Faktorisere polynomer

Med polynomfaktorisering mener vi å dele et polynom opp i faktorer av enklere polynomer.

Faktorisering ved hjelp av kvadratsetningene

Dersom vi har et polynom på formen a2 + 2ab + b2, kan vi faktorisere det ved å bruke 1. kvadratsetning baklengs:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b).

Eksempel 1:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3).

Dersom vi har et polynom på formen a2 – 2ab + b2, kan vi faktorisere det ved å bruke 2. kvadratsetning baklengs:

a2 – 2ab + b2 = (ab)(ab).

Eksempel 2:

x2 – 6x + 9 = (x – 3)(x – 3).

Dersom vi har et polynom på formen a2b2, kan vi faktorisere det ved å bruke 3. kvadratsetning baklengs:

a2b2 = (a + b)(ab).

Eksempel 3:

x2 – 9 = (x + 3)(x – 3).

Oppgave 1:

Faktoriser polynomet (4x2 – 8x + 4)(x2 – 4).

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Faktorisering av polynomer ved hjelp av nullpunkter

Dersom x1 og x2 er nullpunktene i polynomet ax2 + bx + c, kan polynomet faktoriseres som a(xx1)(xx2). At x1 og x2 er nullpunktene i polynomet betyr at x1 og x2 er løsningene til likningen ax2 + bx + c = 0.

Eksempel 4:

I artikkelen om andregradslikninger finner vi at løsningene til likningen 3x2 + 6x – 9 = 0 er x1 = 1 og x2 = -3. Og det er jo nettopp disse verdiene som gjør at polynomet på venstre side av likhetstegnet blir 0, de er polynomets nullpunkter.

Så 3x2 + 6x – 9= 3(x – 1)(x + 3).

Oppgave 2:

Faktoriser polynomet 2x2 + 12x + 10 når du vet at x1 = -1 og x2 = -5 er polynomets nullpunkter. 

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

For polynomer av en hvilken som helst grad vil det være slik at hvis xn er et nullpunkt, vil (xxn) være en faktor i polynomet.

Eksempel 5:

Vi skal faktorisere polynomet –x3 + 4x2x – 6, og vet at xn = 2 er et av polynomets nullpunkter. Da vet vi at –x3 + 4x2x – 6 kan skrives som (?)(x – 2), der ? er et eller annet polynom av 2. grad. Dette ukjente polynomet kan vi finne ved polynomdivisjon. I artikkelen om polynomdivisjon, eksempel 1, har vi gjort denne utregningen og funnet ut at

(-x3 + 4x2x – 6) : (x – 2) = –x2 + 2x + 3.

Så –x3 + 4x2x – 6 = (-x2 + 2x + 3)(x – 2).

Så gjenstår det å faktorisere andregradspolynomet –x2 + 2x + 3. Dette polynomets nullpunkter finner vi ved å løse likningen –x2 + 2x + 3 = 0.
Vi tar ikke med utregningene her, men svaret er x1 = -1, x2 = 3. Det betyr at –x2 + 2x + 3 = -(x + 1)(x – 3). Legg merke til minus-tegnet foran parentesene, det kommer av at a i andregradspolynomet er -1.

Nå har vi altså kommet fram til at –x3 + 4x2x – 6 = -(x + 1)(x – 3)(x – 2), og polynomet er faktorisert så langt det går.

I eksempel 5 ser vi at vi kan løse en tredjegradslikning hvis vi kjenner én av løsningene, ved å utføre polynomdivisjon og så løse andregradslikningen vi står igjen med. Tilsvarende kan vi løse en fjerdegradslikning når vi kjenner to av løsningene, og så videre.

Et spesielt enkelt tilfelle er tredjegradslikninger på formen ax3 + bx2 +  cx = 0. Her mangler konstantleddet, og vi kan faktorisere direkte ved å sette x utenfor parentes: x(ax2 + bx + c) = 0. Sagt med andre ord vet vi at x = 0 er et nullpunkt og at (x – 0) derfor må være en faktor.

Oppgave 3:

Faktoriser polynomet –x4 + x3 + 11x2 – 9x – 18 når du vet at x1 = -3 og x2 = 2 er nullpunkter i polynomet.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Oppgave 4:

Faktoriser polynomet –x5 + 6x4 -9x3 -4x2 + 12x når du vet at x = 2 er to nullpunkter i polynomet.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Kilder:

  • Gulliksen, T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget