GeoGebra kan brukes til å beregne både bestemte og ubestemte integraler.
Ubestemte integraler
For å få GeoGebra til å beregne et ubestemt integral, skriver vi Integral[f] i inntastingsfeltet, der $f$ er navnet på funksjonen vi ønsker å integrere. GeoGebra integrerer $f$ og presenterer den nye funksjonsforskriften i algebrafeltet, og viser grafen i grafikkfeltet. GeoGebra følger imidlertid ikke konvensjonen med å betegne den nye funksjonen med stor bokstav, og navngir funksjonen på vanlig måte, for eksempel som $g$.
GeoGebra kan ikke tegne en graf før det er satt en verdi for integrasjonskonstanten, $C$, så GeoGebra setter $C$ til 0, det vil si at $C$ ikke tas med i funksjonsforskriften.
Av og til sorteres leddene i en sammensatt funksjonsforskrift litt rart, parenteser multipliseres ut på en måte som kompliserer, og det trekkes ikke alltid sammen så mye som mulig. Det kan derfor være lurt å bruke GeoGebras CAS til integrasjon hvis vi ikke er interessert i å se grafen.
Bruk GeoGebra til å beregne integralet $\int 3x^2dx$.
Oppgave 2:
Du har for hånd beregnet at $\int \sin 3x\, dx$ blir ${\large \frac{\cos 3x}{3}} + C$. Bruk GeoGebra til å sjekke om du har regnet riktig.
Se film der løsningen vises
Bestemte integraler
For å beregne bestemte integraler bruker vi samme kommando som for ubestemte, Integral, men vi inkluderer en nedre og øvre integrasjonsgrense. Vi skriver: Integral[f, a, b] i inntastingsfeltet, der $f$ er navnet på funksjonen vi ønsker å integrere, $a$ er nedre og $b$ er øvre integrasjonsgrense.
Integralet vises som et tall i algebrafeltet, og i grafikkfeltet vises arealet under grafen til $f$, avgrenset av linjene $x = a$ og $x = b$.
En variant er kommandoen IntegralMellom[f, g, a, b] som beregner det bestemte integralet av differansen mellom $f$ og $g$, altså arealet mellom grafen til $f$ og $g$, avgrenset av linjene $x = a$ og $x = b$. Dette er illustrert under for $f(x) = x + 1$ (blå graf), $g(x) = x^2 – 2x + 1$ (grønn graf), $a = 1$ og $b = 2$.
Se den tilhørende GeoGebra-fila
Oppgave 3:
-
Bruk GeoGebra til å finne arealet under grafen $f(x) = x^2$ avgrenset av linjene $x = 0$ og $x = 2$.
- Bruk GeoGebra til å finne arealet mellom grafen $g(x) = x + 1$ og $f(x) = x^2$.
Se den tilhørende GeoGebra-fila
Bestemt integral som sum av rektangler
I undervisningssammenheng illustrerer en gjerne et bestemt integral som en sum av arealene til rektangler som ligger inntil grafen. GeoGebra tilbyr to funksjoner som illustrerer dette:
SumOver[f, a, b, n)] deler opp arealet under $f$ avgrenset av $a$ og $b$ i $n$ rektangler der rektanglenes øvre høyre hjørne ligger på grafen.
SumUnder[f, a, b, n] er tilsvarende, men det er rektanglenes øvre venstre hjørne som ligger på grafen.
Dette er illustrert under for $f(x) = x^2, a = 0, b = 2, n = 6$.
|
|
| SumOver[f, 0, 2, 6] | SumUnder[f, 0, 2, 6] |
Kombinert med en glider vil vi kunne illustrere hvordan oppdeling i stadig mindre rektangler fører til at rektanglenes areal nærmer seg et bestemt integral. SumOver fra oversiden og SumUnder fra undersiden.
Oppgave 4:
-
Bruk GeoGebra til å finne oversum og undersum for $f(x) = x^2$ med $10$ rektangler mellom $x = 0$ og $x = 2$.
-
Utvid det du laget i punkt 1 med en glider slik at du kan variere mellom $1$ og $100$ rektangler.
- Sammenlign oversummen og undersummen med $\int\limits_0^2 f(x) \, dx$.
Se den tilhørende GeoGebra-fila
Kilder
- Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
- Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
- Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
- Wikipedia