Integrasjon med GeoGebra

GeoGebra kan brukes til å beregne både bestemte og ubestemte integraler.

Kommandoen for å integrere heter Integral. Vi kan skrive inn funksjonsforskriften vi vil integrere direkte i kommandoen, for eksempel Integral(6x^2), eller vi kan bruke kommandoen på en funksjon vi allerede har lagt inn. Har vi lagt inn en funksjon som heter f, integrerer vi den med kommandoen Integral(f). GeoGebra viser funksjonsforskriften til den integrerte funksjonen i algebrafeltet og grafen i grafikkfeltet. GeoGebra følger imidlertid ikke konvensjonen med å betegne den integrerte med stor bokstav, og navngir funksjonen på vanlig måte, for eksempel som g.

Ubestemte integraler

Et ubestemt integral beregner vi, som vist over, ved å skrive inn funksjonsforskriften eller funksjonsnavnet sammen med Integral-kommandoen, for eksempel Integral(6x^2), eller Integral(f).

GeoGebra setter i utgangspunktet integrasjonskonstanten C til 0. Av og til opprettes C som en glider vi kan justere på, men det ser ikke ut til alltid å skje. Da kan vi eventuelt gjøre det manuelt.

Av og til sorteres leddene i en sammensatt funksjonsforskrift litt rart, parenteser multipliseres ut på en måte som kompliserer, og det trekkes ikke alltid sammen så mye som mulig. Det kan derfor være lurt å bruke GeoGebras CAS til integrasjon hvis vi ikke er interessert i å se grafen.

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å beregne integralet $\int 3x^2dx$.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Du har for hånd beregnet at $\int \sin 3x\, dx$ blir ${\large \frac{\cos 3x}{3}} + C$. Bruk GeoGebra til å sjekke om du har regnet riktig.

Se film der løsningen vises
 

Bestemte integraler

For å beregne et bestemt integral bruker vi samme kommando som for et ubestemt, Integral, men vi inkluderer en nedre og øvre integrasjonsgrense. Vil vi for eksempel integrere funksjonen f mellom grensene a og b, skriver vi Integral(f, a, b) i inntastingsfeltet.

Integralet vises som et tall i algebrafeltet, og i grafikkfeltet vises arealet under grafen til f, avgrenset av linjene x = a og x = b.

Eksempel 1:

Vi har funksjonen f(x) = x² i GeoGebra, og skal beregne $\int\limits_1^2 f(x) \; dx$.

Vi skriver Integral(f, 1, 2) i inntastingsfeltet. GeoGebra viser tallverdien til integralet, 2,33, i algebrafeltet, og markerer arealet under grafen til f(x) = x² i grafikkvinduet:

En variant er kommandoen IntegralMellom[f, g, a, b] som beregner det bestemte integralet av differansen mellom f og g, altså arealet mellom grafen til f og g, avgrenset av linjene x = a og x = b. Dette er illustrert under for f(x) = x + 1 (blå graf), g(x) = x² – 2x + 1 (grønn graf), a = 1 og b = 2.

Se den tilhørende GeoGebra-fila
 

Oppgave 3:

1. Bruk GeoGebra til å finne arealet under grafen til f(x) = x² avgrenset av linjene x = 0 og x = 2.
    
2. Bruk GeoGebra til å finne arealet mellom grafen til g(x) = x + 1 og f(x) = x².

Se film der løsningen vises
 

Se den tilhørende GeoGebra-fila
 

Bestemt integral som sum av rektangler

I undervisningssammenheng illustrerer en gjerne et bestemt integral som en sum av arealene til rektangler som ligger inntil grafen. GeoGebra tilbyr to funksjoner som illustrerer dette:

SumOver[f, a, b, n)] deler opp arealet under f avgrenset av a og b i n rektangler der rektanglenes øvre høyre hjørne ligger på grafen.

SumUnder[f, a, b, n] er tilsvarende, men det er rektanglenes øvre venstre hjørne som ligger på grafen.

Dette er illustrert under for f(x) = x², a = 0, b = 2, n = 6.

SumOver[f, 0, 2, 6]	SumUnder[f, 0, 2, 6]

Kombinert med en glider vil vi kunne illustrere hvordan oppdeling i stadig mindre rektangler fører til at rektanglenes areal nærmer seg et bestemt integral. SumOver fra oversiden og SumUnder fra undersiden.

Oppgave 4:

1. Bruk GeoGebra til å finne oversum og undersum for f(x) = x² med 10 rektangler mellom x = 0 og x = 2.
    
2. Utvid det du laget i punkt 1 med en glider slik at du kan variere mellom 1 og 100 rektangler.
    
3. Sammenlign oversummen og undersummen med $\int\limits_0^2 f(x) \, dx$.

Se film der løsningen vises
 

Se den tilhørende GeoGebra-fila
 

Kilder

• Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
• Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
• Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget