Integrasjon med GeoGebra

GeoGebra kan brukes til å beregne både bestemte og ubestemte integraler.

Ubestemte integraler

For å få GeoGebra til å beregne et ubestemt integral, skriver vi Integral[f] i inntastingsfeltet, der f er navnet på funksjonen vi ønsker å integrere. GeoGebra integrerer f og presenterer den nye funksjonsforskriften i algebrafeltet, og viser grafen i grafikkfeltet. GeoGebra følger imidlertid ikke konvensjonen med å betegne den nye funksjonen med stor bokstav, og navngir funksjonen på vanlig måte, for eksempel som g.

GeoGebra kan ikke tegne en graf før det er satt en verdi for integrasjonskonstanten, C, så GeoGebra setter C til 0, det vil si at C ikke tas med i funksjonsforskriften.

Av og til sorteres leddene i en sammensatt funksjonsforskrift litt rart, parenteser multipliseres ut på en måte som kompliserer, og det trekkes ikke alltid sammen så mye som mulig. Det kan derfor være lurt å bruke GeoGebras CAS til integrasjon hvis vi ikke er interessert i å se grafen.

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å beregne integralet $\int 3x^2dx$.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Du har for hånd beregnet at $\int \sin 3x\, dx$ blir ${\large \frac{\cos 3x}{3}} + C$. Bruk GeoGebra til å sjekke om du har regnet riktig.

Se film der løsningen vises
 

Bestemte integraler

For å beregne bestemte integraler bruker vi samme kommando som for ubestemte, Integral, men vi inkluderer en nedre og øvre integrasjonsgrense. Vi skriver: Integral[f, a, b] i inntastingsfeltet, der f er navnet på funksjonen vi ønsker å integrere, a er nedre og b er øvre integrasjonsgrense.

Integralet vises som et tall i algebrafeltet, og i grafikkfeltet vises arealet under grafen til f, avgrenset av linjene x = a og x = b.

En variant er kommandoen IntegralMellom[f, g, a, b] som beregner det bestemte integralet av differansen mellom f og g, altså arealet mellom grafen til f og g, avgrenset av linjene x = a og x = b. Dette er illustrert under for f(x) = x + 1 (blå graf), g(x) = x² – 2x + 1 (grønn graf), a = 1 og b = 2.

Se den tilhørende GeoGebra-fila
 

Oppgave 3:

1. Bruk GeoGebra til å finne arealet under grafen f(x) = x² avgrenset av linjene x = 0 og x = 2.
    
2. Bruk GeoGebra til å finne arealet mellom grafen g(x) = x + 1 og f(x) = x².

Se film der løsningen vises
 

Se den tilhørende GeoGebra-fila
 

Bestemt integral som sum av rektangler

I undervisningssammenheng illustrerer en gjerne et bestemt integral som en sum av arealene til rektangler som ligger inntil grafen. GeoGebra tilbyr to funksjoner som illustrerer dette:

SumOver[f, a, b, n)] deler opp arealet under f avgrenset av a og b i n rektangler der rektanglenes øvre høyre hjørne ligger på grafen.

SumUnder[f, a, b, n] er tilsvarende, men det er rektanglenes øvre venstre hjørne som ligger på grafen.

Dette er illustrert under for f(x) = x², a = 0, b = 2, n = 6.

SumOver[f, 0, 2, 6]	SumUnder[f, 0, 2, 6]

Kombinert med en glider vil vi kunne illustrere hvordan oppdeling i stadig mindre rektangler fører til at rektanglenes areal nærmer seg et bestemt integral. SumOver fra oversiden og SumUnder fra undersiden.

Oppgave 4:

1. Bruk GeoGebra til å finne oversum og undersum for f(x) = x² med 10 rektangler mellom x = 0 og x = 2.
    
2. Utvid det du laget i punkt 1 med en glider slik at du kan variere mellom 1 og 100 rektangler.
    
3. Sammenlign oversummen og undersummen med $\int\limits_0^2 f(x) \, dx$.

Se film der løsningen vises
 

Se den tilhørende GeoGebra-fila
 

Kilder

• Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
• Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
• Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget