Derivere potensfunksjoner

Potensfunksjoner generelt

I artikkelen om derivasjonsbegrepet så vi at (x²)′ = 2x. To-tallet i eksponenten har kommet ned, og står som en koeffisient foran x. Dette er et spesialtilfelle av en regel som sier at vi for alle eksponenter, r, har følgende sammenheng:

$\fbox{Derivasjon av potens: $(x^r)′ = r x^{r−1}$}$

Vi deriverer altså en potens ved å flytte ned eksponenten og så redusere den med 1.

Eksempel 1:

(x⁸)′ = 8x⁷

Førstegradsfunksjoner

Potensregelen gjelder også for r = 1:

Eksempel 2:

x′ = (x¹)′ = 1x⁰ = 1. Den deriverte av x er altså 1. Dette er logisk, for 1 er jo nettopp stigningstallet til grafen til f(x) = x.

Konstantfunksjoner

Potensregelen gjelder også for r = 0:

Eksempel 3:

(x⁰)′ = 0x⁻¹ = 0. Dette er logisk, for x⁰ = 1, og grafen til f(x) = 1 er ei horisontal linje. Funksjonen har aldri noen endring i verdi, og den deriverte er følgelig 0.

Ingen konstantfunksjoner, f(x) = k, har noen endring i funksjonsverdi, og vi har for alle konstanter, k, at den deriverte er 0.

$\fbox{Derivasjon av konstant: $k′ = 0$}$

Variabel under brøkstrek

Potensregelen gjelder også for negative r, så vi kan benytte at $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^r} = x^{−r} $ til å derivere uttrykk der variabelen står under en brøkstrek:

Eksempel 4:

${\Large (\frac{1}{x^2})}′ = (x^{−2})′ = −2 x^{−3} = −{\Large \frac{2}{x^3}}$

Eksempel 5:

${\Large (\frac{1}{x})}′ = (x^{−1})′ = −1 x^{−2} = −{\Large \frac{1}{x^2}}$

Invers

Resultatet fra eksempel 5 kan være verd å huske som en egen regel:

$\fbox{Derivasjon av invers:${\Large (\frac{1}{x})}′ = −{\Large \frac{1}{x^2}}$}$

Rotuttrykk

Potensregelen gjelder også for r som ikke er hele tall, så vi kan benytte at $\sqrt[\LARGE n]{x} = x^{\Large \frac{1}{n}}$ til å derivere rotuttrykk:

Eksempel 6:

$\sqrt{x}$ betyr egentlig $\sqrt[\Large 2]{x}$, så

$(\sqrt x)′ = (x^{\large \frac{1}{2}})′ = {\large \frac{1}{2}}x^{−\large \frac{1}{2}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2x^{\large \frac{1}{2}}} =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2\sqrt x}$

Resultatet fra eksempel 6 kan være verd å huske som en egen regel:

$\fbox{Derivasjon av kvadratrot:$\big(\sqrt x \big)′ = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2\sqrt x}$}$

Eksempel 7:

$(\sqrt[\Large 3] x)′ = (x^{\large \frac{1}{3}})′ = {\large \frac{1}{3}}x^{−\large \frac{2}{3}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3x^{\large \frac{2}{3}}} =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3\sqrt[\Large 3] {x^2}}$

Potensfunksjoner er deriverbare for alle x.

Oppgave 1:

Bruk potensregelen til å derivere følgende funksjoner:

1. $f(x) = x^5$
    
2. $f(x) = {\Large \frac{1}{x^4}}$
    
3. $f(x) = {\Large \frac{1}{\sqrt x}}$​

Se løsningsforslag

Kilder

• • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Thomas, G.B., Finney R.L. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.
  • matematikk.org