Faktorisere polynomer

Med polynomfaktorisering mener vi å dele et polynom opp i faktorer av enklere polynomer.

Andregradspolynomer

Bruke kvadratsetningene

Dersom et andregradspolynom er på formen $x^2 − k$, kan vi enkelt faktorisere det ved å bruke 3. kvadratsetning baklengs, og skrive polynomet som $(x + \sqrt{k})(x − \sqrt{k})$.

Eksempel 1:

Vi skal faktorisere x2 − 9.

Vi bruker 3. kvadratsetning baklengs, og får at
$x^2 − 9 = (x + \sqrt{9})(x − \sqrt{9}) = (x + 3)(x − 3)$.

Dersom k < 0, vil faktorene bli to kompleks konjugerte tall.

Eksempel 2:

Vi skal faktorisere x2 + 9.

Dette polynomet kan skrives som x2 − (−9).

$\sqrt{−9}$ kan skrives som $\sqrt{9} \cdot \sqrt{−1}$. Siden $\sqrt{−1} = i$, blir dette 3i.

Ved å bruke 3. kvadratsetning baklengs, får vi derfor at
$x^2 + 9 = x^2 − (−9) = (x + \sqrt{−9})(x − \sqrt{−9}) = (x + 3i)(x − 3i)$.

Enkelte andregradspolynomer kan faktoriseres ved hjelp av 1. eller 2. kvadratsetning baklengs, for eksempel er x2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) og x2 − 6x + 9 = (x − 3)(x − 3).

Oppgave 1:

Faktoriser polynomet (4x2 − 8x + 4)(x2 − 4) ved å bruke henholdsvis 2. og 3. kvadratsetning baklengs.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Men mens det er kjapt å identifisere polynomer som kan faktoriseres ved hjelp av 3. kvadratsetning baklengs, kan det være mer arbeidssomt å identifisere dem som kan faktoriseres tilsvarende ved hjelp av 1. eller 2. kvadratsetning. Så det kan i stedet være like greit å bruke den generelle metoden med nullpunkter, som er beskrevet i neste avsnitt.

Bruke nullpunkter

Det generelle andregradspolynomet er på formen ax2 + bx + c. For å finne nullpunktene må vi finne de verdiene av x som gjør at ax2 + bx + c = 0. Dette vet vi at vi kan gjøre ved hjelp av abc-formelen, $x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 −4ac}}{2a}}$.

Når vi har funnet x1 og x2, kan vi faktorisere polynomet ax2 + bx + c, som a(x − x1)(x − x2).

Eksempel 3:

Vi skal faktorisere andregradspolynomet 2x2 − 10x + 12.

Vi bruker abc-formelen til å finne polynomets nullpunkter:

$x_{1, 2} = {\large \frac{−(−10) \pm \sqrt{(−10)^2 −4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}} = {\large \frac{10 \pm \sqrt{4}}{4}} = {\large \frac{10 \pm 2}{4}} = {\large \frac{5 \pm 1}{2}}$

$x_1= {\large \frac{5+1}{2}} = {\large \frac{6}{2}} = 3$

$x_2= {\large \frac{5-1}{2}} = {\large \frac{4}{2}}= 2$

Koeffisienten a er 2, så vi får at

 2x2 − 10x + 12 = 2(x − 3)(x − 2).

Vi kan lett kontrollere svaret ved å multiplisere ut parentesuttrykket:

2(x − 3)(x − 2) = 2(x2 − 2x − 3x + 6) = 2(x2 − 5x + 6) = 2x2 − 10x + 12. Som er det vi startet med.

I GeoGebra kan vi faktorisere polynomer ved hjelp av kommandoen Faktoriser i CAS. For å faktorisere polynomet i eksempel 3, for eksempel, skriver vi Faktoriser(2x^2 − 10x + 12) i CAS. GeoGebra svarer med 2(x − 3)(x − 2), som er det samme som vi fant i eksempel 3.

Eksempel 4:

Vi skal faktorisere andregradspolynomet −x2 + 6x 9.

Vi bruker abc−formelen til å løse likningen −x2 + 6x 9 = 0 og derved finne polynomets nullpunkter.

$x_{1, 2} = {\large \frac{−6\pm \sqrt{6^2 −4 \cdot (−1) \cdot (−9)}}{2 \cdot (−1)}} = {\large \frac{−6 \pm \sqrt{0}}{−2}} = {\large \frac{6}{2}} = 3$

Her er både x1 = 3 og x2 = 3.

Koeffisienten a er −1, så vi får at

x2 + 6x 9 = −(x − 3)(x − 3).

Som vi kan skrive som −(x − 3)2.

Vi kan kontroller svaret i GeoGebra ved å skrive Faktoriser(−x^2 + 6x – 9) i CAS. GeoGebra svarer med −(x − 3)2.

Dersom x1 og x2 er nullpunktene i polynomet ax2 + bx + c, kan polynomet faktoriseres som a(xx1)(xx2). At x1 og x2 er nullpunktene i polynomet betyr at x1 og x2 er løsningene til likningen ax2 + bx + c = 0.

Oppgave 2:

Faktoriser polynomet 2x2 + 12x + 10 når du vet at x1 = −1 og x2 = −5 er polynomets nullpunkter. 

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Polynomer av høyere grad

I artikkelen om abc-formelen så vi at en andregradslikning kan ha to forskjellige, to sammenfallende, eller ingen løsninger. Det tilsvarende andregradspolynomet har da to forskjellige, to like eller ingen nullpunkter.

Generelt har et polynom av grad n inntil n nullpunkter. Disse kan vi bruke til å faktorisere polynomet, for hvis xn er et nullpunkt, vil (x − xn) være en faktor. (Strengt tatt har et polynom av grad n nøyaktig n nullpunkter, men noen av disse kan være sammenfallende eller være komplekse tall.)

Kaller vi polynomet p(x), vil grafen til y = p(x) skjære x-aksen i nullpunktene. Dette er illustrert under, der p(x) er 4 forskjellige polynomer av fjerde grad.

Fjerdegradspolynomer

4 nullpunkter

p(x) = x4 − 4x2 + 2
Fire forskjellige nullpunkter

3 nullpunkter

p(x) = x4 − 4x2
To forskjellige, to sammenfallende nullpunkter

2 nullpunkter

p(x) = x4 − 4x2 − 1
To forskjellige nullpunkter

Ingen nullpunkter

p(x) = x4 − 4x2 + 5
Ingen nullpunkter

 

Å finne nullpunktene til polynomer av høyere grad enn 2 er imidlertid ikke liketil, og ikke noe vi skal beskjeftige oss med, med noen få unntak:

Sette x utenfor parentes

Dersom et tredjegradspolynom mangler konstantleddet, kan vi faktorisere det ved å bruke den kommutative lov baklengs og sette x utenfor parentes.

Eksempel 5:

Vi skal faktorisere tredjegradspolynomet 2x3 − 10x2 + 12x.

Vi setter x utenfor parentes: 2x3 − 10x2 + 12x = x(2x2 − 10x + 12).

Inni parentesen har vi nå et andregradspolynom som vi kan finne nullpunktene til ved å bruke abc-formelen. Her er polynomet det samme som i eksempel 3, så vi vet at nullpunktene er x1 = 3 og x2 = 2, og at polynomet faktoriseres som 2(x − 3)(x − 2).

Vi har altså at 2x3 − 10x2 + 12x = x(2x2 − 10x + 12) = x(2(x − 3)(x − 2)) = 2x(x − 3)(x − 2).

Det tredje nullpunktet får vi når x utenfor parentesen er 0, x3 = 0.

Skriver vi Faktoriser(2x^3 – 10x^2 + 12x) i CAS, svarer GeoGebra med 2x(x − 3)(x − 2).

Vi kan ikke bruke metoden i eksempel 5 hvis tredjegradspolynomet har et konstantledd, som for eksempel 2x3 − 10x2 + 12x + 1, fordi vi da har et ledd som ikke inneholder x, så vi kan ikke sette x utenfor parentes.

Har vi et fjerdegradspolynom som ikke inneholder ledd med lavere grad enn x2, kan vi sette x2 utenfor parentes. Inni parentesen vil vi da ha et andregradspolynom som vi kan finne nullpunktene til ved å bruke abc-formelen.

Oppgave 3:

Faktoriser fjerdegradspolynomet x4 + x3 − 6x2. Sjekk utregningen i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Generelt, hvis vi har et polynom av grad n som ikke inneholder ledd med lavere grad enn n−2, kan vi sette xn−2 utenfor parentes og stå igjen med et andregradspolynom inni parentesen.

Erstatte kvadratet av x

Hvis vi har et fjerdegradspolynom som ikke har tredjegradsledd, kan vi erstatte x2 med en variabel i første potens. Vi får da et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til.

Hvis vi har et fjerdegradspolynom som ikke inneholder tredjegradsledd, kan vi erstatte x2 med en variabel i første potens. Vi får da et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til.

Eksempel 6:

Vi skal faktorisere fjerdegradspolynomet x4 − 13x2 + 36.

x4 kan skrives som (x2)2, så vi kan skrive polynomet som (x2)2 − 13x2 + 36.

Vi erstatter så x2 med en variabel i første potens, la oss kalle den s. Polynomet blir da s2 − 13s + 36.

Dette er et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til med abc-formelen:

$s_{1, 2} = {\large \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 -4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2}} = {\large \frac{13 \pm 5}{2}}$

Så vi får

$s_{1} = {\large \frac{13 + 5}{2}} = {\large \frac{18}{2}} = 9$

$s_{2} = {\large \frac{13 − 5}{2}} = {\large \frac{8}{2}} = 4$

Koeffisienten a er 1, så det betyr at s2 − 13s + 36 kan faktoriseres som (s − 9)(s − 4).

Siden vi har at s = x2, er dette det samme som (x2 − 9)(x2 − 4).

Så må vi faktorisere andregradspolynomene x2 − 9 og x2 − 4. Det kan vi gjøre ved å bruke abc-formelen til å finne nullpunktene til de to polynomene, men det er enklere å bruke 3. kvadratsetning baklengs:

x2 − 9 = (x + 3)(x − 3) og

x2 − 4 = (x + 2)(x − 2)

Så vi har at x4 − 13x2 + 36 kan faktoriseres som (x + 3)(x − 3)(x + 2)(x − 2) 

Skriver vi Faktoriser(x^4 – 13x^2 + 36) i CAS, svarer GeoGebra (x − 3)(x − 2)(x + 2)(x + 3), som er det samme, faktorene kommer bare i en annen rekkefølge.

Oppgave 4:

Faktoriser fjerdegradspolynomet x4 − 10x2 + 9. Sjekk utregningen i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Bruke polynomdivisjon

For polynomer av en hvilken som helst grad vil det være slik at hvis xn er et nullpunkt, vil (xxn) være en faktor i polynomet.

Det betyr at vi hvis vi vet at xn er et nullpunkt i et polynom, kan vi redusere graden til polynom med 1 ved å dividere polynomet med (xxn), slik det er beskrevet i artikkelen om polynomdivisjon.

Eksempel 7:

Vi skal faktorisere polynomet −x3 + 4x2x − 6, og vet at xn = 2 er ett av polynomets nullpunkter. Da vet vi at −x3 + 4x2x − 6 kan skrives som (?)(x − 2), der ? er et eller annet polynom av 2. grad. Dette ukjente polynomet kan vi finne ved polynomdivisjon. I eksempel 1 i artikkelen om polynomdivisjon har vi gjort denne utregningen og funnet ut at

(−x3 + 4x2x − 6) : (x − 2) = −x2 + 2x + 3.

Så −x3 + 4x2x − 6 = (−x2 + 2x + 3)(x − 2).

Så gjenstår det å faktorisere andregradspolynomet −x2 + 2x + 3. Dette polynomets nullpunkter finner vi ved å løse likningen −x2 + 2x + 3 = 0.
Vi tar ikke med utregningene her, men svaret er x1 = −1, x2 = 3. Det betyr at −x2 + 2x + 3 = −(x + 1)(x − 3). Legg merke til minus-tegnet foran parentesene, det kommer av at a i andregradspolynomet er −1.

Nå har vi altså kommet fram til at −x3 + 4x2x − 6 = −(x + 1)(x − 3)(x − 2), og polynomet er faktorisert så langt det går.

Oppgave 5:

Faktoriser polynomet −x4 + x3 + 11x2 − 9x − 18 når du vet at x1 = −3 og x2 = 2 er nullpunkter i polynomet.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Kilder

    • Gulliksen, T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget