Derivasjon med GeoGebra
Kommandoer for derivasjon
GeoGebra har kommandoer for å derivere en funksjon en eller flere ganger:
Derivert: Derivert(f) eller f'(x).
Andrederivert: Derivert(f, 2) eller f''(x).
Tredjederivert: Derivert(f, 3) eller f'''(x).
n'te-derivert: Derivert(f, n) eller fn apostrofer(x) der n er et positivt helt tall.
Her er f navnet på funksjonen vi skal derivere, og x navnet på den uavhengige variabelen.
GeoGebra viser funksjonsforskriften til den deriverte i algebrafeltet og tegner grafen i grafikkfeltet.
Bruk GeoGebra til å finne første- og fjerdederiverte til funksjonen $f(x) = 3x^5 + 2x^4 – 3x^3 – x^2 + 2x – 1$.
GeoGebra følger dessverre ikke konvensjonen med å sette inn et tall for å angi deriverte av høyere orden enn 3, for eksempel $f^{(4)}(x)$ for den fjerdederiverte til $f(x)$. I stedet fylles bare på med apostrofer. Dette blir litt uoversiktlig.
Illustrere definisjonen av den deriverte
Med GeoGebra kan vi illustrere definisjonen av den deriverte grafisk.
Eksempel 1:
Vi skal bruke stigningstallet til en funksjons tangent til å skissere funksjonens deriverte.
Vi velger – nokså tilfeldig – funksjonen $f(x) = x^3 + 4x^2 – 2$.
Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: x^3 + 4x^2 – 2.
GeoGebra viser funksjonsforskriften i algebrafeltet og tegner grafen i grafikkfeltet.
Vi setter inn et punkt på grafen ved å velge "Nytt punkt" fra denne menyen:
Vi klikker et vilkårlig sted på grafen.
GeoGebra setter inn et punkt, $A$, som glir langs grafen når vi drar i det.
Vi setter inn en tangent til grafen i punktet $A$ ved å velge "Tangenter" fra denne menyen:
Vi klikker på punktet $A$, deretter på grafen.
GeoGebra setter inn en tangent til grafen i punktet $A$.
Vi setter inn stigningstall for tangenten ved å velge "Stigning" fra denne menyen:
Vi klikker på tangenten.
GeoGebra viser stigningstallet til tangenten grafisk i grafikkfeltet og oppgir tallverdien i algebrafeltet under navnet $a_1$.
Vi lager et punkt som ligger på x-aksen under punktet $A$ ved å skrive (x(A), 0) i inntastingsfeltet. Dette punktet har samme x-koordinat som $A$, og y-koordinat $0$. Det vil altså alltid ligge på x-aksen like under $A$.
GeoGebra setter inn et punkt, $B$, med disse koordinatene.
Vi endrer y-koordinaten til punktet $B$, slik at det i stedet for $0$ har en verdi som er lik stigningstallet til tangenten. Det gjør ved å endre "Definisjon" i Innstillinger-dialogboksen. Vi overskriver 0 med a_1. a_1 betyr $a_1$, altså stigningstallet til tangenten:
GeoGebra endrer definisjonen av punktet $B$ til $(x(A), a_1)$.
Vi setter sporing på punktet $B$ ved å høyreklikke på $B$ og velge "Slå på sporing".
Vi har nå et verktøy til å illustrere at den deriverte til en funksjon har samme verdi som tangenten til funksjonen.
Se GeoGebra-fil med eksempel 1
Se film som illustrerer eksempel 1
Filmen illustrerer i tillegg funksjonene $f(x) = \sin x$ og $f(x) = e^x$.
Eksempel 2:
Vi skal illustrere definisjonen av den deriverte:
$f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\displaystyle f(x + \Delta x) – f(x)}{\displaystyle \Delta x}$
ved å lage en sekant som går gjennom punktene $A: (a, f(a))$ og $B: (a + \Delta x, f(a + \Delta x))$ og se at stigningstallet til denne nærmer seg stigningstallet til tangenten i $A$ når $A$ og $B$ nærmer seg hverandre, altså når $\Delta x$ går mot null.
Vi velger – nokså tilfeldig – funksjonen $f(x) = x^2 + 1$.
Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: x^2 + 1.
GeoGebra viser funksjonsforskriften i algebrafeltet og tegner grafen i grafikkfeltet.
Vi setter inn to punkter på grafen ved å velge "Nytt punkt" fra denne menyen:
Vi klikker to vilkårlige steder på grafen.
GeoGebra setter inn to punkter, $A$ og $B$, som glir langs grafen når vi drar i dem.
Vi setter inn en sekant som går gjennom punktene ved å velge "Linje gjennom to punkt" fra denne menyen:
Vi klikker på de to punktene $A$ og $B$.
Vi lager et punkt som ligger på x-aksen rett under $A$ ved å skrive (x(A), 0) i inntastingsfeltet. Dette punktet har samme x-koordinat som $A$, og y-koordinat $0$. Det vil altså alltid ligge på x-aksen like under $A$.
GeoGebra setter inn et punkt, $C$, med disse koordinatene.
Vi lager et punkt som ligger på x-aksen rett under $B$ ved å skrive (x(B), 0) i inntastingsfeltet. Dette punktet har samme x-koordinat som $B$, og y-koordinat $0$ . Det vil altså alltid ligge på x-aksen like under $B$.
GeoGebra setter inn et punkt, $D$, med disse koordinatene.
Vi illustrerer at punktene $A$ og $C$ og punktene $B$ og $D$ henger sammen ved å trekke linjer mellom dem ved å velge "Linjestykke mellom to punkt" fra denne menyen:
Vi klikker deretter på punktene $A$ og $C$ og så på punktene $B$ og $D$.
Vi skal la punktet $C$ hete $a$, og punktet $B$ hete $a + \Delta x$.
Det kan være vanskelig å få til navnet $a + \Delta x$ skikkelig bare ved å endre i Innstillinger-dialogboksen. Så i stedet lager vi to tekstbiter og lenker til punktene.
Vi velger "Sett inn tekst" fra denne menyen:
Vi klikker i grafikkfeltet og skriver $a$ i dialogboksen som kommer opp. Vi krysser av for "LaTeX-formel" og klikker "OK".
GeoGebra setter inn teksten $a$.
Vi gjør tilsvarende for $a + \Delta x$. Symbolet $\Delta$ finner vi under menyen "Symbol":
Vi høyreklikker på $a$, velger "Egenskaper" og velger "C" under "Posisjon":
GeoGebra lenker teksten $a$ til punktet $C$ og flytter teksten ned til $C$.
Vi gjør tilsvarende for $a + \Delta x$ og $D$.
Vi skrur av visning av navnene $C$ og $D$ i Innstillinger-dialogboksen.
Vi setter inn en tangent til grafen i punktet $A$ ved å velge "Tangenter" fra denne menyen:
Vi klikker på punktet $A$, deretter på grafen.
GeoGebra setter inn en tangent til grafen i punktet $A$.
Vi setter inn stigningstall for sekanten og tangenten ved å velge "Stigning" fra denne menyen:
Vi klikker på sekanten og på tangenten.
GeoGebra setter inn stigningstallet til sekanten og til tangenten.
Vi har nå et verktøy til å illustrere at den gjennomsnittlige stigningen mellom punktene $A$ og $B$ nærmer seg stigningen til tangenten i $A$ når $B$ nærmer seg $A$.
Se GeoGebra-fil med eksempel 2
Se film som illustrerer eksempel 2
Filmen inneholder i tillegg litt kosmetiske detaljer som ikke er tatt med i tekstbeskrivelsen.
Kilder
- Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
- Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
- Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
- Wikipedia