Delvis integrasjon
Generelt har vi ingen regel for å integrere et produkt. Men delvis integrasjon gir oss et verktøy som kan gjøre det mulig å integrere produkter der en faktor blir enklere når den blir derivert eller integrert.
Delvis integrasjon baserer seg på produktregelen for derivasjon:
(uv)′ = (u)′v + u(v)′
Integrerer vi begge sider i produktregelen, får vi:
$\int(uv)’ \; dx = \int u’v \; dx + \int uv’ \; dx$
Derivasjon og integrasjon opphever hverandre, så dette er det samme som:
$uv = \int u’v \; dx + \int uv’ \; dx$
Bytter vi så om på leddene, får vi formelen for delvis integrasjon:
$\fbox{$\int u’v \; dx = uv – \int uv’ \; dx$}$
Det kan se ut som vi ikke har oppnådd så mye, men et eksempel vil klargjøre.
Eksempel 1:
Vi skal beregne integralet $\int \sin x (2x + 1) \; dx$
Her har vi et produkt av to faktorer, sin x og (2x + 1), som ikke kan integreres direkte. Men vi kan bruke delvis integrasjon:
Vi setter
u′ = sin x
og får
$u = \int u’ dx = \int \sin x \, dx = – \cos x$ (Integrasjonskonstanten C dropper vi foreløpig og setter inn helt til slutt)
Vi setter
v = (2x + 1)
og får
v′ = 2
Så
uv = -cos x (2x + 1)
og
uv′ = -cos x · 2
Og integralet vårt blir, ifølge formelen for delvis integrasjon
$\int \sin x (2x + 1) \; dx = -\cos x (2x + 1) – \int (-\cos x \cdot 2 ) \; dx = \\
-(2x + 1) \cos x + 2 \int \cos x \; dx = -(2x + 1) \cos x + 2 \sin x + C$
Det store poenget i eksempel 1 var at faktoren (2x + 1) ble redusert til konstanten 2.
Men hva om faktorene i eksempel 1 hadde vært byttet om, slik som i eksempel 2?
Eksempel 2:
Vi skal beregne integralet $\int (2x + 1) \sin x \; dx$
Bruker vi formelen for delvis integrasjon direkte, får vi
u′ = 2x + 1, som gir $u = \int u’ dx = \int (2x + 1) dx = x^2 + x$
og
v = sin x, som gir v′ = (sin x)′ = cos x.
Så
uv = (x2 + x) · sin x og uv′ = (x2 + x) · cos x.
Og integralet vårt blir, ved delvis integrasjon
$\int (2x + 1) \sin x \; dx = (x^2 + x) \sin x – \int (x^2 + x) \cos x$
I eksempel 2 fikk vi noe som var verre enn det vi startet med. Men faktorenes orden er likegyldig, så eksempel 2 er nøyaktig det samme som eksempel 1, problemet er bare at vi har valgt u′ og v på en klønete måte. Det er ikke slik at første faktor må være u′ og andre faktor v. Hva som skal være hva velger vi selv:
Ved delvis integrasjon bør vi, hvis mulig, velge u′ slik at u blir enklere ved integrasjon, og v slik at v′ blir enklere ved derivasjon.
I eksempel 1 fikk vi – cos x i stedet for sin x, det var ikke noen forenkling, men heller ingen forverring. Og vi fikk 2 i stedet for (2x + 1), noe som var en forenkling. Men i eksempel 2 fikk vi x2 + x i stedet for 2x + 1, noe som var en forverring.
Se film med eksempel på delvis integrasjon
Bruk delvis integrasjon til å beregne integralet $\int (x + 1)e^{-x} \; dx$
Bruk delvis integrasjon til å beregne integralet $\int e^x(3x + 2) \; dx$
Av og til kan det være vi må gjøre et lite triks for å kunne bruke delvis integrasjon, slik som i eksempel 3.
Eksempel 3:
Vi skal beregne integralet $\int \ln x \; dx$
Her hadde det jo vært fint å kunne bruke delvis integrasjon, for da kunne vi hatt $v = \ln x$, og $v’ = {\large \frac{1}{x}}$. Men her er jo bare en faktor, og i delvis integrasjon må vi ha to. Vel, vi lager oss bare en faktor til:
$\int \ln x \; dx = \int 1 \cdot \ln x \; dx$
For multiplikasjon med 1 endrer jo ikke noe. Og nå kan vi bruke delvis integrasjon. Vi setter
v = ln x, som gir $v’ = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$
og
u′ = 1, som gir u = x
Så $uv = x \ln x$ og $uv’ = x \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$
Og vi får
$\int \ln x \; dx = x \ln x – \int x \frac{1}{x} \; dx = x \ln x – \int 1 \; dx = x \ln x – x + C = x(\ln x -1) + C$
Av og til kan det være vi må bruke delvis integrasjon flere ganger, slik som i eksempel 4.
Eksempel 4:
Vi skal beregne integralet $\int e^x x^2 \; dx$
ex endrer seg ikke ved derivasjon eller integrasjon, men x2 blir enklere ved derivasjon, så vi velger
v = x2, som gir v′ = 2x
og
u′ = ex, som gir u = ex
Så uv = ex · x2 og uv′ = ex · 2x
Og vi får
$\int e^x x^2 \; dx = e^x \, x^2 – 2\int e^x \, x \; dx$
Vi har kommet et stykke på vei, for x2 er blitt redusert til x i integrasjonsuttrykket. Men helt i mål er vi ikke, for vi kan ikke integrere $\int e^x \, x$ direkte. Vi må bruke delvis integrasjon en gang til, med
v = 2x, som gir v′ = 2
og, som i sted
u′ = ex, som gir u = ex
Så uv = ex · 2x og uv′ = 2ex
Og vi får
$- 2\int e^x \, x \; dx = e^x \, 2x – 2 \int e^x \; dx = e^x \, 2x – 2 e^x + C = 2e^x(x – 1) + C$
Setter vi det hele sammen, får vi
$\int e^x x^2 \; dx = e^x \, x^2 – 2e^x(x – 1) + C = e^x(x^2 – 2x + 2) + C$
Delvis integrasjon med gjentatt ledd
Av og til kan det se ut som en delvis integrasjon har gått i sirkel, for integralet vi startet med har dukket opp igjen på høyre side av likhetstegnet. Noe slikt, der a og b er vilkårlige uttrykk:
$\int a \; dx = b – \int a \; dx$
Her har altså leddet $\int a$ dukket opp igjen på høyre side. Men siden det har motsatt fortegn, får vi følgende hvis vi flytter det over på venstre side:
$2\int a \; dx = b$
Dividerer vi så med 2 på begge sider, og setter på integrasjonskonstanten, er vi i mål:
$\int a \; dx = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2} + C$
Eksempel 5:
Vi skal beregne integralet $\int \cos^2 x \; dx$
cos2 x betyr cos x · cos x, så vi kan bruke delvis integrasjon med
v = cos x, som gir v′ = -sin x
og
u′ = cos x som gir u = sin x
Så uv = sin x · cos x og uv′ = sin x · (-sin x)
og vi får, ved formelen for delvis integrasjon
$\int \cos^2 x \; dx = \sin x \cdot \cos x – \int \sin x \ (-\sin x) \; dx = \sin x \cdot \cos x + \int \sin^2 x \; dx$
Så benytter vi at sin2 x = 1 – cos2 x:
$\int \sin^2 x \; dx = \int (1 – \cos^2 x) \; dx = x – \int \cos^2 x \; dx$
Setter vi inn i det opprinnelige integralet, får vi
$\int \cos^2 x \; dx = \sin x \cdot \cos x + x – \int \cos^2 x \; dx$
Så flytter vi integralet over på venstre side, og får
$2\int \cos^2 x \; dx = \sin x \cdot \cos x + x$
Til slutt dividerer vi med 2 på begge sider, og setter på integrasjonskonstanten:
$\int \cos^2 x \; dx = \frac{\displaystyle \sin x \cdot \cos x + x}{\displaystyle 2} + C$
Eventuelt kan vi skrive resultatet om ved hjelp av en trigonometrisk identitet for doble vinkler:
$\int \cos^2 x \; dx = \frac{\displaystyle \sin 2x + 2x}{\displaystyle 4} + C$
Se film med eksempel på delvis integrasjon med gjentatt ledd
Bruk delvis integrasjon til å beregne integralet $\int e^x \sin x \; dx$
Delvis integrasjon med bestemte integraler
Dersom vi skal beregne et bestemt integral ved delvis integrasjon kan vi enten
- Først beregne det ubestemte integralet og deretter sette inn integrasjonsgrensene
eller
- Sette inn integrasjonsgrensene i formelen for delvis integrasjon
$\int\limits_a^b u’v \; dx = \big[uv]_a^b – \int\limits_a^b uv’ \; dx$
Eksempel 6:
Vi skal finne $\int\limits_0^\pi x \cos x \; dx$
Vi setter
v = x, som gir v′ = 1
og
u′ = cos x som gir u = sin x
Så uv = sin x · x og uv′= sin x · 1
Vi bruker først metode 1:
Det ubestemte integralet blir
$\int x \cos x \; dx = x \sin x – \int \sin x \; dx = x \sin x + \cos x + C$
Og det tilhørende bestemte integralet
$\int\limits_0^\pi x \cos x \; dx = \big[x \sin x + \cos x\big]_0^\pi = \pi \sin \pi + \cos \pi – (0 \cdot \sin 0 + \cos 0) = \pi \cdot 0 -1 -( 0 \cdot 0 + 1) = -2$
Så metode 2, der vi setter inn integrasjonsgrensene inn i formelen for delvis integrasjon:
$\int\limits_0^\pi x \cos x \; dx = \big[x \sin x \big]_0^\pi – \int\limits_0^\pi \sin x \; dx = (\pi \sin \pi – 0 \cdot \sin 0) – \big[-\cos x \big]_0^\pi =\\
(0 – 0) + \big[\cos \pi – \cos 0 \big] = 0 + \big[-1 – 1\big] = -2$
I metode 2 må vi sette inn integrasjonsgrensene to plasser, så metode 1 er ofte enklere.
Kilder
- Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget