Funksjonsbegrepet

Eksempel 1:

Dersom en bil kjører i 50 km/t, vil den etter x timer ha kjørt 50 · x kilometer. For eksempel har den etter x = 2 timer kjørt 50 · 2 = 100, altså 100 kilometer, og etter x = 3,5 timer 50 · 3,5 = 175, altså 175 kilometer. Uttrykket 50 · x er en formel som for alle mulige verdier av antall timer, x, gir oss svar på hvor langt bilen har kjørt. Det er for øvrig vanlig å sløyfe multiplikasjonstegnet, så vi skriver bare 50x.

En slik formel kalles gjerne en funksjon, og skrives f(x). I eksempel 1 har vi at f(x) = 50x. Uttrykket som beskriver hva funksjonen gjør, altså 50x, kalles gjerne funksjonsforskriften.

Eksempel 2:

Dersom en ball slippes fra et fly, vil den etter x sekunder ha falt om lag 5x2 meter, hvis vi ikke tar hensyn til luftmotstand. Funksjonen som beskriver hvor langt den har falt etter x sekunder er altså f(x) = 5x2.

Vi kan se for oss en funksjon, f, som en boks der vi putter inn en verdi, x, og får ut en ny verdi, f(x), slik som illustrert under

Illustrasjon av funksjon som boks med data inn og ut

I stedet for f(x) skriver vi av og til y, for eksempel y = 5x2.

x og y kalles variable. x heter uavhengig variabel fordi den kan varieres fritt. y heter avhengig variabel fordi verdien avhenger av verdien til x.

Dersom vi velger et tall, xa, og putter det inn i funksjonen, skriver vi f(a). Dersom vi for eksempel putter x = 3 inn i funksjonen i eksempel 1, får vi f(3) = 50 · 3 = 150.

Selv om x er uavhengig, kan det finnes begrensninger på hvilke verdier som er tillatt. I eksempel 1 må vi for eksempel ha at x ≥ 0 fordi bilen ikke kan ha kjørt i mindre enn 0 timer. Hvis bilen stopper etter 5 timer, betyr det videre at x ≤ 5. I eksempel 2 må vi av samme grunn ha x ≥ 0, og det vil finnes en øvre grense for x bestemt av når ballen treffer bakken.

Mengden av tillatte verdier for x kalles funksjonens definisjonsmengde, Df. Hvis bilen i eksempel 1 stopper etter 5 timer, har vi at Df = [0, 5], altså mengden av alle reelle tall fra og med 0 til og med 5.

Mengden av tall funksjonen kan gi ut kalles funksjonens verdimengde, Vf. Hvis bilen i eksempel 1 stopper etter 5 timer, har vi at Vf = [0, 250], fordi når x (antall timer) varierer mellom 0 og 5, varierer f(x) (antall kilometer) mellom 0 og 250.

Oppgave 1:

Sidene i en rektangulær innhegning er henholdsvis x og 5 – x, slik som vist under:
Illustrasjon av innhegning

  1. Finn funksjonen, f(x), som beskriver hvordan arealet i innhegningen varierer med x.
     
  2. Hva er funksjonens definisjonsmengde?

Se løsningsforslag

Vi spurte ikke etter verdimengden i oppgave 1, den er ikke så lett å finne i dette tilfellet. I eksempel 1 fant vi grensene til verdimengden ved å sette grensene til definisjonsmengden inn i funksjonen, f(0) = 0 og f(5) = 250. Tilsvarende metode vil vi også kunne bruke på eksempel 2. Men i oppgave 1 får vi den laveste verdien ved begge grensene, f(0) = 0 og f(5) = 0. Den øvre verdien vil vi få for en x som ligger et sted mellom 0 og 5. På grunn av symmetrien skjønner vi kanskje at vi får størst areal når x ligger midt mellom 0 og 5, f(2,5) = 6,25. Verdiområdet er Vf = [0, 6,25].

Grafer

For å illustrere hvordan f(x) varierer med x, er det vanlig å tegne en graf. Vi lager et koordinatsystem ved å la en vertikal tallinje stå vinkelrett på en horisontal tallinje, og plotter x horisontalt og f(x) vertikalt. Det finnes en mengde dataprogrammer til å tegne grafer. Ett av dem er GeoGebra som det finnes en serie artikler om på dette nettstedet. Avanserte kalkulatorer kan også tegne grafer.

Grafene til eksempel 1, eksempel 2 og oppgave 1 er vist under. Legg merke til at vi bare tegner graf for verdier av x som er innenfor definisjonsområdet.

Grafen til f(x)=50x

Grafen til f(x) = 5x^2

Grafen til f(x) = -5x^2 + 5x

Navnsetting og konvensjoner

Fram til nå har vi hele tiden kalt den uavhengige variabelen for x, og funksjonen for f. Det er imidlertid helt i orden å bruke andre navn. I situasjoner der den uavhengige variabelen representerer tid, som i eksempel 1 og 2, er det vanlig å kalle variabelen t. I eksempel 1 ville vi for eksempel hatt f(t) = 50t. Arbeider vi med flere funksjoner samtidig, bør de ha forskjellig navn, for eksempel g(x), h(x), etc. g og h er valgt fordi de kommer etter f i alfabetet, men vi kan også godt velge navn som indikerer hva funksjonen gjør. v for en funksjon som beregner volum, eller a for en funksjon som beregner areal, slik som i oppgave 1, a(x) = –x2 + 5x.

Vi sa tidligere at vi kan skrive en enkelt bokstav, y, i stedet for det mer omstendelige f(x). Hva skal vi så velge – og når? Begge notasjonene har sine fordeler, f(x) indikerer tydelig at det dreier seg om en funksjon. Arbeider vi med flere funksjoner samtidig, kan vi lett skille dem fra hverandre ved å gi dem forskjellige navn, g(x), h(x), etc.

I andre sammenhenger kan denne notasjonen bli litt klumpete. Det er for eksempel enklere å angi et punkt som (x, y) enn (x, f(x)). Selv om vi står fritt til å velge navn, er det allikevel konvensjoner vi bør respektere. Har vi for eksempel to variable, x og y, er det vanlig at x er den uavhengige og y er den avhengige. Å bytte disse rundt, slik som i x = f(y) vil skape forvirring. Så vi må håndtere at funksjoner og variable kan ha mange forskjellig navn, men samtidig være oppmerksom på at det finnes konvensjoner vi bør følge.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget