Delvis integrasjon

Generelt har vi ingen regel for å integrere et produkt. Men delvis integrasjon gir oss et verktøy som kan gjøre det mulig å integrere produkter der en faktor blir enklere når den blir derivert eller integrert.

Delvis integrasjon baserer seg på produktregelen for derivasjon:

$(uv)' = u'v + uv'$

Integrerer vi begge sider i produktregelen, får vi:

$\int(uv)' \; dx = \int u'v \; dx + \int uv' \; dx$

Derivasjon og integrasjon opphever hverandre, så dette er det samme som:

$uv = \int u'v \; dx + \int uv' \; dx$

Bytter vi så om på leddene, får vi formelen for delvis integrasjon:

$\fbox{$\int u'v \; dx = uv – \int uv' \; dx$}$

Det kan se ut som vi ikke har oppnådd så mye, men et eksempel vil klargjøre.

Eksempel 1:

Vi skal beregne integralet $\int \sin x (2x + 1) \; dx$

Her har vi et produkt av to faktorer, $\sin x$ og $(2x + 1)$, som ikke kan integreres direkte. Men vi kan bruke delvis integrasjon:

Vi setter

$u' = \sin x$

og får

$u = \int u' dx = \int \sin x \, dx = – \cos x$ (Integrasjonskonstanten $C$ dropper vi foreløpig og setter inn helt til slutt)

Vi setter

$v = (2x + 1)$

og får

$v' = 2$

Så

$uv = -\cos x (2x + 1)$

$uv' = -\cos x \cdot 2$

Og integralet vårt blir, ifølge formelen for delvis integrasjon

$\int \sin x (2x + 1) \; dx = -\cos x (2x + 1) – \int (-\cos x \cdot 2 ) \; dx = \\ \, \\
-(2x + 1) \cos x + 2 \int \cos x \; dx = -(2x + 1) \cos x + 2 \sin x + C$

Det store poenget i eksempel 1 var at faktoren $(2x + 1)$ ble redusert til konstanten $2$.

Men hva om faktorene i eksempel 1 hadde vært byttet om, slik som i eksempel 2?

Eksempel 2:

Vi skal beregne integralet $\int (2x + 1) \sin x \; dx$

Bruker vi formelen for delvis integrasjon direkte, får vi

$u' = 2x + 1$, som gir $u = \int u' dx = \int (2x + 1) dx = x^2 + x$

$v = \sin x$, som gir $v' = (\sin x)' = \cos x$.

Så

$uv = (x^2 + x)\sin x$ og $uv' = (x^2 + x) \cos x$.

Og integralet vårt blir, ved delvis integrasjon

$\int (2x + 1) \sin x \; dx = (x^2 + x) \sin x – \int (x^2 + x) \cos x$

I eksempel 2 fikk vi noe som var verre enn det vi startet med. Men faktorenes orden er likegyldig, så eksempel 2 er nøyaktig det samme som eksempel 1, problemet er bare at vi har valgt $u'$ og $v$ klønete. Det er ikke slik at første faktor må være $u'$ og andre faktor $v$. Hva som skal være hva velger vi selv:

Ved delvis integrasjon bør vi hvis mulig velge $u'$ slik at $u$ blir enklere ved integrasjon, og $v$ slik at $v'$ blir enklere ved derivasjon.

I eksempel 1 fikk vi $- \cos x$ i stedet for $\sin x$, det var ikke noen forenkling, men heller ingen forverring. Og vi fikk $2$ i stedet for $(2x + 1)$, noe som var en forenkling. Men i eksempel 2 fikk vi $x^2 + x$ i stedet for $2x + 1$, noe som var en forverring.

Screencast Se film med eksempel på delvis integrasjon

Oppgave 1:

Bruk delvis integrasjon til å beregne integralet $\int (x + 1)e^{-x} \; dx$

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Bruk delvis integrasjon til å beregne integralet $\int e^x(3x + 2) \; dx$

Se løsningsforslag

Av og til kan det være vi må gjøre et lite triks for å kunne bruke delvis integrasjon, slik som i eksempel 3.

Eksempel 3:

Vi skal beregne integralet $\int \ln x \; dx$

Her hadde det jo vært fint å kunne bruke delvis integrasjon, for da kunne vi hatt $v = \ln x$, og $v' = {\large \frac{1}{x}}$. Men her er jo bare en faktor, og i delvis integrasjon må vi ha to. Vel, vi lager oss bare en faktor til:

$\int \ln x \; dx = \int 1 \cdot \ln x \; dx$

For multipliasjon med 1 endrer jo ikke noe. Og nå kan vi bruke delvis integrasjon. Vi setter

$v = \ln x$, som gir $v' = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$

$u' = 1$, som gir $u = x$

Så $uv = x \ln x$ og $uv' = x \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$

Og vi får

$\int \ln x \; dx = x \ln x – \int x \frac{1}{x} \; dx = x \ln x – \int 1 \; dx = x \ln x – x + C = x(\ln x -1) + C$

Av og til kan det være vi må bruke delvis integrasjon flere ganger, slik som i eksempel 4.

Eksempel 4:

Vi skal beregne integralet $\int e^x x^2 \; dx$

$e^x$ endrer seg ikke ved derivasjon eller integrasjon, men $x^2$ blir enklere ved derivasjon, så vi velger

$v = x^2$, som gir $v' = 2x$

$u' = e^x$ som gir $u = e^x$

Så $uv = e^x \, x^2$ og $uv' = e^x \, 2x$

Og vi får

$\int e^x x^2 \; dx = e^x \, x^2 – 2\int e^x \, x \; dx$

Vi har kommet et stykke på vei, for $x^2$ er blitt redusert til $x$ i integrasjonsuttrykket. Men helt i mål er vi ikke, for vi kan ikke integrere $\int e^x \, x$ direkte. Vi må bruke delvis integrasjon en gang til, med

$v = 2x$, som gir $v' = 2$

og, som i sted

$u' = e^x$ som gir $u = e^x$

Så $uv = e^x \, 2x$ og $uv' = 2e^x$

Og vi får

$- 2\int e^x \, x \; dx = e^x \, 2x – 2 \int e^x \; dx = e^x \, 2x – 2 e^x + C = 2e^x(x – 1) + C$

Setter vi det hele sammen, får vi

$\int e^x x^2 \; dx = e^x \, x^2 – 2e^x(x – 1) + C = e^x(x^2 – 2x + 2) + C$

Delvis integrasjon med gjentatt ledd

Av og til kan det se ut som en delvis integrasjon har gått i sirkel, for integralet vi startet med har dukket opp igjen på høyre side av likhetstegnet. Noe slikt, der $a$ og $b$ er vilkårlige uttrykk:

$\int a \; dx = b – \int a \; dx$

Her har altså leddet $\int a$ dukket opp igjen på høyre side. Men siden det har motsatt fortegn, får vi følgende hvis vi flytter det over på venstre side:

$2\int a \; dx = b$

Dividerer vi så med 2 på begge sider, og setter på integrasjonskonstanten, er vi i mål:

$\int a \; dx = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle 2} + C$

Eksempel 5:

Vi skal beregne integralet $\int \cos^2 x \; dx$

$\cos^2 x$ betyr $\cos x \cdot \cos x$, så vi kan bruke delvis integrasjon med

$v = \cos x$, som gir $v' = -\sin x$

$u' = \cos x$ som gir $u = \sin x$

Så $uv = \sin x \cdot \cos x$ og $uv' = \sin x \ (-\sin x)$

og vi får, ved formelen for delvis integrasjon

$\int \cos^2 x \; dx = \sin x \cdot \cos x – \int \sin x \ (-\sin x) \; dx = \sin x \cdot \cos x + \int \sin^2 x \; dx$

Så benytter vi at $\sin^2 x = 1 – \cos^2 x$:

$\int \sin^2 x \; dx = \int (1 – \cos^2 x) \; dx = x – \int \cos^2 x \; dx$

Setter vi inn i det opprinnelige integralet, får vi

$\int \cos^2 x \; dx = \sin x \cdot \cos x + x – \int \cos^2 x \; dx$

Så flytter vi integralet over på venstre side, og får

$2\int \cos^2 x \; dx = \sin x \cdot \cos x + x$

Til slutt dividerer vi med $2$ på begge sider, og setter på integrasjonskonstanten:

$\int \cos^2 x \; dx = \frac{\displaystyle \sin x \cdot \cos x + x}{\displaystyle 2} + C$

Eventuelt kan vi skrive resultatet om ved hjelp av en trigonometrisk identitet for doble vinkler:

$\int \cos^2 x \; dx = \frac{\displaystyle \sin 2x + 2x}{\displaystyle 4} + C$

Screencast Se film med eksempel på delvis integrasjon med gjentatt ledd

Oppgave 3:

Bruk delvis integrasjon til å beregne integralet $\int e^x \sin x \; dx$

Se løsningsforslag

Delvis integrasjon med bestemte integraler

Dersom vi skal beregne et bestemt integral ved delvis integrasjon kan vi enten

Først beregne det ubestemte integralet og deretter sette inn integrasjonsgrensene
eller
Sette inn integrasjonsgrensene i formelen for delvis integrasjon
$\int\limits_a^b u'v \; dx = \big[uv]_a^b – \int\limits_a^b uv' \; dx$

Eksempel 6:

Vi skal finne $\int\limits_0^\pi x \cos x \; dx$

Vi setter

$v = x$, som gir $v' = 1$

$u' = \cos x$ som gir $u = \sin x$

Så $uv = \sin x \cdot x$ og $uv' = \sin x \cdot 1$

Vi bruker først metode 1:

Det ubestemte integralet blir

$\int x \cos x \; dx = x \sin x – \int \sin x \; dx = x \sin x + \cos x + C$

Og det tilhørende bestemte integralet

$\int\limits_0^\pi x \cos x \; dx = \big[x \sin x + \cos x\big]_0^\pi = \pi \sin \pi + \cos \pi – (0 \cdot \sin 0 + \cos 0) = \pi \cdot 0 -1 -( 0 \cdot 0 + 1) = -2$

Så metode 2, der vi setter inn integrasjonsgrensene inn i formelen for delvis integrasjon:

$\int\limits_0^\pi x \cos x \; dx = \big[x \sin x \big]_0^\pi – \int\limits_0^\pi \sin x \; dx = (\pi \sin \pi – 0 \cdot \sin 0) – \big[-\cos x \big]_0^\pi =\\
(0 – 0) + \big[\cos \pi – \cos 0 \big] = 0 + \big[-1 – 1\big] = -2$

I metode 2 må vi sette inn integrasjonsgrensene to plasser, så metode 1 er ofte enklere.

Kilder

Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Wikipedia