Integrasjon med GeoGebra

GeoGebra kan brukes til å beregne både bestemte og ubestemte integraler.

Ubestemte integraler

For å få GeoGebra til å beregne et ubestemt integral, skriver vi Integral[f] i inntastingsfeltet, der $f$ er navnet på funksjonen vi ønsker å integrere. GeoGebra integrerer $f$ og presenterer den nye funksjonsforskriften i algebrafeltet, og viser grafen i grafikkfeltet. GeoGebra følger imidlertid ikke konvensjonen med å betegne den nye funksjonen med stor bokstav, og navngir funksjonen på vanlig måte, for eksempel som $g$.

GeoGebra kan ikke tegne en graf før det er satt en verdi for integrasjonskonstanten, $C$, så GeoGebra setter $C$ til 0, det vil si at $C$ ikke tas med i funksjonsforskriften.

Av og til sorteres leddene i en sammensatt funksjonsforskrift litt rart, parenteser multipliseres ut på en måte som kompliserer, og det trekkes ikke alltid sammen så mye som mulig. Det kan derfor være lurt å bruke GeoGebras CAS til integrasjon hvis vi ikke er interessert i å se grafen.

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å beregne integralet $\int 3x^2dx$.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Du har for hånd beregnet at $\int \sin 3x\, dx$ blir ${\large \frac{\cos 3x}{3}} + C$. Bruk GeoGebra til å sjekke om du har regnet riktig.

Se film der løsningen vises
 

Bestemte integraler

For å beregne bestemte integraler bruker vi samme kommando som for ubestemte, Integral, men vi inkluderer en nedre og øvre integrasjonsgrense. Vi skriver: Integral[f, a, b] i inntastingsfeltet, der $f$ er navnet på funksjonen vi ønsker å integrere, $a$ er nedre og $b$ er øvre integrasjonsgrense.

Integralet vises som et tall i algebrafeltet, og i grafikkfeltet vises arealet under grafen til $f$, avgrenset av linjene $x = a$ og $x = b$.

En variant er kommandoen IntegralMellom[f, g, a, b] som beregner det bestemte integralet av differansen mellom $f$ og $g$, altså arealet mellom grafen til $f$ og $g$, avgrenset av linjene $x = a$ og $x = b$. Dette er illustrert under for $f(x) = x + 1$ (blå graf), $g(x) = x^2 – 2x + 1$ (grønn graf), $a = 1$ og $b = 2$.

Se den tilhørende GeoGebra-fila
 

Oppgave 3:

1. Bruk GeoGebra til å finne arealet under grafen $f(x) = x^2$ avgrenset av linjene $x = 0$ og $x = 2$.
    
2. Bruk GeoGebra til å finne arealet mellom grafen $g(x) = x + 1$ og $f(x) = x^2$.

Se film der løsningen vises
 

Se den tilhørende GeoGebra-fila
 

Bestemt integral som sum av rektangler

I undervisningssammenheng illustrerer en gjerne et bestemt integral som en sum av arealene til rektangler som ligger inntil grafen. GeoGebra tilbyr to funksjoner som illustrerer dette:

SumOver[f, a, b, n)] deler opp arealet under $f$ avgrenset av $a$ og $b$ i $n$ rektangler der rektanglenes øvre høyre hjørne ligger på grafen.

SumUnder[f, a, b, n] er tilsvarende, men det er rektanglenes øvre venstre hjørne som ligger på grafen.

Dette er illustrert under for $f(x) = x^2, a = 0, b = 2, n = 6$.

SumOver[f, 0, 2, 6]	SumUnder[f, 0, 2, 6]

Kombinert med en glider vil vi kunne illustrere hvordan oppdeling i stadig mindre rektangler fører til at rektanglenes areal nærmer seg et bestemt integral. SumOver fra oversiden og SumUnder fra undersiden.

Oppgave 4:

1. Bruk GeoGebra til å finne oversum og undersum for $f(x) = x^2$ med 10 rektangler mellom $x = 0$ og $x = 2$.
    
2. Utvid det du laget i punkt 1 med en glider slik at du kan variere mellom 1 og 100 rektangler.
    
3. Sammenlign oversummen og undersummen med $\int\limits_0^2 f(x) \, dx$.

Se film der løsningen vises
 

Se den tilhørende GeoGebra-fila
 

Kilder

• Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
• Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
• Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
• Wikipedia