Faktorisere polynomer

Med å faktorisere polynomer mener vi å dele et polynom opp i faktorer av polynomer av lavere grad,

Andregradspolynomer

Bruke konjugatsetningen baklengs

Dersom et andregradspolynom er på formen $x^2 − k$, kan vi enkelt faktorisere det ved å bruke konjugatsetningen baklengs, og skrive polynomet som $(x + \sqrt{k})(x − \sqrt{k})$.

Eksempel 1:

Vi skal faktorisere x² − 9.

Vi bruker konjugatsetningen baklengs, og får at
$x^2 − 9 = (x + \sqrt{9})(x − \sqrt{9}) = (x + 3)(x − 3)$.

Dersom k < 0, vil faktorene bli to kompleks konjugerte tall.

Eksempel 2:

Vi skal faktorisere x² + 9.

Dette polynomet kan skrives som x² − (−9).

$\sqrt{−9}$ kan skrives som $\sqrt{9} \cdot \sqrt{−1}$. Siden $\sqrt{−1} = i$, blir dette 3i.

Ved å bruke konjugatsetningen baklengs, får vi derfor at
$x^2 + 9 = x^2 − (−9) = (x + \sqrt{−9})(x − \sqrt{−9}) = (x + 3i)(x − 3i)$.

Bruke kvadratsetningene baklengs

Enkelte andregradspolynomer kan faktoriseres ved hjelp av 1. eller 2. kvadratsetning baklengs, for eksempel er x² + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) og x² − 6x + 9 = (x − 3)(x − 3).

Oppgave 1:

Faktoriser polynomet (4x² − 8x + 4)(x² − 4) ved å bruke henholdsvis 2. kvadratsetning og konjugatsetningen baklengs.

Se film der løsningen vises
 

Mens det er kjapt å identifisere polynomer som kan faktoriseres ved hjelp av konjugatsetningen baklengs, kan det være mer arbeidsomt å identifisere dem som kan faktoriseres ved hjelp av 1. eller 2. kvadratsetning. Så det kan i stedet være like greit å bruke den generelle metoden med nullpunkter, som er beskrevet i neste avsnitt.

Bruke nullpunkter

Det generelle andregradspolynomet er på formen ax² + bx + c. For å finne nullpunktene må vi finne de verdiene av x som gjør at ax² + bx + c = 0. Dette vet vi at vi kan gjøre ved hjelp av abc-formelen, $x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 −4ac}}{2a}}$.

Når vi har funnet x₁ og x₂, kan vi faktorisere polynomet ax² + bx + c, som a(x − x₁)(x − x₂).

Eksempel 3:

Vi skal faktorisere andregradspolynomet 2x² − 10x + 12.

Vi bruker abc-formelen til å finne polynomets nullpunkter:

$x_{1, 2} = {\large \frac{−(−10) \pm \sqrt{(−10)^2 −4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}} = {\large \frac{10 \pm \sqrt{4}}{4}} = {\large \frac{10 \pm 2}{4}} = {\large \frac{5 \pm 1}{2}}$

Så

$x_1= {\large \frac{5+1}{2}} = {\large \frac{6}{2}} = 3$

$x_2= {\large \frac{5-1}{2}} = {\large \frac{4}{2}}= 2$

Koeffisienten a er 2, så vi får at

 2x² − 10x + 12 = 2(x − 3)(x − 2).

Vi kan lett kontrollere svaret ved å multiplisere ut parentesuttrykket:

2(x − 3)(x − 2) = 2(x² − 2x − 3x + 6) = 2(x² − 5x + 6) = 2x² − 10x + 12. Som er det vi startet med.

I GeoGebra kan vi faktorisere polynomer ved hjelp av kommandoen Faktoriser i CAS. For å faktorisere polynomet i eksempel 3, for eksempel, skriver vi Faktoriser(2x^2 − 10x + 12) i CAS. GeoGebra svarer med 2(x − 3)(x − 2), som er det samme som vi fant i eksempel 3.

Eksempel 4:

Vi skal faktorisere andregradspolynomet −x² + 6x − 9.

Vi bruker abc−formelen til å løse likningen −x² + 6x − 9 = 0 og derved finne polynomets nullpunkter.

$x_{1, 2} = {\large \frac{−6\pm \sqrt{6^2 −4 \cdot (−1) \cdot (−9)}}{2 \cdot (−1)}} = {\large \frac{−6 \pm \sqrt{0}}{−2}} = {\large \frac{6}{2}} = 3$

Her er både x₁ = 3 og x₂ = 3.

Koeffisienten a er −1, så vi får at

−x² + 6x − 9 = −(x − 3)(x − 3).

Som vi kan skrive som −(x − 3)².

Vi kan kontroller svaret i GeoGebra ved å skrive Faktoriser(−x^2 + 6x – 9) i CAS. GeoGebra svarer med −(x − 3)².

Oppgave 2:

Faktoriser polynomet 2x² + 12x + 10 når du vet at x₁ = −1 og x₂ = −5 er polynomets nullpunkter. 

Se film der løsningen vises
 

Polynomer av høyere grad

I artikkelen om abc-formelen ser vi at en andregradslikning kan ha to forskjellige, to sammenfallende, eller ingen løsninger. Det tilsvarende andregradspolynomet har da to forskjellige, to like eller ingen nullpunkter.

Generelt har et polynom av grad n inntil n nullpunkter. Disse kan vi bruke til å faktorisere polynomet, for hvis x_n er et nullpunkt, vil (x − x_n) være en faktor. (Strengt tatt har et polynom av grad n nøyaktig n nullpunkter, men noen av disse kan være sammenfallende eller være komplekse tall.)

Kaller vi polynomet p(x), vil grafen til y = p(x) skjære x-aksen i nullpunktene. Dette er illustrert under, der p(x) er fire forskjellige fjerdegradspolynomer.

Fjerdegradspolynomer

p(x) = x4 − 4x2 + 2 Fire forskjellige nullpunkter	p(x) = x4 − 4x2 To forskjellige, og to sammenfallende nullpunkter
p(x) = x4 − 4x2 − 1 To forskjellige nullpunkter	p(x) = x4 − 4x2 + 5 Ingen nullpunkter

 

Å finne nullpunktene til polynomer av høyere grad enn 2 er imidlertid ikke liketil, og ikke noe vi skal beskjeftige oss med, med noen få unntak:

Sette x utenfor parentes

Dersom et tredjegradspolynom mangler konstantleddet, kan vi faktorisere det ved å bruke den distributive lov baklengs, og sette x utenfor parentes.

Eksempel 5:

Vi skal faktorisere tredjegradspolynomet 2x³ − 10x² + 12x.

Vi setter x utenfor parentes: 2x³ − 10x² + 12x = x(2x² − 10x + 12).

Inni parentesen har vi nå et andregradspolynom som vi kan finne nullpunktene til ved å bruke abc-formelen. Her er polynomet det samme som i eksempel 3, så vi vet at nullpunktene er x₁ = 3 og x₂ = 2, og at polynomet faktoriseres som 2(x − 3)(x − 2).

Vi har altså at 2x³ − 10x² + 12x = x(2x² − 10x + 12) = x(2(x − 3)(x − 2)) = 2x(x − 3)(x − 2).

Det tredje nullpunktet får vi når x utenfor parentesen er 0, x₃ = 0.

Skriver vi Faktoriser(2x^3 – 10x^2 + 12x) i CAS, svarer GeoGebra med 2x(x − 3)(x − 2).

Vi kan ikke bruke metoden i eksempel 5 hvis tredjegradspolynomet har et konstantledd, som for eksempel 2x³ − 10x² + 12x + 1, fordi vi da har et ledd som ikke inneholder x, så vi kan ikke sette x utenfor parentes.

Har vi et fjerdegradspolynom som ikke inneholder ledd med lavere grad enn x², kan vi sette x² utenfor parentes. Inni parentesen vil vi da ha et andregradspolynom som vi kan finne nullpunktene til ved å bruke abc-formelen.

Oppgave 3:

Faktoriser fjerdegradspolynomet x⁴ + x³ − 6x². Sjekk utregningen i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Generelt, hvis vi har et polynom av grad n som ikke inneholder ledd med lavere grad enn n−2, kan vi sette xⁿ⁻² utenfor parentes og stå igjen med et andregradspolynom inni parentesen.

Erstatte kvadratet av x

Hvis vi har et fjerdegradspolynom som ikke har tredjegradsledd, kan vi erstatte x² med en variabel i første potens. Vi får da et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til.

Eksempel 6:

Vi skal faktorisere fjerdegradspolynomet x⁴ − 13x² + 36.

x⁴ kan skrives som (x²)², så vi kan skrive polynomet som (x²)² − 13x² + 36.

Vi erstatter så x² med en variabel i første potens, la oss kalle den s. Polynomet blir da s² − 13s + 36.

Dette er et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til med abc-formelen:

$s_{1, 2} = {\large \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 -4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2}} = {\large \frac{13 \pm 5}{2}}$

Så vi får

$s_{1} = {\large \frac{13 + 5}{2}} = {\large \frac{18}{2}} = 9$

$s_{2} = {\large \frac{13 − 5}{2}} = {\large \frac{8}{2}} = 4$

Koeffisienten a er 1, så det betyr at s² − 13s + 36 kan faktoriseres som (s − 9)(s − 4).

Siden vi har at s = x², er dette det samme som (x² − 9)(x² − 4).

Så må vi faktorisere andregradspolynomene x² − 9 og x² − 4. Det kan vi gjøre ved å bruke abc-formelen til å finne nullpunktene til de to polynomene, men det er enklere å bruke konjugatsetningen baklengs:

x² − 9 = (x + 3)(x − 3) og

x² − 4 = (x + 2)(x − 2)

Så vi har at x⁴ − 13x² + 36 kan faktoriseres som (x + 3)(x − 3)(x + 2)(x − 2) 

Skriver vi Faktoriser(x^4 – 13x^2 + 36) i CAS, svarer GeoGebra (x − 3)(x − 2)(x + 2)(x + 3), som er det samme, faktorene kommer bare i en annen rekkefølge.

Oppgave 4:

Faktoriser fjerdegradspolynomet x⁴ − 10x² + 9. Sjekk utregningen i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Bruke polynomdivisjon

For polynomer av en hvilken som helst grad vil det være slik at hvis x_n er et nullpunkt, vil (x − x_n) være en faktor i polynomet.

Det betyr at vi hvis vi vet at x_n er et nullpunkt i et polynom, kan vi redusere graden til polynom med 1 ved å dividere polynomet med (x − x_n), slik det beskrives i artikkelen om polynomdivisjon.

Eksempel 7:

Vi skal faktorisere polynomet −x³ + 4x² − x − 6, og vet at x_n = 2 er ett av polynomets nullpunkter. Da vet vi at −x³ + 4x² − x − 6 kan skrives som (?)(x − 2), der ? er et eller annet polynom av 2. grad. Dette ukjente polynomet kan vi finne ved polynomdivisjon. I eksempel 1 i artikkelen om polynomdivisjon gjør vi denne utregningen, og finner ut at

(−x³ + 4x² − x − 6) : (x − 2) = −x² + 2x + 3.

Så −x³ + 4x² − x − 6 = (−x² + 2x + 3)(x − 2).

Så gjenstår det å faktorisere andregradspolynomet −x² + 2x + 3. Dette polynomets nullpunkter finner vi ved å løse likningen −x² + 2x + 3 = 0.
Vi tar ikke med utregningene her, men svaret er x₁ = −1, x₂ = 3. Det betyr at −x² + 2x + 3 = −(x + 1)(x − 3). Legg merke til minus-tegnet foran parentesene, det kommer av at a i andregradspolynomet er −1.

Nå har vi altså kommet fram til at −x³ + 4x² − x − 6 = −(x + 1)(x − 3)(x − 2), og polynomet er faktorisert så langt det går.

Oppgave 5:

Faktoriser polynomet −x⁴ + x³ + 11x² − 9x − 18 når du vet at x₁ = −3 og x₂ = 2 er nullpunkter i polynomet.

Se film der løsningen vises
 

Kilder

• • Gulliksen, T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget