Elementær algebra

Algebra og aritmetikk

Den grenen av matematikken vi først møter gjennom skolen, er aritmetikk. I aritmetikken arbeider vi stort sett med tall, vi lærer for eksempel at 3 + 3 = 6. I algebra beveger vi oss over på et mer abstrakt plan, og arbeider med symboler. Som symboler bruker vi gjerne bokstaver. Vi kan for eksempel si at a + a = 2 · a. Bokstavene henter vi både fra vårt vanlige latinske alfabet og det greske alfabetet.

Algebraiske symboler

Hvis vi i aritmetikken sier at 3 + 3 = 2 · 3, forteller vi at å addere tre og tre er det samme som å multiplisere to og tre. Men hvis vi lar a symboliserer et vilkårlig tall, og sier at a + a = 2 · a, sier vi at å addere to like tall er det samme som å multiplisere tallet med to, uansett hvilket tall det er.

Ordet algebra kommer fra det arabiske ordet al-jabr, og betyr sammensetning eller gjenoppretting.

Når vi multipliserer symboler, eller tall og symboler, er det ikke vanlig å skrive multiplikasjonstegn. I stedet setter vi tall og symboler inntil hverandre. For eksempel skriver vi a · b som ab og 2 · a som 2a. Mellom tall må vi imidlertid beholde multiplikasjonstegnet, vi kan for eksempel ikke skrive 2 · 3 som 23.

Algebraiske uttrykk

Ofte setter vi symbolene sammen i algebraiske uttrykk. Et eksempel på et algebraisk uttrykk er 3xy − 3x + 2xy + 5x. Hver gruppe av symboler og tall kalles ledd i uttrykket, i dette eksempelet er leddene 3xy, −3x, 2xy og 5x. Tallene i hvert ledd kalles koeffisienter. I vårt eksempel er koeffisientene 3, −3, 2 og 5. Ledd der bare koeffisientene er forskjellige, kalles ledd av samme type. Ledd av samme type kan trekkes sammen ved addisjon og subtraksjon.

Det er vanlig å sortere leddene alfabetisk etter sammentrekningen.

Eksempel 1:

Vi skal trekke sammen og forenkle 3yz − 4x + 2yz + 5x så mye som mulig.

Vi organiserer leddene slik at like ledd kommer etter hverandre:

3yz + 2yz − 4x + 5x 

Vi trekker sammen like ledd:

5yz + 1x

Vi organiserer leddene alfabetisk og sløyfer 1-tallet. Koeffisienter som er lik 1, skrives vanligvis ikke. Vi skriver for eksempel bare x i stedet for 1x:

x + 5yz

I eksempel 1 har vi vist utregningen i mer detalj enn en vanligvis gjør. Med litt øvelse vil vi kunne gjøre mange av regneoperasjonene i hodet. 

Oppgave 1:

Trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: 4xy + 8z − 3xy + 5x − 3z.

Se film der utregningen vises
 

Kilder

• • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
  • Selvik, B.K., Rinvold R. & Høines, M.J. (2007). Algebra og funksjonslære. Casper forlag