Derivasjon med GeoGebra

Kommandoer for derivasjon

GeoGebra har kommandoer for å derivere en funksjon en eller flere ganger:

Derivert: Derivert(f) eller f′(x).

Andrederivert: Derivert(f, 2) eller f′′(x).

Tredjederivert: Derivert(f, 3) eller f′′′(x).

n’te-derivert: Derivert(f, n) eller f^{n apostrofer}(x) der n er et positivt helt tall.

Her er f navnet på funksjonen vi skal derivere, og x navnet på den uavhengige variabelen.

GeoGebra viser funksjonsforskriften til den deriverte i algebrafeltet og tegner grafen i grafikkfeltet.

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å finne første- og fjerdederiverte til funksjonen
f(x) = 3x⁵ + 2x⁴ – 3x³ – x² + 2x – 1.

Se løsningsforslag

GeoGebra følger dessverre ikke konvensjonen med å sette inn et tall for å angi deriverte av høyere orden enn 3, for eksempel f⁽⁴⁾(x) for den fjerdederiverte til f(x). I stedet fylles bare på med apostrofer. Dette blir litt uoversiktlig.

Illustrere definisjonen av den deriverte

Med GeoGebra kan vi illustrere definisjonen av den deriverte grafisk.

Eksempel 1:

Vi skal bruke stigningstallet til en funksjons tangent til å skissere funksjonens deriverte.

Vi velger – nokså tilfeldig – funksjonen f(x) = x³ + 4x² – 2.

Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: x^3 + 4x^2 – 2.

GeoGebra viser funksjonsforskriften i algebrafeltet og tegner grafen i grafikkfeltet.

Vi setter inn et punkt på grafen ved å velge “Nytt punkt” fra denne menyen:

Vi klikker et vilkårlig sted på grafen.

GeoGebra setter inn et punkt, A, som glir langs grafen når vi drar i det.

Vi setter inn en tangent til grafen i punktet A ved å velge “Tangenter” fra denne menyen:

Vi klikker så på punktet A, deretter på grafen.

GeoGebra setter inn en tangent til grafen i punktet A.

Vi setter inn stigningstall for tangenten ved å velge “Stigning” fra denne menyen:

Vi klikker så på tangenten.

GeoGebra viser stigningstallet til tangenten grafisk i grafikkfeltet og oppgir tallverdien i algebrafeltet under navnet a₁. (Dersom navnet blir a eller noe annet, må de følgende beskrivelsene justeres tilsvarende.)

Vi lager et punkt som ligger på x-aksen under punktet A ved å skrive (x(A), 0) i inntastingsfeltet. Dette punktet har samme x-koordinat som A, og y-koordinat 0. Det vil altså alltid ligge på x-aksen like under A.

GeoGebra setter inn et punkt, B, med disse koordinatene.

Vi endrer y-koordinaten til punktet B, slik at det i stedet for 0 har en verdi som er lik stigningstallet til tangenten. Det gjør ved å endre “Definisjon” i Innstillinger-dialogboksen. Vi overskriver 0 med a_1. a_1 betyr a₁, altså stigningstallet til tangenten:

GeoGebra endrer definisjonen av punktet B til (x(A), a).

Vi setter sporing på punktet B ved å høyreklikke på B og velge “Slå på sporing”.

Vi har nå et verktøy til å illustrere at den deriverte til en funksjon har samme verdi som tangenten til funksjonen. Når vi drar i punktet A, slik at det følger grafen til f(x), vil B tegne opp kurven til f′(x).

Se GeoGebra-fil med eksempel 1
 

Se film som illustrerer eksempel 1

 
Filmen illustrerer i tillegg funksjonene f(x) = sin x og f(x) = e^x.

Eksempel 2:

Vi skal illustrere definisjonen av den deriverte:

$f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\displaystyle f(x + \Delta x) – f(x)}{\displaystyle \Delta x}$

ved å lage en sekant som går gjennom punktene A: (a, f(a)) og B: (a + Δx, f(a + Δx)) og se at stigningstallet til denne nærmer seg stigningstallet til tangenten i A når A og B nærmer seg hverandre, altså når Δx går mot null.

Vi velger – nokså tilfeldig – funksjonen f(x) = x² + 1.

Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: x^2 + 1.

GeoGebra viser funksjonsforskriften i algebrafeltet og tegner grafen i grafikkfeltet.

Vi setter inn to punkter på grafen ved å velge “Nytt punkt” fra denne menyen:

Vi klikker så på to vilkårlige steder på grafen.

GeoGebra setter inn to punkter, A og B, som glir langs grafen når vi drar i dem.

Vi setter inn en sekant som går gjennom punktene ved å velge “Linje gjennom to punkt” fra denne menyen:

Vi klikker så på de to punktene A og B.

Vi lager et punkt som ligger på x-aksen rett under A ved å skrive (x(A), 0) i inntastingsfeltet. Dette punktet har samme x-koordinat som A, og y-koordinat 0. Det vil altså alltid ligge på x-aksen like under A.

GeoGebra setter inn et punkt, C, med disse koordinatene.

Vi lager et punkt som ligger på x-aksen rett under B ved å skrive (x(B), 0) i inntastingsfeltet. Dette punktet har samme x-koordinat som B, og y-koordinat 0. Det vil altså alltid ligge på x-aksen like under B. 

GeoGebra setter inn et punkt, D, med disse koordinatene.

Vi illustrerer at punktene A og C og punktene B og D henger sammen ved å trekke linjer mellom dem ved å velge “Linjestykke mellom to punkt” fra denne menyen:

Vi klikker så på punktene A og C og deretter på punktene B og D.

Vi skal la punktet C hete a, og punktet B hete a + Δx.

Det kan være vanskelig å få til navnet a + Δx skikkelig bare ved å endre i Innstillinger-dialogboksen. Så i stedet lager vi to tekstbiter og lenker til punktene.

Vi velger “Tekst” fra denne menyen:

Vi klikker i grafikkfeltet og skriver a i dialogboksen som kommer opp. Vi krysser av for “LaTeX-formel” og klikker “OK”.

GeoGebra setter inn teksten a.

Vi gjør tilsvarende for a + Δx. Symbolet Δ finner vi under menyen “Symbol”:

Alternativt kan vi skrive LaTeX-koden direkte: a + \Delta x.

Vi høyreklikker på a, velger “Egenskaper” og velger “C” under “Posisjon”:

GeoGebra lenker teksten A til punktet C og flytter teksten ned til C.

Vi gjør tilsvarende for a + Δx og D.

Vi skrur av visning av navnene C og D ved å høyreklikke på navnene i algebrafeltet og skru av “Vis navn”.

Vi setter inn en tangent til grafen i punktet A ved å velge “Tangenter” fra denne menyen:

Vi klikker så på punktet A, deretter på grafen.

GeoGebra setter inn en tangent til grafen i punktet A.

Vi setter inn stigningstall for sekanten og tangenten ved å velge “Stigning” fra denne menyen:

Vi klikker på sekanten og på tangenten.

GeoGebra setter inn stigningstallet til sekanten og til tangenten.

Vi har nå et verktøy til å illustrere at den gjennomsnittlige stigningen mellom punktene A og B nærmer seg stigningen til tangenten i A når B nærmer seg A.

Se GeoGebra-fil med eksempel 2
 

Se film som illustrerer eksempel 2

Filmen inneholder i tillegg litt kosmetiske detaljer som ikke er tatt med i tekstbeskrivelsen.

Kilder

• Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
• Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
• Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget