Elementær algebra

Den grenen av matematikken vi først møter gjennom skolen, er aritmetikk. I aritmetikken arbeider vi stort sett med tall, vi lærer for eksempel at 3 + 3 = 6. I algebra beveger vi oss over på et mer abstrakt plan, og arbeider med symboler. Som symboler bruker vi gjerne bokstaver. Vi kan for eksempel si at a + a = 2 · a. Bokstavene henter vi både fra vårt vanlige latinske alfabet og det greske alfabetet.

Hvis vi i aritmetikken sier at 3 + 3 = 2 · 3, forteller vi at å addere tre og tre er det samme som å multiplisere to og tre. Men hvis vi lar a symboliserer et vilkårlig tall, og sier at a + a = 2 · a, sier vi at å addere to like tall er det samme som å multiplisere tallet med to, uansett hvilket tall det er.

Ordet algebra kommer det arabiske ordet al-jabr og betyr sammensetning eller gjenoppretting.

Når vi multipliserer symboler, eller tall og symboler, er det ikke vanlig å skrive multiplikasjonstegn. I stedet settes tall og symboler inntil hverandre. For eksempel skrives a · b som ab og 2 · a som 2a. Mellom tall må vi imidlertid beholde multiplikasjonstegnet, vi kan ikke skrive 2 · 3 som 23.

Ofte setter vi symbolene sammen i algebraiske uttrykk. Et eksempel på et algebraisk uttrykk er 3xy – 3x + 2xy + 5x. Hver gruppe av symboler og tall kalles ledd i uttrykket, i dette eksempelet er leddene 3xy, -3x, 2xy og 5x. Tallene i hvert ledd kalles koeffisienter. I vårt eksempel er koeffisientene 3, -3, 2 og 5. Ledd der bare koeffisientene er forskjellige, kalles ledd av samme type. Ledd av samme type kan trekkes sammen ved addisjon og subtraksjon.

Det er vanlig å sortere leddene alfabetisk etter sammentrekningen.

Eksempel 1:

3xy – 3x + 2xy + 5x kan trekkes sammen til 2x + 5xy.

Koeffisienter som er lik 1, skrives vanligvis ikke. Vi skriver for eksempel bare x i stedet for 1x.

Oppgave 1:

Trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: 4xy + 8z – 3xy + 5x – 3z.

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

At et symbol multipliseres med seg selv, uttrykker vi gjerne som en potens på formen an, der a kalles grunntallet og n eksponenten. an betyr at a skal multipliseres med seg selv n ganger. x3 betyr for eksempel x · x · x.

Potensregler

For potenser gjelder følgende regneregler:

${(a^{\large x})}^{\large y} = a^{\large x \, \cdot \, y}$. Å opphøye en potens i en potens er det samme som å opphøye i produktet av eksponentene.
 
$a^{\large x} \cdot a^{\large y} = a^{\large x + y}$. Å multiplisere to potenser med samme grunntall er det samme som opphøye grunntallet i summen av eksponentene.
 
$\frac{\displaystyle a^{\large x}}{\displaystyle a^{\large y}} = a^{\large x – y}$. Å dividere to potenser med samme grunntall er det samme som opphøye grunntallet i differansen av eksponentene.
 
$a^{\large x} \cdot b^{\large x} = (a \cdot b)^{\large x}$. Å multiplisere to potenser med samme eksponent er det samme som å multiplisere grunntallene først, og deretter opphøye i eksponenten.
 
$\frac{\displaystyle a^{\large x}}{ \displaystyle b^{\large x}} = (\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b})^{\large x}$. Å dividere to potenser med samme eksponent er det samme som å dividere grunntallene først, og deretter opphøye i eksponenten.
 
$a^{\large x} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^{\large -x}}$. Vi kan flytte en potens under/over en brøkstrek hvis vi samtidig endrer fortegn på eksponenten.

Oppgave 2:

Bruk potensreglene og forenkle så langt det er mulig:$\frac{\displaystyle {(a^{\large 2})}^{\large 3}a^{\large 4}}{\displaystyle {(a^{\large 3})}^{\large 2}}$

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Et spesialtilfelle har vi når eksponenten er 0. Da har vi for alle a ≠ 0 at a0 = 1.

Et algebraisk uttrykk kan inneholde potenser. Vi må da være oppmerksomme på at ledd ikke er av samme type hvis potensene er forskjellige. For eksempel er x4y og x2y ikke av samme type, og kan ikke trekkes sammen. Men x4y og (x2)2y er av samme type fordi (x2)2 = x4.

Etter at leddene er sortert alfabetisk, er det vanlig å sortere etter synkende potenser.

Eksempel 2:

4xy2 + 8z – 3xy – 3z kan trekkes sammen til 4xy2 – 3xy + 5z.

Vi kan fritt bytte om på faktorene i et ledd, ab = ba, for eksempel er y2x3 = x3y2.

Eksempel 3:

xyx2y + 3y2x3 = x3y2 + 3x3y2 = 4x3y2

Oppgave 3:

Forenkle potensene og trekk uttrykket sammen så langt det er mulig:x2y2x + x3y3x(-1)x3y2 + xyyyyy(-1)x

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Regneregler

At vi kan bytte om på faktorene i et ledd slik at ab = ba, kalles den kommutative lov, og gjelder også for addisjon: a + b = b + a. Her er en liste med viktige regneregler:

Kommutative lov: a + b = b + a og ab = ba

Assosiative lov: (a + b) + c = a + (b + c) og (ab)c = a(bc)

Distributive lov: a(b + c) = ab + ac

Additiv invers: a + (-a) = 0

Multiplikativ invers: aa(-1) = 1, a ≠ 0

Additivt identitetselement: a + 0 = a

Multiplikativt identitetselement: a · 1 = a

Negativ faktor: (-a)b = a(-b) = -(ab) = –ab

To negative faktorer: (-a)(-b) = ab

Eksempel 4:

Den distributive lov sier at vi multipliserer en faktor med en et uttrykk i parentes ved å multiplisere faktoren med hvert ledd inni parentesen:

-2(6x2 – 2x + 4)= -12x2 + 4x – 8

Oppgave 4:

Multipliser ut parentesene og trekk uttrykket sammen så langt det er mulig:5m2 – 3n – 3(m2 + n) – (-m2n)

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Kilder:

  • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
  • Selvik, B.K., Rinvold R. & Høines, M.J. (2007). Algebra og funksjonslære. Casper forlag