CAS i GeoGebra

I GeoGebra kan vi bruke verktøyet CAS, Computer Algebra System til å utføre beregninger på symboler. Det vil si at CAS ikke bare er i stand til å gjøre aritmetikk, som å beregne at 2 + 3 = 5, men også utføre generelle algebraiske utregninger, som at a · a = a².

Vi får fram CAS-vinduet ved å velge «Vis» – «CAS». Vi skriver så inn uttrykket vi vil forenkle og trykker linjeskift-tasten. (Enter)

I bildet under har vi skrevet inn 3xy − 3x + 2xy + 5x, og GeoGebra har trukket uttrykket sammen så langt det går.

Oppgave 1:

Bruk CAS i GeoGebra til å forenkle uttrykkene

1. 1. 1. 1. 4xy + 8z − 3xy + 5x − 3z
             
         2. 5m² − 3n − 3(m² + n) − (−m² − n)
             
         3. $\frac{\displaystyle {(a^{\large 2})}^{\large 3}a^{\large 4}}{\displaystyle {(a^{\large 3})}^{\large 2}}$
             
         4. x²y²x + x³y³x⁻¹ − x³y² + xyyyyy⁻¹x
             
            Hint: Hvis vi skriver inn uttrykket xyyyyy direkte, vil CAS tolke dette som ett langt variabelnavn. For å indikere at vi skal ha variabelen x multiplisert med variabelen y fem ganger, må vi skylle symbolene med multiplikasjons-operatoren stjerne, *.

Se løsningsforslag

Rotuttrykk

I GeoGebra beregner vi kvadratrøtter med kommandoen sqrt. For eksempel betyr sqrt(2) kvadratrota av 2. For andre former for røtter bruker vi kommandoen nrot eller nroot. Da må vi først oppgi hva vi skal trekke ut rota av, deretter hvilken rot vi skal trekke ut. For eksempel betyr nrot(8, 3) tredjerota av 8, mens nrot(3, 8) betyr åttenderota av 3.

Disse kommandoene kan vi skrive både i inntastingsfeltet og i CAS. Forskjellen er at inntastingsfeltet brukes mest til funksjonsforskrifter, for eksempel vil uttrykket sqrt(x^3) i inntastingsfeltet gi et plott av grafen til funksjonen $f(x)=\sqrt{x^3}$, mens det i CAS vil bli forenklet til $\sqrt x \, x$.

Eksempel 1:

Vi skal bruke GeoGebra til å forenkle uttrykket $\sqrt 8 + \sqrt 2$ mest mulig.

I CAS skriver vi sqrt(8) + sqrt(2), og GeoGebra forenkler uttrykket til $3 \sqrt 2$.

Dersom ikke uttrykket blir forenklet så langt vi ønsker, kan vi bruke kommandoen forenkle. For eksempel forenkle(sqrt(8) + sqrt(2)).

Oppgave 2:

Bruk CAS til å forenkle uttrykkene

1: $\sqrt[\Large 3]{x^4} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^{\phantom 1}}$

2: $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} }$

Se løsningsforslag

Potenser av parentesuttrykk

Hvis vi vil bruke CAS i GeoGebra til å regne ut potenser av parentesuttrykk, for eksempel (a + b)², bruker vi kommandoen regnut, for eksempel regnut((a + b)^2) for å illustrere første kvadratsetning.

CAS er spesielt nyttig ved mer kompliserte uttrykk, for eksempel (a + b + c)⁴, som kan være omstendelige å regne ut for hånd.

Oppgave 3:

Bruk CAS til å regne ut (x + 5)³.

Se løsningsforslag

Faktorisere polynomer

Vi kan faktorisere polynomer ved hjelp av kommandoen faktoriser. For å faktorisere polynomet 2x² − 10x + 12, for eksempel, skriver vi faktoriser(2x^2 − 10x + 12). GeoGebra svarer med 2(x − 3)(x − 2). GeoGebra finner ikke faktorer som er komplekse tall.

Løse likninger

Vi kan bruke CAS til å løse likninger. Vi skriver da inn likningsuttrykket og trykker på «Løs» eller «Løs numerisk».

Forskjellen på «Løs» og «Løs numerisk» er at hvis løsningen involverer brøker eller rotuttrykk, vises disse med «Løs», mens de med «Løs numerisk» rundes av til desimaltall.

Vi kan også bruke kommandoen løs eller nløs for å gjøre det samme.

Løse likningssett

Vi kan også løse likningssett med CAS. Den letteste måten å gjøre det på er å legge inn likningene én for én, markere alle, og så klikke på «Løs» eller «Nøs Numerisk».

Eksempel 2:

Vi skal løse likningen 5x = 3 i CAS. Vi skriver inn 5x = 3. Trykker vi på «Løs», svarer GeoGebra ${\Large \lbrace} x = {\large \frac{3}{5}} {\Large \rbrace}$. Trykker vi på «Løs numerisk», svarer GeoGebra ${\Large \lbrace} x = 0.6 {\Large \rbrace}$.

Alternativt skriver vi løs(5x = 3) eller nløs(5x = 3).

Vi kan også skrive kommandoen løs eller nløs og oppgi likningene mellom krøllparenteser, samt de ukjente vi skal løse for mellom krøllparenteser.

Eksempel 3:

Vi skal løse likningssettet

2x + 3y + z = 37
3x + 2y + 3z = 45
3x + y + z = 33

I CAS legger vi inn likningene, én i hver rute. Deretter markerer vi alle likningene ved å klikke på rute «1», holde nede <skift> og klikke på rute «3». Så klikker vi på «Løs» eller «Nøs Numerisk». Siden løsningene er hele tall, spiller det i dette tilfellet ikke noen rolle hva vi velger. GeoGebra viser løsningen x = 8, y = 6, z = 3.

Alternativt skriver vi løs({2x + 3y + z = 37, 3x + 2y + 3z = 45, 3x + y + z = 33}, {x, y, z}). Vi kan også skrive nløs i stedet for løs.

Oppgave 4:

Bruk CAS til å løse likningssettet

(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8

Se løsningsforslag

Kilder

• • GeoGebra manual