egenskapene til funksjoner med logaritmer.

Under vises grafen til f(x) = log x i blått, g(x) = log2 x i oransje, og h(x) = ln x i grønt.

Grafer til forskjellige logaritmer

Vi ser at

Alle grafene går gjennom punktet (1, 0).

Alle grafene går gjennom punktet (a, 1), der a er logaritmens grunntall.

Funksjonsverdien er større enn 1 hvis x er større enn grunntallet, a.

Funksjonsverdien er mellom 0 og 1 hvis x er mellom 1 og grunntallet, a.

Funksjonsverdien er mindre enn 0 hvis x er mellom 0 og 1.

Funksjonsverdien går mot minus uendelig når x går mot null.

Slik vil det være for alle logaritmefunksjoner basert på grunntall større enn 1. For grunntall mellom 0 og 1 vil grafene være speilet om x-aksen.

Når x går mot uendelig, går funksjonsverdien mot uendelig, selv om grafene tilsynelatende flater ut:

Grafer til forskjellige logaritmer, vist over et stort spenn langs x-aksen

Definisjonsmengden til logaritmefunksjoner er altså alle positive, reelle tall, $D_f = (0, \infty)$. Verdimengden er alle reelle tall, $V_f = \mathbb R$.

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjonenes egenskaper

I artikkelen om potensfunksjoner så vi at en potensfunksjon er på formen f(x) = axb, der a og b er reelle tall.

I potensfunksjonen opphøyer vi en variabel i et tall. Hvis vi snur rundt på det og i stedet opphøyer et tall i variabelen, får vi en eksponentialfunksjon, som er på formen f(x) = kax, der k og a er reelle tall, a > 0.

a kalles funksjonens vekstfaktor fordi den styrer hvor mye funksjonsverdien endrer seg når x endrer seg.

k kalles funksjonens startverdi, for ved starten, altså når x = 0, får vi f(0) = ka0 = k · 1 = k.

I en potensfunksjon opphøyer vi altså variabelen i en konstant, mens vi en eksponentialfunksjon opphøyer en konstant i variabelen.

Eksempel på eksponentialfunksjoner er $2^{\large x}$ og $3\cdot \large (\frac{1}{5})^x$.

Definisjonsmengden til eksponentialfunksjoner er alle reelle tall, $D_f = \mathbb R$.

Verdimengden til eksponentialfunksjoner er alle positive tall, $V_f = (0, \infty)$.

Eksponentialfunksjoner med a > 1 går mot uendelig når x går mot uendelig, og mot 0 når x går mot minus uendelig.

Eksponentialfunksjoner med 0 < a < 1 går mot 0 når x går mot uendelig, og mot uendelig når x går mot minus uendelig.

Eksempel 1:

Bildet under viser grafene til funksjonene

$5^{\large x}$, grønn graf.

$2^{\large x}$, blå graf.

$1^{\large x}$, rød graf.

$\large(\frac{1}{2})^x$, oransje graf.

$\large(\frac{1}{5})^x$, lyseblå graf.

Grafene til et utvalg eksponentialfunksjoner

Vi ser at:

Alle grafene går gjennom punktet (0,1).

Alle grafene går gjennom punktet (1, a). Det vil si at 2x går gjennom punktet (1, 2), 5x går gjennom punktet (1, 5), etc.

Funksjonsverdien er alltid større enn 0.

Grafer med vekstfaktor a > 1 blir krappere jo større a er. De stiger mot høyre, har funksjonsverdi mellom 0 og 1 når x < 0 og funksjonsverdi større enn 1 når x > 0.

Grafer med vekstfaktor a = 1 er en rett linje.

Grafer med vekstfaktor a < 1 blir krappere jo mindre a er. De synker mot høyre, har funksjonsverdi større enn 1 når x < 0 og funksjonsverdi mellom 0 og 1 når x > 0.

Bruker vi regnereglene for potenser, ser vi at $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a})^{\large x} = \frac{\displaystyle 1^{\large x}}{\displaystyle a^{\large x}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^{\large x}} = a^{\large −x}$. Det betyr at $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5})^{\large x}$ kan skrives som $5^{\large −x}$ og $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})^{\large x}$ som $2^{\large −x}$. Det forklarer at grafparet $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5})^{\large x}$ og $5^{\large x}$ og grafparet $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})^{\large x}$ og $2^{\large x}$ i eksempel 1 er speilversjoner av hverandre, med y-aksen som symmetriakse.

Eksempel 2:

Setter vi kr 1000 i banken, og får 2 % rente pr. år, har vi etter 1 år

kr 1000 · 1,02

Siden vi får rente av rentene, har vi etter 2 år

kr (1000 · 1,02) · 1,02, altså kr 1000 · (1,02)2

Etter 3 år har vi

kr ((1000 · 1,02) · 1,02) · 1,02, altså kr 1000 · (1,02)3

og etter x år har vi

kr 1000 · (1,02)x

Vi ser at dette er en eksponentialfunksjon på formen f(x) = kax, der k = 1000 og a = 1,02. Vekstfaktoren a er her altså 1 + 2 % = 1 + 0,02 = 1,02.

Tallet e

I eksempel 2 la vi til renter en gang hvert år. Men vi kan jo også tenke oss at vi gjør det hver måned. Da vil vi få rentes rente allerede etter 1 måned. Legger vi til renter hver dag, får vi rentes rente etter 1 dag. Slik kan vi fortsette: Hver time, hvert minutt, hvert sekund. Til slutt ender vi opp med at vi legger til rente kontinuerlig. Og kontinuerlig rente er faktisk noe som brukes i virkeligheten. Dersom vi setter inn kr 1000 til 2 % kontinuerlig rente, vil vi etter x år ha kr 1000 · e0,02x. Dette er en eksponentialfunksjon på formen f(x) = ax, men her er ikke a et rasjonalt tall som vi har sett tidligere, for eksempel 2 og 1,02, men et irrasjonalt tall som heter e. e kalles Euler-tallet, oppkalt etter matematikeren Leonard Euler. e opptrer i mange sammenhenger både i naturen og i matematikken. De første sifrene til e er 2,71828.

Oppgave 1:

Under vises fire grafer i grønt, blått, rødt og oransje. De tilhører funksjonene

$f(x) = 2^{\large x}$

$g(x) = e^{\large x}$

$h(x) = {\large (\frac{1}{3})}^{\large x}$

$p(x) = x^{\large 3}$

men ikke i den rekkefølgen

Diverse grafer

  1. Hvilken av funksjonene er ikke en eksponentialfunksjon?
     
  2. Hvilken funksjon hører til hvilken graf?

Se løsningsforslag

Eksponentielle modeller

I artikkelen om representasjonsformer

så vi på lineære modeller. I en lineær modell er endringen konstant over tid. Vi trenger for eksempel en lineær modell for å beregne hvor langt vi har kjørt etter en viss tid når farten er konstant. I en lineær modell vil grafen være en rett linje, og eventuelle målepunkter vil ligge i nærheten av denne linjen.

I en eksponentiell modell, derimot, vil økningen være avhengig av hvor mye vi har fra før. La oss ta for oss eksempel 2 på nytt. Vi setter inn kr 1000 i banken med en årlig rente på 2 %. Hvis vi ikke hadde fått rentes rente, ville den årlige tilveksten vært konstant, kr 20. Vi ville da hatt en lineær modell. Med rentes rente vil tilveksten første år også være kr 20, men mellom år 19 og 20, for eksempel, vil den være

kr 1000 · (1,02)20 − 1000 · (1,02)19 ≈ kr 29,13.

Mellom år 99 og år 100 vil den være

kr 1000 · (1,02)100 − 1000 · (1,02)99 ≈ kr 142,05.

Mellom år 999 og år 1000 vil den være

kr 1000 · (1,02)1000 − 1000 · (1,02)999 ≈ kr 7 809 110 816,83.

Grafene under viser hvor hvordan beløpet i banken endrer seg over 200 år. Den blå grafen uten rentes rente – altså en lineær modell, den røde grafen med rentes rente – altså en eksponentiell modell.

Grafer som viser vekst av innskuddsbeløp med og uten rentes rente

Eksempel 3:

I eksempel 2 har vi en vekstfaktor, a, som er større enn 1, og grafen stiger derfor mot høyre. Et eksempel der vekstfaktoren ligger mellom 0 og 1, er følgende:

Vi kjøper en bil til kr 250 000 som faller i verdi med 13 % i året. Et verdifall på 13 % betyr en vekstfaktor på 1 − 0,13 = 0,87. Grafen til denne modellen er vist under, for de første 12 årene:

Graf som viser verdifall etter en eksponentiell modell

Siden vekstfaktoren a < 1, synker grafen mot høyre. Vi ser at etter x = 5 år har bilens verdi sunket til omtrent det halve. Dette er et realistisk prisfall på nye biler.

Oppgave 2:

Elevtallet på en skole i 10 år etter 1989 er gitt i tabellen under:

År etter 1989 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antall elever 100 110 121 133 146 161 177 195 214 236 259
  1. Foreslå en matematisk modell for elevtallet som funksjon av antall år etter 1989. Begrunn hvorfor du velger en lineær eller eksponentiell modell.
     
  2. Samme modell er gyldig for hele perioden mellom 1985 og 2005. Bruk modellen til å anslå elevtallet etter 12 år, og 2 år før 1989.

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

Den årlige prisstigningen på boliger i et område har vært 6 % de siste fem årene, og forventes å være 6 % også de neste to årene.

  1. Sett opp en matematisk modell for prisen på en bolig i denne perioden, når boligen koster 3 millioner kroner i dag.
     
  2. Hva vil boligen koste om 2 år ifølge denne modellen?
     
  3. Hva kostet boligen for 4 år siden ifølge denne modellen?

Se løsningsforslag

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
    • Selvik, B. K. (2007). Algebra og funksjonslære. Caspar forlag

Potensfunksjoner

En funksjon på formen f(x) = axb, der a og b er vilkårlige konstanter, kalles en potensfunksjon.

Eksempel 1:

Under vises grafene til fire potensfunksjoner med positive b. $f(x) = x^{\large \frac{1}{4}}$ i rødt, $f(x) = x^{\large \frac{1}{2}}$ i blått, $f(x) = x^2$ i grønt, $f(x) = x^4$ i oransje. Vi ser at alle grafene stiger mot høyre. Den røde og blå grafen, der 0 < b < 1 stiger langsommere jo større x blir, mens den grønne og oransje grafen, der 1 < b stiger raskere jo større x blir.

Grafene til et utvalg potensfunksjoner med positive eksponenter.

Vi ser at alle grafene går gjennom punktet (1, 1) fordi f(1) = 1b = 1 for alle b.

Eksempel 2:

Under vises grafene til fire potensfunksjoner med negative eksponenter. $f(x) = x^{\large −\frac{1}{4}}$ i rødt, $f(x) = x^{−\large \frac{1}{2}}$ i blått, $f(x) = x^{−2}$ i grønt, $f(x) = x^{−4}$ i oransje. b har altså samme verdier som i eksempel 1, men med negativt fortegn.

Vi ser at alle grafene synker, samtlige langsommere jo større x blir.

Grafene til et utvalg potensfunksjoner med negative eksponenter.

I eksempel 1 og 2 lot vi for enkelhets skyld konstanten a i axb være 1. Hvis vi vil lar a være forskjellig fra 1, vil det være slik at grafene stiger / synker raskere jo større a er. Dersom a < 0, vil grafene bli speilet om x-aksen. Alle grafene vil gå gjennom punktet (1, a).

Hvis b i potensfunksjonen f(x) = axb er et heltall og b ≥ 0, er funksjonen også en polynomfunksjon med ett ledd.

Definisjonsmengden til en potensfunksjon er avhengig av hvilken type tall b er. Som nevnt, er potensfunksjonen en polynomfunksjon dersom b er et ikke-negativt heltall, og definisjonsmengden er da følgelig hele $\mathbb R$. Dersom b er et negativt heltall, er potensfunksjonen en rasjonal funksjon med xb i nevneren, og definisjonsmengden er $\mathbb R \backslash \{0\}$.

Dersom b er en brøk eller et irrasjonalt tall, er det hele mer komplisert, og vi går ikke i detalj. Men et hint om hvorfor det er slik er at å opphøye x i en brøk, $\large \frac{1}{n}$, tilsvarer å ta n-te rota av x, slik det er beskrevet i algebra-artikkelen om brøk. Dersom n er et partall, kan vi ikke ta rota av en negativ x, men vi kan gjøre det hvis n er et oddetall.

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Rasjonale funksjoner

Hvis vi summerer, subtraherer eller multipliserer to polynomfunksjoner, blir resultatet også en polynomfunksjon. Men dersom vi dividerer to polynomfunksjoner, p(x) og q(x), får vi en ny type funksjon, en rasjonal funksjon:

$f(x) = \frac{\displaystyle p(x)}{\displaystyle q(x)}$

En rasjonal funksjon er en brøk med polynomfunksjoner i teller og nevner.

Eksempel 1:

$f(x) = \frac{\displaystyle 3x^2 + x – 3}{\displaystyle x^3  -4x + 2}$ er en rasjonal funksjon med et andregradspolynom i telleren og et tredjegradspolynom i nevneren.

$f(x) = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle x + 2}$ er en rasjonal funksjon. Telleren er en konstant, men en konstant kan betraktes som et polynom av grad 0. Nevneren er et førstegradspolynom.

$f(x) = \frac{\displaystyle \sin x}{\displaystyle x }$ er ikke en rasjonal funksjon. Telleren er ikke et polynom.

Grafene til noen rasjonale funksjoner er vist under:

Grafen til den rasjonale funksjonen 1 / (2x + 1) Grafen til den rasjonale funksjonen 4 / (x^2 - 1)
Grafen til den rasjonale funksjonen 4 / (x^2 + 1) Grafen til den rasjonale funksjonen (2x + 1) / (x^2 - 1)

Vi ser at grafene har helt andre former enn grafene til polynomfunksjoner. Vi ser også at vi i mange tilfeller har brudd i grafene, disse oppstår for x-verdier som gjør at nevneren blir lik 0. Disse verdiene er ikke med i den rasjonale funksjonens definisjonsmengde. Definisjonsmengden er altså hele $\mathbb R$, unntatt verdier som gjør nevneren lik 0. Verdimengden vil variere fra funksjon til funksjon.

Dårlige kalkulatorer og dataprogrammer tegner gjerne en strek mellom punktene der grafen forsvinner ut av syne vertikalt, men det er feil. Kurvedelene er helt atskilte.

En rasjonal funksjon med en konstant i nevneren er samtidig en polynomfunksjon, for eksempel $\frac{\displaystyle 4x^2 + 2x}{\displaystyle 2}$, som kan skrives som $2x^2 + x $.

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Representasjonsformer

Modeller

Vi har i flere artikler møtt funksjoner i tre forskjellige representasjonsformer:

  • Funksjonsforskrift, for eksempel f(x) = x2 + 3.
  • Graf.
  • Virkelig situasjon, for eksempel en ball i fritt fall.

En fjerde representasjonsform er tabeller, der vi har notert et sett med observasjoner. Da ønsker vi gjerne å finne en funksjonsforskrift som passer til dataene, noe vi kaller vi å lage en matematisk modell.

Eksempel 1:

Familien Hansen kjører hjemmefra til Oslo, en tur på ca. 320 kilometer. De første timene noterer barna hvor langt de har kjørt hvert kvarter:

 Kvarter 1 2 3 4 5 6 7 8
 Kilometer 22 38 58 80 104 122 138 161

Vi ser at de har kjørt om lag 20 kilometer hver gang de noterer. Et forslag til modell kan da være at de kjører med konstant fart, 20 km pr. kvarter. Det kan vi representere ved funksjonen f(x) = 20x. Et plott av punktene og f(x) er vist under.

En lineær modell

Vi ser at modellen i eksempel 1 ikke er helt nøyaktig, fordi grafen ikke går gjennom alle punktene. Dette skyldes at farten ikke har vært helt konstant. Unøyaktigheter vil ofte oppstå når vi modellerer fenomener fra virkeligheten. Modellen later allikevel til å være rimelig god, i dette tilfellet blir det nok vanskelig å finne noe bedre.

Vi må også være oppmerksom på at modellen har begrenset gyldighetsområde. Den kan ikke være gyldig for mer enn det antall timer turen varer. Og kommer familien til et sted med lavere fartsgrense eller dårligere vei, må de endre fart, og modellen er ikke lenger gyldig.

En modell kan ofte brukes til å si noe om fremtiden. I eksempel 1 kan vi for eksempel forutsi at familien etter 3 timer, altså 12 kvarter, vil ha kjørt om lag f(12) = 20 · 12 = 240 km.

Et svært interessant eksempel på matematisk modellering er himmellegemenes bevegelser. Gjennom århundrer er himmellegemene blitt observert, og mer og mer nøyaktige modeller for deres bevegelser utarbeidet. Ved hjelp av disse modellene kan en nå forutse astronomiske begivenheter som solformørkelser, måneformørkelser, kometbesøk og venuspassasjer på sekundet.

Eksempel 1 er en lineær modell fordi vi modellerer med en lineær funksjon, altså en funksjon på formen f(x) = ax + b. Men mange fenomener vil ikke være lineære.

Eksempel 2:

Et plott av antall mobilabonnementer i Norge fra 1980 til 2000 er vist under:

En eksponentiell modell

Grafen til en lineær funksjon er ei rett linje, og vi ser at vi ikke kan klare å trekke ei rett linje i nærheten av alle punktene. Derfor kan vi ikke bruke en lineær modell. I dette tilfellet har vi eksponentiell vekst, og må bruke en eksponentiell modell, slik det er beskrevet i artikkelen om eksponentialfunksjoner.

Lineære modeller

Som nevnt i artikkelen om polynomfunksjoner, er det nok å finne to punkter for å tegne grafen til en lineær funksjon, den er ei rett linje. Har vi gitt to punkter, kan vi også gå andre veien og finne funksjonsforskriften til grafen som går gjennom punktene. Det samme hvis vi kjenner ett punkt og stigningstallet til linja:

Koeffisienten a i den lineære funksjonen f(x) = ax + b er funksjonens stigningstall, og b er skjæringspunktet med y-aksen. Hvis a > 0, skrår linja oppover mot høyre. Hvis a < 0, skrår linja nedover mot høyre. Hvis a = 0, går linja parallelt med x-aksen i avstand b.

Hvis vi kjenner stigningstallet til ei linje og et punkt (x1, y1) på linja, kan vi finne funksjonsforskriften ved å sette a lik stigningstallet og finne b av likningen y1 = ax1 + bb = y1 ax1.

Oppgave 1:

Stigningstallet til ei linje er −1, og den går gjennom punktet (1, 2). Finn funksjonsforskriften for linja.

Se løsningsforslag

Hvis stigningstallet, a, i utgangspunktet er ukjent, men vi kjenner to punkter, (x1, y1) og (x2, y2) på linja, kan vi beregne a. Stigningstallet sier hvor mye y endrer seg når x endrer seg, så
$a = \frac{\displaystyle y_2 – y_1}{\displaystyle x_2 – x_1}$

Oppgave 2:

Ei linje går gjennom punktene (−2, −1) og (1, 5). Finn funksjonsforskriften for linja.

Se løsningsforslag

Grafer

Som vi har sett i flere artikler, er grafer en fin måte å danne seg et bilde av en funksjon på. For å tegne en graf, lager vi først et koordinatsystem med x– og y-akse i rett vinkel på hverandre, der x-aksen går horisontalt mot høyre, og y-aksen går vertikalt oppover. Dette kalles et kartesisk koordinatsystem, oppkalt etter matematikeren og filosofen René Descartes.

Så velger vi en del x-verdier, regner ut den tilhørende y-verdien og plotter punktene (x, y) i koordinatsystemet. Deretter trekker vi ei linje mellom dem. 

Har vi en lineær funksjon, er det nok med to punkter for å tegne grafen, som er ei rett linje. For andre funksjoner kan det kreves en mengde punkter for å få en god graf.

Ofte bruker vi dataprogrammer som GeoGebra til å tegne grafer, men å tegne en graf for hånd gir styrket forståelse.

Når vi tegner en graf, må vi også bestemme oss for hvilke verdier vi vil ha på aksene. Det finnes ingen fasit på dette, men som en tommelfingerregel bør vi velge verdier som gir en stor og tydelig graf.

Forholdet mellom verdiene på x– og y-aksen vil også ha betydning for hvordan grafen ser ut. Begge figurene under viser for eksempel grafen til f(x) = x2, men i det ene bildet er forholdet mellom aksene 1:1 og i det andre 1:10. Det siste gir en mye mer flattrykt graf.

Eksempel på akseverdienes betydning for grafens utseende Eksempel på akseverdienes betydning for grafens utseende

Akseverdiene trenger heller ikke alltid starte på null. I eksempel 2, med mobilabonnementene, starter for eksempel x-verdien på 1978, det ville være meningsløst å starte på 0 og ha en akse full av år da det ikke fantes mobiltelefoner.

Å velge «smarte» verdier på aksene kan brukes til å lage en graf som skaper et ønsket inntrykk. Dette ser vi av og til i media. Plottet under viser antall etterforskede forbrytelser i perioden 1997 til 1999. Den gir inntrykk av en formidabel økning, mens økningen i virkeligheten bare er ca. 10 %. Dette inntrykket skapes ved at vi på y-aksen ikke har startet på 0, men på ca. 376 000.

Eksempel på akseverdienes betydning for grafens utseende

Janviermatrisen

En systematisk sammenstilling av de 4 representasjonsformene finner vi i Janviermatrisen, eller Janviers tabell.

Fra/Til Situasjon Tabell Graf Funksjonsforskrift
Situasjon   Måling (1) Skisse (2) Modellering (3)
Tabell Avlesning (4)   Plotting (5) Tilpasning (6)
Graf Tolkning (7) Avlesning (8)   Kurvetilpasning (9)
Funksjonsforskrift Gjenkjenning (10) Beregning (11) Plotting (12)  

De forskjellige overgangene er:

  1. Måling. Vi utfører en aktivitet, gjør målinger underveis, og setter disse opp i en tabell.
     
  2. Skisse. Vi utfører en aktivitet og skisserer en graf som illustrerer aktiviteten, for eksempel fart som funksjon av tiden.
     
  3. Modellering. Vi utfører en aktivitet og prøver å finne en funksjonsforskrift som beskriver aktiviteten.
     
  4. Avlesning. Vi leser av innholdet i en tabell og beskriver en aktivitet disse dataene passer med.
     
  5. Plotting. Vi tegner punktene i en tabell inn i et koordinatsystem.
     
  6. Tilpasning. Basert på dataene i en tabell prøver vi å finne en funksjonsforskrift som vil gi samme data.
     
  7. Tolkning. Vi prøver å finne en virkelig situasjon som samsvarer med en graf.
     
  8. Avlesning. Vi leser av grafen for et antall x-verdier, finner de tilhørende y-verdiene og setter resultatet inn i en tabell.
     
  9. Kurvetilpasning. Vi prøver å finne en funksjonsforskrift som passer til grafen.
     
  10. Gjenkjenning. Vi prøver å finne en situasjon funksjonsforskriften beskriver.
     
  11. Beregning. Vi setter et antall x-verdier inn i en funksjon, får ut de tilhørende y-verdiene og setter resultatene opp i en tabell.
     
  12. Plotting. Som i punkt 11, men vi tegner en graf basert på x– og y-verdiene i stedet for å lage en tabell.

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
    • Selvik, B. K. (2007). Algebra og funksjonslære. Caspar forlag

Nullpunkter og ekstremalpunkter

Nullpunkter

En funksjons nullpunkter er eventuelle punkter der funksjonsverdien er 0. Grafisk sett er dette de punktene der grafen skjærer x-aksen.

Eksempel 1:

Under vises grafen til funksjonene f(x) = x2 + x − 2 med blått og g(x) = x2 + x + 2 med grønt. Vi ser at den blå grafen skjærer x-aksen i −2 og 1, så (−2, 0) og (1, 0) er nullpunktene til f(x). Den grønne grafen skjærer ikke x-aksen, så g(x) har ingen nullpunkter.

 

Grafer til funksjoner med og uten nullpunkter

 

Nullpunktene til en funksjon, f(x), finner vi ved å løse den tilhørende likningen f(x) = 0. For en andregradsfunksjon er det lett, for andre funksjoner kan det være vanskelig. Men hvis vi vet at en kontinuerlig funksjon har både positive og negative verdier, kan vi ved hjelp av skjæringssetningen slå fast at den i det minste har ett nullpunkt.

$\fbox {$\begin{align} &\text{Skjæringssetningen: } \\
&\text{Hvis } f \text{ er kontinuerlig på } [a, b] \text{, og } K \text{ er et tall mellom } f(a) \text{ og } f(b) \text{,} \\
&\text{så finnes en } c \in [a, b] \text{, slik at } f(c) = K
\end{align}$}$

Med andre ord vil en funksjon, f(x), som er kontinuerlig i et intervall, [a, b], anta alle mulige verdier mellom f(a) og f(b). Dersom f(a) og f(b) har forskjellig fortegn, innbefatter dette verdien 0.

Eksempel 2:

Grafen under viser funksjonen f(x) = x3 + 2x2 − 2x + 1 definert på intervallet [−3, 1].

Graf til funksjon med ett nullpunkt

Siden funksjonen er kontinuerlig, sier skjæringssetningen at funksjonen kan anta alle mulige verdier mellom f(−3) = −2 og f(1) = 2, det vil si intervallet [−2, 2]. Siden 0 ligger i dette intervallet, betyr det at funksjonen har minst ett nullpunkt.

En polynomfunksjon av odde grad, det vil si en førstegradsfunksjon, tredjegradsfunksjon, femtegradsfunksjon, osv. er kontinuerlig på hele $\mathbb{R}$. Siden funksjonsverdien går mot minus uendelig når x går mot minus uendelig, og mot pluss uendelig når x går mot pluss uendelig, betyr det at funksjonen kan anta alle mulige verdier, deriblant 0. En polynomfunksjon av odde grad har derfor alltid minst ett nullpunkt. Det betyr at den tilhørende likningen har minst én løsning.

Eksempel 3:

Vi skal avgjøre om fjerdegradsfunksjonen f(x) = 3x4 + 8x3 − 6x2 − 24x + 6 har nullpunkter, når vi vet at den har et minimumspunkt i f(1) = −13.

Vi vet at funksjonsverdien til en polynomfunksjon går mot uendelig når x går mot uendelig. Funksjonen f(x) vil derfor kunne anta alle mulige verdier i et intervall fra −13 til uendelig. Siden 0 ligger i dette intervallet garanterer skjæringssetningen at f(x) har minst ett nullpunkt. Det betyr at likningen f(x) = 0 har minst én løsning.

Oppgave 1:

Vis at likningen x5 + x4 + x3 + x − 1 = 0 har en løsning i intervallet [−1, 1].

SkjermfilmSe film med løsningsforslag
 

Ekstremalpunkter

En funksjon har et globalt maksimumspunkt der funksjonsverdien er høyest, og et globalt minimumspunkt der funksjonsverdien er lavest. Mer formelt sier vi at:

$\fbox {$\begin{align} &\text{En funksjon, } f \text{, har et } \\
&\text{globalt maksimumspunkt for } x = a \text{ hvis } f(x) \le f(a) \text{ for alle } x \text{ i definisjonsmengden } \\
&\text{globalt minimumspunkt for } x = a \text{ hvis } f(x) \ge f(a) \text{ for alle } x \text{ i definisjonsmengden}
\end{align}$}$

Andre ord for maksimumspunkt er maksimalpunkt eller toppunkt. Andre ord for minimumspunkt er minimalpunkt eller bunnpunkt.

Maksimumspunkter og minimumspunkter kalles med et fellesnavn ekstremalpunkter. Av og til kalles globale ekstremalpunkter for absolutte ekstremalpunkter.

En funksjon som er definert for hele $\mathbb{R}$, trenger ikke ha noen globale maksimums- eller minimumspunkter. For eksempel strekker f(x) = x3 seg fra minus uendelig til pluss uendelig, funksjonen har ingen største eller minste verdi. For en funksjon som er definert på et lukket intervall, [a, b], garanterer imidlertid ekstremalverditeoremet at funksjonen alltid vil ha minst ett globalt maksimumspunkt og minst ett globalt minimumspunkt. Dette er intuitivt riktig. Minst ett sted må være øverst og minst ett sted må være nederst på en graf som ikke går mot uendelig.

Ekstremalverdier kan også være lokale. Det vil si at en funksjon har et maksimums- eller minimumspunkt en plass, men kan ha et punkt med større eller mindre verdi en annen plass. Mer formelt sier vi at:

$\fbox {$\begin{align} &\text{En funksjon, } f \text{, har et } \\
&\text{lokalt maksimumspunkt for } x = a \text{ hvis } f(x) \le f(a) \text{ i en omegn om } a\\
&\text{lokalt minimumspunkt for } x = a \text{ hvis } f(x) \ge f(a) \text{ i en omegn om } a
\end{align}$}$

Alle globale ekstremalpunkter er også lokale.

Eksempel 4:

Grafen under viser funksjonen f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1.

Illustrasjon av ekstremalverdier i funksjon uten avgrensninger

Her ser vi at A er et globalt minimumspunkt for f(x), fordi dette er grafens laveste punkt. C er også et minimumspunkt, men det er kun lokalt fordi C bare er laveste punkt i en viss omegn. B er et maksimumspunkt for f(x), men det er kun lokalt fordi B bare er høyeste punkt i en viss omegn. Funksjonen har ingen globale maksimumspunkter fordi funksjonsverdien vokser mot uendelig.

Eksempel 5:

Grafen under viser samme funksjon som eksempel 4, men med definisjonsområdet begrenset til [−4, 1].

Illustrasjon av ekstremalverdier i funksjon med avgrensninger

Grafen har nå fått to endepunkter, D og E. Endepunktene vil alltid utgjøre maksimums- eller minimumspunkter. I eksemplet over er begge maksimumspunkter. D er lokalt fordi punktet bare ligger øverst i en viss omkrets, mens E er globalt fordi punktet ligger øverst i hele definisjonsområdet.

Oppgave 2:

Studer grafen under og klassifiser ekstremalpunktene A, B, C og D.

Oppgave med klassifikasjon av ekstremalverdier

SkjermfilmSe film med løsningsforslag
 

For å finne ekstremalpunktene til en vilkårlig funksjon brukes derivasjon, som behandles i en serie artikler på dette nettstedet.

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Polynomfunksjoner

Alle funksjonene vi møtte i artikkelen om funksjonsbegrepet var polynomfunksjoner. Polynomfunksjoner er enkle, og er derfor praktiske å starte med når vi skal lære om funksjoner. Polynomfunksjoner inneholder bare summer og differanser av konstanter multiplisert med ikke-negative, heltallige potenser av den uavhengige variabelen. Den høyeste potensen av variabelen angir polynomfunksjonens grad.

Konstantfunksjoner

Den enkleste polynomfunksjonen er på formen f(x) = a, der a er en konstant, et vilkårlig tall. Grafen til denne funksjonen er ei rett linje, parallell med x-aksen, som skjærer y-aksen i a. For eksempel f(x) = 3, som vist under:

Graf til funksjonen f(x) = 3

En konstantfunksjon kan kalles en polynomfunksjon av grad 0, fordi den kan skrives som f(x) = ax0.

Førstegradsfunksjoner (Lineære funksjoner)

Den nest enkleste polynomfunksjonen er på formen f(x) = ax + b, der a og b er konstanter, a ≠ 0. Dette kalles en førstegrads polynomfunksjon fordi høyeste potens av x er 1. Førstegrads polynomfunksjoner kalles også gjerne lineære funksjoner. Grafene til lineære funksjoner er rette linjer. Konstanten a angir hvor kjapt funksjonsverdien stiger, og kalles funksjonens stigningstall. Konstanten b angir hvor linja skjærer y-aksen.

Eksempel 1:

Grafene til $f(x) = 2x$, $f(x) = \frac{1}{2}x$ og $f(x) = −x$ er vist under, med henholdsvis rødt, grønt og blått. Den røde linja har stigningstall 2, y-verdien øker med 2 for hver gang x-verdien øker med 1. Den grønne linja har stigningstall $\frac{1}{2}$, y-verdien øker med $\frac{1}{2}$ for hver gang x-verdien øker med 1. Den blå linja har stigningstall −1, y-verdien avtar med 1 for hver gang x-verdien øker med 1.

Grafene til f(x) = 2x, f(x) = 1/2x og f(x) = -x

 

Eksempel 2:

Grafene til $f(x) = 2x$, $f(x) = 2x + 3$ og $f(x) = 2x − 3$ er vist under med henholdsvis rødt, grønt og blått. Vi ser at alle har stigningstall 2, men linjene skjærer y-aksen i henholdsvis 0, 3 og −3, tilsvarende konstanten b.

Grafene til f(x) = 2x, f(x) = 2x+3 og f(x) = 2x-3

 

For å tegne grafen til en lineær funksjon, trenger vi bare to punkter. En vanlig feil blant elever og studenter er at de beregner en mengde punkter og så skisserer grafen etter dem. På grunn av unøyaktighet blir resultatet gjerne en bølget linje. Men grafen til en lineær funksjon er alltid snorrett.

Ett av punktene som trengs har vi allerede, nemlig skjæringspunktet med y-aksen: (0, b). Det andre finnes også lett ved å sette inn en annen verdi av x som er enkel å regne med, for eksempel 1.

Oppgave 1:

Skisser grafen til f(x) = 2x + 1.

Se løsningsforslag

Andregradsfunksjoner

Bygger vi ut en førstegradsfunksjon med et ledd med x2, får vi en andregradsfunksjon, generelt angitt som f(x)= ax2 + bx + c. I denne inngår tre konstanter, a, b og c, a ≠ 0. Grafen til andregradsfunksjoner er ikke en rett linje, men en parabel. Stigningstallet er ikke konstant, men varierer med x-verdien.

Eksempel 3:

Figuren under viser grafen til andregradsfunksjonen f(x)= 2x2x − 3. Her er altså a = 2, b = −1 og c = −3.

grafen til funksjonen f(x)=2x^2 -x -3

Eksempler på fenomener som beskrives av andregradsfunksjoner er:

  • Overflaten til geometriske figurer. For eksempel er flateinnholdet av et kvadrat gitt som en funksjon av sidelengden l, ved f(l) = l2.
     
  • Et objekts kinetiske energi øker med kvadratet av farten. Det betyr for eksempel at en bils bremselengde også øker med kvadratet av farten. Vi kan beskrive det med en funksjon som f(v) = kv2, der k er en konstant og v er farten. (Det er vanlig å bruke v – velocity som symbol for fart.)
     
  • En ball som kastes oppover med en hastighet på 15 meter per sekund fra en høyde på 2 meter, vil på et gitt tidspunkt ha høyde gitt ved om lag f(t) = −5t2 + 15t + 2 meter, der t er tiden i sekunder. Generelt, hvis den kastes med b meter per sekund fra høyde c meter, vil høyden være gitt ved om lag f(t) = −5t2 + bt + c meter.
    Konstanten 5 er egentlig en tilnærming til $\large \frac{g}{2}$, der g er tyngdens akselerasjon, ca. 9,8 ms−2.

I avsnittet om førstegradsfunksjoner så vi hva konstantene a og b betydde for grafen. For grafen til en andregradsfunksjon betyr a, b og c at:

  • Grafen blir krappere jo høyere a blir.
     
  • Når a > 0 vender grafen sin hule side opp, når a < 0 vender grafen sin hule side ned. Huskeregel: Grafen smiler når a er positiv.
     
  • Når b endres, skyves grafen langs en kurve sidelengs uten at formen endres.
     
  • Når c endres, skyves grafen rett opp og ned uten at formen endres. c er skjæringspunktet med y-aksen.
     
  • Når grafen skjærer x-aksen, skjer det med x-verdier som er løsningene til likningen f(x) = 0, altså
    $x_1 = \frac{\displaystyle −b − \sqrt{b^2 – 4ac}}{\displaystyle 2a}$
    og
    $x_2 = \frac{\displaystyle −b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{\displaystyle 2a}$
    slik det er beskrevet i algebra-artikkelen om andregradslikninger.
     
  • Grafen er symmetrisk, det vil si at et maksimumspunkt (toppunkt) eller minimumspunkt (bunnpunkt) vil ligge midt mellom skjæringspunktene med x-aksen. Vi kan finne x-verdien til dette punktet ved å beregne gjennomsnittsverdien til skjæringspunktene:
    $\frac{\displaystyle x_1 + x_2 }{\displaystyle 2} = \frac{\frac{\Big(\displaystyle -b – \sqrt{b^2 – 4ac }\Big)+ \Big(-b + \sqrt{b^2 – 4ac}\Big)}{\displaystyle 2a}}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle -2b}{\displaystyle 4a} = -\frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2a}$

Basert på disse opplysningene kan vi lage en skisse av grafen.

Oppgave 2:

Skisser grafen til f(x) = x2 + 2x − 3.

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

Gitt andregradsfunksjonen f(x) = x2 − 2x − 3. Analyser funksjonen og svar på følgende spørsmål:

  1. Vender grafen sin hule side opp eller ned?
     
  2. Hva er grafens skjæringspunkt med y-aksen?
     
  3. Hva er grafens skjæringspunkter med x-aksen?
     
  4. Hva er grafens maksimums/minimumspunkt?

Se løsningsforslag

Polynomfunksjoner generelt

Vi kan bygge videre på andregradsfunksjonen ved å legge til et tredjegradsledd, x3, et fjerdegradsledd, x4, og så videre. Hvert ledd multipliserer vi med en konstant. I andregradsfunksjonen brukte vi a, b og c som navn på konstantene. I tredjegradsfunksjonen legger vi til en konstant, d, og får uttrykket f(x)= ax3 + bx2 + cx + d. Slik kan vi fortsette, men tar vi med mange nok potenser av x, vil vi slippe opp for bokstaver. Vi kaller derfor i stedet konstantene a0, a1 og så videre opp til an. Det generelle uttrykket for en polynomfunksjon blir da:

anxn + an−1xn−1 + ⋯ + a1x + a0

Konstantene i uttrykket, altså an, an1, ⋯, a0 kalles gjerne koeffisienter. Bortsett fra den første koeffisienten, an, kan hvilken som helst av koeffisientene være 0.

Eksempel 4:

f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1 er en polynomfunksjon av fjerde grad.
Koeffisientene er henholdsvis 1, 6, 7, −5 og −1.

Grafen til denne polynomfunksjonen er vist under.

 

Grafen til funksjonen f(x) = x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 5x -1

Eksempel 5:

f(x) = −x5 + 3x2 − 2 er en polynomfunksjon av femte grad.

Koeffisientene er henholdsvis −1, 0, 0, 3, 0 og −2.

Definisjonsmengden til en polynomfunksjon er alle reelle tall, $D_f = \mathbb{R}$. Verdimengden vil variere fra funksjon til funksjon. For polynomfunksjoner av odde grad vil det være hele $\mathbb{R}$. For polynomfunksjoner av like grad vil det være [ymin, ∞) hvis an > 0 og (−∞, ymaks] hvis an < 0, der ymin og ymaks er y-verdien til funksjonens minimums/maksimumspunkt.

Kilder

    • Finney, T. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison Wesley.

Funksjonsbegrepet

Hva er en funksjon?

Eksempel 1:

Dersom en bil kjører i 50 km/t, vil den etter x timer ha kjørt 50 · x kilometer. For eksempel har den etter x = 2 timer kjørt 50 · 2 = 100, altså 100 kilometer, og etter x = 3,5 timer 50 · 3,5 = 175, altså 175 kilometer. Uttrykket 50 · x er en formel som for alle mulige verdier av antall timer, x, gir oss svar på hvor langt bilen har kjørt. Det er for øvrig vanlig å sløyfe multiplikasjonstegnet i slike tilfeller, så vi skriver bare 50x.

En slik formel kalles gjerne en funksjon, og skrives f(x). I eksempel 1 har vi at f(x) = 50x. Uttrykket som beskriver hva funksjonen gjør, altså 50x, kalles gjerne funksjonsforskriften.

Eksempel 2:

Dersom en ball slippes fra et fly, vil den etter x sekunder ha falt om lag 5x2 meter, hvis vi ikke tar hensyn til luftmotstand. Funksjonen som beskriver om lag hvor langt den har falt etter x sekunder er altså f(x) = 5x2.

Vi kan se for oss en funksjon, f, som en boks der vi putter inn en verdi, x, og får ut en ny verdi, f(x), slik som illustrert under

Illustrasjon av funksjon som boks med data inn og ut

I stedet for f(x) skriver vi av og til y, for eksempel y = 5x2.

x og y kalles variabler. x heter uavhengig variabel fordi den kan varieres fritt. y heter avhengig variabel fordi verdien avhenger av verdien til x.

Dersom vi velger et tall, xa, og putter det inn i funksjonen, skriver vi f(a). Dersom vi for eksempel putter x = 3 inn i funksjonen i eksempel 1, får vi f(3) = 50 · 3 = 150.

Definisjons- og verdimengde

Selv om x er uavhengig, kan det finnes begrensninger på hvilke verdier som er tillatt. I eksempel 1 må vi for eksempel ha at x ≥ 0 fordi bilen ikke kan ha kjørt i mindre enn 0 timer. Hvis bilen stopper etter 5 timer, betyr det videre at x ≤ 5. I eksempel 2 må vi av samme grunn ha x ≥ 0, og det vil finnes en øvre grense for x bestemt av når ballen treffer bakken.

Mengden av tillatte verdier for x kalles funksjonens definisjonsmengde, Df. Hvis bilen i eksempel 1 stopper etter 5 timer, har vi at Df = [0, 5], altså mengden av alle reelle tall fra og med 0 til og med 5.

Mengden av tall funksjonen kan gi ut kalles funksjonens verdimengde, Vf. Hvis bilen i eksempel 1 stopper etter 5 timer, har vi at Vf = [0, 250], fordi når x (antall timer) varierer mellom 0 og 5, varierer f(x) (antall kilometer) mellom 0 og 250.

Oppgave 1:

Sidene i en rektangulær innhegning er henholdsvis x og 5 − x, slik som vist under:
Illustrasjon av innhegning

      1. Finn funksjonen, f(x), som beskriver hvordan arealet i innhegningen varierer med x.
         
      2. Hva er funksjonens definisjonsmengde?

Se løsningsforslag

Vi spurte ikke etter verdimengden i oppgave 1, den er ikke så lett å finne i dette tilfellet. I eksempel 1 fant vi grensene til verdimengden ved å sette grensene til definisjonsmengden inn i funksjonen, f(0) = 0 og f(5) = 250. Tilsvarende metode vil vi også kunne bruke på eksempel 2. Men i oppgave 1 får vi den laveste verdien ved begge grensene, f(0) = 0 og f(5) = 0. Den øvre verdien vil vi få for en x som ligger et sted mellom 0 og 5. På grunn av symmetrien skjønner vi kanskje at vi får størst areal når x ligger midt mellom 0 og 5, f(2,5) = 6,25. Verdimengden er Vf = [0, 6,25].

Grafer

For å illustrere hvordan f(x) varierer med x, er det vanlig å tegne en graf. Vi lager et koordinatsystem ved å la en vertikal tallinje stå vinkelrett på en horisontal tallinje, og plotter x horisontalt og f(x) vertikalt. Dette finnes en mengde dataprogrammer til å tegne grafer, vi skal fokusere på GeoGebra. Avanserte kalkulatorer kan også tegne grafer.

Grafene til eksempel 1, eksempel 2 og oppgave 1 er vist under. Legg merke til at vi bare tegner graf for verdier av x som er innenfor definisjonsmengden.

Grafen til f(x)=50x

Grafen til f(x) = 5x^2

Grafen til f(x) = -5x^2 + 5x

Navnsetting og konvensjoner

Fram til nå har vi hele tiden kalt den uavhengige variabelen for x, og funksjonen for f. Det er imidlertid helt i orden å bruke andre navn. I situasjoner der den uavhengige variabelen representerer tid, som i eksempel 1 og 2, er det vanlig å kalle variabelen t. I eksempel 1 ville vi for eksempel hatt f(t) = 50t. Arbeider vi med flere funksjoner samtidig, bør de ha forskjellig navn, for eksempel g(x), h(x), etc. g og h er valgt fordi de kommer etter f i alfabetet, men vi kan også godt velge navn som indikerer hva funksjonen gjør. v for en funksjon som beregner volum, eller a for en funksjon som beregner areal, slik som i oppgave 1, a(x) = −x2 + 5x.

Vi sa tidligere at vi kan skrive en enkelt bokstav, y, i stedet for det mer omstendelige f(x). Hva skal vi så velge – og når? Begge notasjonene har sine fordeler, f(x) indikerer tydelig at det dreier seg om en funksjon. Arbeider vi med flere funksjoner samtidig, kan vi lett skille dem fra hverandre ved å gi dem forskjellige navn, g(x), h(x), etc. I andre sammenhenger kan denne notasjonen bli litt klumpete. Det er for eksempel enklere å angi et punkt som (x, y) enn som (x, f(x)).

Selv om vi står fritt til å velge navn, er det allikevel konvensjoner vi bør respektere. Har vi for eksempel to variable, x og y, er det vanlig at x er den uavhengige og y er den avhengige variabelen. Å bytte disse rundt, slik som i x = f(y) vil skape forvirring. Så vi må håndtere at funksjoner og variable kan ha mange forskjellig navn, men samtidig være oppmerksom på at det finnes konvensjoner vi bør følge.

Kilder

    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget