Førstegradslikninger

En algebraisk likning der den høyeste potensen av den ukjente er 1, kalles en førstegradslikning. For eksempel er 3x − 2 = x + 2 en førstegradlikning. Vi husker at x kan skrives som x¹, så x er i første potens, selv om vi sløyfer å skrive 1-tallet.

En førstegradslikning kalles ofte også en lineær likning.

Løse førstegradslikninger

Vi kan tenke på en førstegradslikning som en skålvekt, der venstre skål inneholder det som står til venstre for likhetstegnet i en likning, og høyre skål inneholder det som står til høyre for likhetstegnet:

Skålvekta er i balanse, og vår jobb er å få elementene organisert slik at den ukjente ligger alene på venstre skål, og vekta fremdeles er i balanse.

Vekta forblir i balanse selv om vi

• • adderer eller subtraherer samme verdi på begge sider.
  • multipliserer eller dividerer med samme verdi på begge sider. (Vi må da passe på å ikke dividere med 0.)

De fire grunnleggende regneoperasjonene nevnt over er alt vi trenger for å løse en førstegradslikning.

Hvilke regneoperasjoner vi skal gjøre, og i hvilken rekkefølge, når en likning skal løses, vil variere, og det kan ikke gis noen entydig oppskrift. Vi må imidlertid arbeide med å isolere den ukjente som mål. Planløs taktikk fører gjerne til unødvendige og kompliserende regneoperasjoner.

Eksempel 1:

Vi skal løse likningen 3x − 2 = x + 2.

Subtraherer x på begge sider av likningen:
3x − x − 2 = x − x + 2

Trekker sammen leddene med x:
2x − 2 = 2

Adderer 2 på begge sider av likningen:
2x − 2 + 2 = 2 + 2

Regner sammen:
2x = 4

Dividerer med 2 på begge sider av likningen:
x = 2

Vi skal nå være litt mer generelle og tenke oss at vi har vilkårlige tall på begge sider av likhetstegnet: x + b = c. Så ønsker vi å stå igjen med bare x på venstre side. Da adderer vi –b på begge sider: x + b – b = c – b. På venstre side blir b – b null, så vi står igjen med x = c – b. Sammenlikner vi med det vi startet med, ser vi at b-en har flyttet seg over til høyre side og skiftet fortegn. I praksis går vi derfor ikke gjennom den omstendelige prosedyren med å addere eller subtrahere på begge sider, vi flytter bare over og skifter fortegn. Dette er den såkalte «flytte-bytte»-regelen. Regelen er praktisk i bruk, men illustrerer ikke at det vi faktisk gjør, er å legge til eller trekke fra det samme på begge sider av likhetstegnet.

Fra nå av kommer vi til å bruke «flytte-bytte»-regelen for enkelhets skyld, men husk at det vi egentlig gjør, er å legge til eller trekke fra det samme på begge sider av likhetstegnet.

Utregningen i eksempel 1 vil vi gjøre så kortfattet som i eksempel 2:

Eksempel 2:

Vi skal løse likningen 3x − 2 = x + 2.

Flytter x over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x − 2 = 2

Flytter −2 over på høyre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x = 4

Dividerer med 2 på begge sider:
x = 2

Oppgave 1:

Under vises løsningen av en likning i fire trinn. Angi for hvert trinn hvilke regneregler som brukes. Det kan være det brukes flere regler i hvert trinn.

$\begin{align} 3(2x + 3) &= 12 + 3x \\
\; \\
6x + 9 &= 12 + 3x \\
\; \\
6x &= 3 + 3x \\
\; \\
3x &= 3 \\
\; \\
x &= 1 \end{align}$

Se film der løsningen vises
 

Sette prøve på svar

Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Det gjør vi ved å sette svaret vårt inn som verdi for den ukjente på både venstre og høyre side av den opprinnelige likningen, og kontrollere at vi får samme svar på begge sider.

Eksempel 3:

Vi har løst likningen 3x − 2 = x + 2, funnet at x = 2, og skal sette prøve på svaret. Vi får

V.S.: 3x − 2 = 3 · 2 − 2 = 4

H.S.: x + 2 = 2 + 2 = 4

Begge sider er lik 4, så løsningen er riktig.

I eksempel 3 ser vi at vi regner ut venstre og høyre side hver for seg. Her står V.S. for «venstre side» og H.S. for «høyre side». Alternativt kan vi regne ut venstre og høyre side parallelt med en vertikal strek imellom. Det vi imidlertid ikke gjør, er å føre prøven med likhetstegn mellom sidene, for vi vet ikke om de er like, det er det vi skal kontrollere.

Eksempel 4:

Vi har løst likningen 3x − 2 = x + 2 feil, funnet at x = 3, og skal sette prøve på svaret:

3x − 2 = x + 2
3 · 3 − 2 = 3 + 2
7 = 5

I eksempel 4 ser vi at vi ender opp med å si at 7 er lik 5. Å sette likhetstegn mellom noe vi ikke vet er likt, kalles misbruk av likhetstegnet, og er noe vi skal unngå.

Oppgave 2:

Løs likningen 5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6 og sett prøve på svaret.

Se film der likningen løses
 

Grafiske løsninger

Generelt har førstegradslikninger formen ax + b = 0, der a og b er vilkårlige tall, for eksempel 3x + 2 = 0. Hvis vi har en førstegradslikning som ikke har denne formen, kan vi omforme den ved å flytte alle leddene til venstre side og forenkle så langt som mulig.

Eksempel 5:

Vi skal skrive likningen fra eksempel 1 på formen ax + b = 0.

Vi har:
3x − 2 = x + 2

Flytter x over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x − 2 = 2

Flytter 2 over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x − 4 = 0

Likningen er nå på formen ax + b = 0, med a = 2 og b = −4.

Når en likning er på formen ax + b = 0, kan vi løse den grafisk ved å tegne opp grafen til funksjonen y = ax + b. Løsningen til likningen er da den verdien x har der grafen skjærer x-aksen, det vil si der y = 0.

Grafen til en førstegradsfunksjon er en rett linje, og vi kan tegne den for hånd ved å beregne to punkter på grafen og så trekke en rett linje gjennom punktene ved hjelp av en linjal. Det spiller ingen rolle hvilke punkter, men vi får en mer presis graf hvis vi velger punktene et stykke fra hverandre. Og å velge x = 0 som ett av punktene gir jo en enkel utregning. Det vi ikke gjør, er å velge mer enn to punkter, det gir en dårligere graf. Vi ser av og til studenter som velger mange punkter for å tegne grafen til en førstegradsfunksjon, og på grunn av unøyaktighet ender de opp med noe som ser ut som en slange som bukter seg mellom punktene.

I eksempel 5 har vi likningen 2x − 4 = 0, den tilhørende førstegradsfunksjonen blir y = 2x − 4. For å finne to punkter på grafen til denne kan vi for eksempel først velge x = 0, da får vi y = 2x − 4 = 2 · 0 − 4 = − 4. Velger vi så x = 4, får vi y = 2x − 4 = 2 · 4 − 4 = 4. Vi har da punktene (0, −4) og (4, 4), og kan tegne en rett linje gjennom dem. Vi vil se at grafen skjærer x-aksen i (2, 0). Løsningen til likningen 3x − 2 = x + 2 er altså x = 2, noe som stemmer med det vi fant ved regning i eksempel 1 og 2.

Vi kan også tegne grafen og finne skjæringspunktet med x-aksen i GeoGebra, slik det er vist under. Her har vi første skrevet 2x − 4 i inntastingsfeltet, og GeoGebra har tegnet opp grafen og kalt den tilhørende funksjonen f. Så har vi skrevet Skjæring(f, xAkse) for å finne punktet der grafen til f skjærer x-aksen. GeoGebra har kalt punktet A, markert det i grafikkfeltet, og angitt koordinatene i algebrafeltet.

Vi ser at skjæringspunktet med x-aksen er (2, 0). I dette tilfellet er skjæringspunktet et helt tall, men det kan være at skjæringspunktet ser ut til å være et helt tall, men egentlig ikke er det. I bildet under kan det for eksempel se ut som skjæringen er i x = 2, mens det egentlig er i x = 2,05. For å få den eksakte verdien bruker vi derfor funksjonen Skjæring i GeoGebra.

 

Oppgave 3:

Løs likningen 5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6 grafisk.

Se film der likningen løses grafisk
 

Likninger med algebraiske symboler

Så langt har vi arbeidet med likninger der den ukjente har vært x, og de andre elementene tall. Men det er ikke noe i veien for at vi kan ha flere algebraiske symboler i en likning. Når vi skal løse en slik likning, må det være klargjort hvilket symbol som representerer den ukjente vi skal løse med hensyn på.

Eksempel 6:

Vi skal løse likningen 2u − v = 4u + v − 2 med hensyn på u. Målet er da å isolere u på venstre side av likhetstegnet.

Flytter 4u over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
−2u − v = v − 2

Flytter −v over på høyre side, skifter fortegn og trekker sammen:
−2u = −2v − 2

Dividerer med −2 på begge sider:
u = −v + 1

Vi har nå løst likningen med hensyn på u, for u er isolert på venstre side av likhetstegnet, og uttrykket på høyre side er forenklet så langt det går.

Vil vi sette prøve på svaret, erstatter vi u med løsningen −v + 1 på begge sider av likhetstegnet:

V.S.: 2u − v = 2(−v + 1) − v = −2v + 2 − v = −3v + 2

H.S.: 4u + v − 2 = 4(−v + 1) + v − 2 = −4v + 4 + v − 2 = −3v + 2

Begge sider er lik −3v + 2, så løsningen er riktig.

Oppgave 4:

Løs likningen fra eksempel 6, 2u − v = 4u + v − 2, med hensyn på v, og sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

Kilder

• • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
  • matematikk.net
  • Store norske leksikon