Statistikk med GeoGebra

Søylediagram og histogram

For å kunne lage diagrammer på en effektiv måte i GeoGebra, må vi ta i bruk GeoGebras regneark. Hvis regnearket ikke allerede er framme, klikker vi på «Vis» – «Regneark».

Vil vi ha regnearket bort igjen, klikker vi på «Vis» – «Regneark» en gang til.

Blir det trangt om plassen, kan vi godt skjule algebrafeltet, det er ikke så interessant når vi skal lage diagrammer. Hvis algebrafeltet er framme, vil det forsvinne hvis vi klikker på «Vis» – «Algebrafelt».

Regnearket i GeoGebra fungerer på samme måte som andre regneark, for eksempel Excel, men har mindre funksjonalitet.

Arbeidsgangen ved å lage diagrammer er å først skrive dataene i regnearket og så skrive en kommando som refererer til dataene i inntastingsfeltet. Referanse til data gjøres gjennom å oppgi navnene på cellene der dataene befinner seg. Dette navnet består av kolonnenavnet satt sammen med radnummeret, for eksempel A1, for cella øverst til venstre.
NB! Kolonnenavn må angis med store bokstaver.

Kommandoen for å lage søylediagrammer er SøyleDiagram, og kommandoen for å lage histogrammer er Histogram.

Søylediagram kan vi lage på flere måter. Én måte er å skrive inn alle verdiene i et område i regnearket, og i SøyleDiagram-kommandoen angi navnet på cella øverst til venstre og cella nederst til høyre i dataområdet, atskilt med kolon. Vi må også angi ønsket søylebredde. 

Eksempel 1:

Vi skal lage et søylediagram som presenterer dataene fra eksempel 1 i artikkelen om måltall i statistikk, 140, 141, 137, 143, 145, 142, 139, 138, 139, 141, 144, 137, 138, 142, 140, 142, 140, 138, 135, 142, 144, 141, 148, 140, 149, 135, 141, 140, 139 og 137.

Vi skriver da inn verdiene i regnearket:

Øvre, venstre celle i dataområdet er A1 og nedre, høyre D8. Det spiller ingen rolle at det er tomme celler i området, de blir ignorert av GeoGebra.

I inntastingsfeltet skriver vi SøyleDiagram(A1:D8, 0.5), der 0.5 betyr at hver søyle skal ha en bredde på 0,5. GeoGebra lager et søylediagram i grafikkfeltet:

Det kan være vi må justere litt på aksene før vi ser diagrammet. Vi kan så endre farge, linjetykkelse, m.m. ved å høyreklikke på en av søylene og velge «Egenskaper».

Har vi algebrafeltet framme, ser vi at GeoGebra der presenterer tallet 15. Det virker jo litt underlig, siden vi har 30 celler med data. Men dette tallet angir ikke mengden data, men det totale arealet av søylene. Og siden søylebredden er 0,5 blir det totale arealet 30 · 0,5 = 15.

I stedet for å skrive inn hver forekomst av en verdi, kan vi angi hver verdi, og hvor mange ganger den forekommer. Vi angir da de forskjellige verdiene i én kolonne, antall forekomster i en annen. I SøyleDiagram-kommandoen angir vi så første og siste celle i hver av kolonnene, i stedet for å angi alt som ett dataområde. 

Eksempel 2:

Vi skal lage et søylediagram som presenterer samme data som eksempel 1, men nå baserer vi oss på frekvenstabellen i eksempel 2 i artikkelen om måltall i statistikk, der vi har talt opp hvor mange ganger hver høyde forekommer, 135:2, 136:0, 137:3, 138:3, 139:3, 140:5, 141:4, 142:4, 143:1, 144:2, 145:1, 146:0, 147:0, 148:1, 149:1.

Vi skriver inn verdiene i regnearket:

Her er høydene listet opp mellom celle A1 og A12 og antall forekomster mellom celle B1 og B12. I inntastingsfeltet skriver vi SøyleDiagram(A1:A12, B1:B12, 0.5). 0,5 er som før søylebredden, som vi kan sette til hva vi vil.

GeoGebra tegner opp samme søylediagram som i eksempel 1.

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å lage et søylediagram som viser fordeling av karakterene fra oppgave 1 i artikkelen om måltall i statistikk, altså 1, 4, 5, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 3, 3, 1, 3, 2, 5, 6, 3, 1, 4, 2.
Søylebredden skal være 0,75.
Bruk både metoden fra eksempel 1 og fra eksempel 2.

Se løsningsforslag

For å lage histogrammer, må vi angi intervallgrensene samt høyden av hver søyle. Vi forklarer dette greiest gjennom et eksempel:

Eksempel 3:

Vi skal lage et histogram som viser fire intervaller med bredder på henholdsvis 5, 5, 10 og 20. Det er 5 målinger i hvert intervall:

Intervall	[0, 5⟩	[5,10⟩	[10,20⟩	[20,40⟩
Frekvens	5	5	5	5

Vi starter med å fylle ut intervall og frekvens, slik det står i tabellen over:

Overskriftene er kosmetiske, de har ingen betydning for beregningene, og er der bare for å hjelpe oss å huske hva som er hva.

Vi har her angitt starten på hvert intervall i kolonne A, i tillegg til slutten på siste intervall. I kolonne B har vi skrevet inn frekvensen, altså antall forekomster i hvert intervall. Men vi trenger også høyden på hver søyle, og den er det enklest å la regnearket beregne selv. Vi starter med å lage en hjelpekolonne som inneholder bredden på hver søyle. Denne bredden er jo lik avstanden mellom starten på ett intervall og starten på neste. For å beregne bredden på første søyle, tar vi altså innholdet i celle A3 og trekker fra innholdet i celle A2. Dette kan vi gjøre direkte i regnearket ved å skrive = A3 – A2. Husk å skrive likhetstegnet!

I cella under skal det stå = A4 – A3, og så videre nedover. Men vi trenger ikke skrive inn dette selv. Hvis vi tar tak i nedre, høyre hjørne i celle C2 og drar nedover, fyller regnearket ut formlene selv.

Søylehøyden beregner vi så ved å dividere frekvensen på bredden. I celle D2 skriver vi = B2 / C2, og trykker <enter>. Så tar vi tak i nedre, høyre hjørne i cella og drar nedover. Resultatet blir slik:

Så gjenstår det bare å opprette selve histogrammet. Vi skriver Histogram(A2:A6, D2:D5) i inntastingsfeltet. Her angir altså A2:A6 celleområdet med intervallgrenser, D2:D5 celleområdet med søylehøyder. GeoGebra lager et histogram som vist under, når vi har justert aksene litt.

Oppgave 2:

Bruk GeoGebra til å lage et histogram som viser fordeling av karakterene fra oppgave 1, med intervaller 1-2, 3, 4 og 5-6.

Her kan det være lurt å sentrere søylene om karakterene, slik at intervallene blir 0,5-2,5, 2,5-3,5, 3,5-4,5 og 4,5-6,5.

Se løsningsforslag

Boksplott

Et boksplott kan være en god måte å illustrere spredningen i et datasett på. Boksplottet under illustrerer for eksempel dataene fra eksempel 15 i artikkelen om måltall i statistikk, 13, 14, 17, 18, 18, 21, 23, 23, 27, 30 og 32. Her er laveste verdi 13, første kvartil 17, median 21, tredje kvartil 27 og høyeste verdi 32.

Vi ser at de ytterste, vertikale strekene markerer laveste og høyeste verdi i datasettet, begynnelsen og slutten på boksen markerer første og tredje kvartil, og den vertikale streken inni boksen markerer medianen.

For å lage et boksplott, bruker vi kommandoen Boksplott. Skriver vi Boksplott(1, 0.5, 13, 17, 21, 27, 32), tegner GeoGebra boksplottet vist over. Tallene 1 og 0,5 som står først, betyr at boksplottet skal sentreres rundt y=1 og ha bredde 0,5. Deretter følger laveste verdi, første kvartil, median, tredje kvartil og høyeste verdi.

Bredden måles fra sentrum og ut, slik at boksens totale bredde blir 1.

Eksempel 4:

Vi skal lage et boksplott sentrert rundt y=2 med total bredde 0,8, laveste verdi 1, første kvartil 3, median 4, tredje kvartil 6 og høyeste verdi 7. Vi skriver Boksplott(2, 0.4, 1, 3, 4, 6, 7) i inntastingsfeltet. GeoGebra lager boksplottet under:

Det er også mulig å lage et boksplott basert på settet med rådata. I stedet for å skrive laveste verdi, første kvartil, median, tredje kvartil og høyeste verdi, lister vi da opp rådataene mellom krøllparenteser, for eksempel Boksplott(1, 0.5, {13, 14, 17, 18, 18, 21, 23, 23, 27, 30, 32}). Alternativt kan dataene legges inn i regneark-delen i GeoGebra. I stedet for å liste opp dataene, referer vi da til aktuelt celleområde, for eksempel, Boksplott(1, 0.5, A1:A11), hvis dataene ligger i kolonne A, fra rad 1 til 11. 

Oppgave 3:

Lag et boksplott av dataene fra oppgave 6 i artikkelen om måltall i statistikk, 6, 25, 15, 8, 29, 14, 27, 30, 0, 29, 0, 2, 23, 125, 5, 30, 20, 10, 14. Plottet skal være sentrert rundt y=1 og ha total bredde 1. 

1. Basert på rådataene.
    
2. Basert på at laveste verdi er 0, første kvartil 6, median 15, tredje kvartil 29 og største verdi 125.

Se løsningsforslag

Sannsynlighetsfordelinger

GeoGebra har en egen sannsynlighetskalkulator som vi får fram ved å klikke på «Vis» – «Sannsynlighetskalkulator».

Bildet under viser en framstilling av sannsynligheten for antall kron i et kast med 5 mynter.

Forventning og standardavvik angis altså med de greske bokstavene μ og σ.

«Venstresidig» brukes hvis vi skal finne sannsynligheten for at X er mindre eller lik en verdi. «Intervall» brukes hvis vi skal finne sannsynligheten for at X ligger på og mellom to verdier, og «Høyresidig» brukes hvis vi skal finne sannsynligheten for at X er større eller lik en verdi.

De aktuelle verdiene kan vi enten skrive i utfyllingsfeltene nederst, eller sette ved å dra i pilene i underkant av kolonnene.

Binomisk fordeling

Vi skal nå illustrere hvordan vi gjør beregninger i en binomisk modell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.

Eksempel 5:

Vi skal beregne forskjellige sannsynligheter for antall kron ved kast med 7 mynter. Hvis sannsynlighetskalkulatoren ikke er framme, tar vi den fram ved å velge «Vis» – «Sannsynlighetskalkulator».

Vi har en binomisk sannsynlighetsmodell. n = 7 fordi vi gjør 7 kast, og p = 0,5 fordi sannsynligheten for suksess er 0,5. Vi velger «Binomisk fordeling» og setter «n» til 7 og «p» til 0,5. GeoGebra regner ut at fordelingens forventningsverdi er μ = 3,5 og standardavviket σ ≈ 1,3229:

Så skal vi finne

1. Sannsynligheten for 3 kron.
   Vi klikker på symbolet for «Intervall» og angir 3 som både øvre og nedre grense. GeoGebra presenterer svaret 0,2734.
   
    
2. Sannsynligheten for 1 kron eller mindre.
   Vi klikker på symbolet for «Venstresidig» og angir 1 som øvre grense. GeoGebra presenterer svaret 0,0625.
   
    
3. Sannsynligheten for 5 kron eller mer.
   Vi klikker på symbolet for «Høyresidig» og angir 5 som nedre grense. GeoGebra presenterer svaret 0,2266.
   

I stedet for å angi X-verdiene ved å skrive inn tall, kan vi også dra i pil-symbolene under kolonnene.

Oppgave 4:

La X betegne antall kron i 8 kast med en juksemynt der sannsynligheten for kron er 0,6. Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne

1. ​Fordelingens forventningsverdi og standardavvik.
    
2. P(X = 4)
    
3. P(X ≤ 2)
    
4. P(X > 6)

Se løsningsforslag

Hypergeometrisk fordeling

Når vi skal gjøre beregninger i en hypergeometriskmodell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, velger vi naturligvis «Hypergeometrisk fordeling».

Parameterne heter imidlertid noe annet enn det vi har kalt dem i artikkelen om diskrete sannsynlighetsfordelinger. Grunnmengden N heter «populasjon», mengden spesielle elementer, M, heter «n» og antall vi trekker, n, heter «utvalg».

Eksempel 6:

Bildet under viser hva vi fyller ut for å beregne sannsynligheten for å få en hånd med akkurat 2 spar når vi trekker 5 kort fra en full stokk.

«Populasjon» er antall kort totalt, altså 52, «n» er antall spar totalt, altså 13 og «utvalg» er antall kort vi trekker, altså 5.
Så angir vi et intervall som både begynner og slutter med 2, og får som svar at sannsynligheten er om lag 0,2743.

Denne beregningen gjorde vi med formler i eksempel 4 i artikkelen om diskrete sannsynlighetsfordelinger.

Oppgave 5:

I en forening med 65 medlemmer er 13 negative til et forslag.

Bruk sannsynlighetskalkulatoren til å finne fordelingens forventning og standardavvik.

Anta at vi velger 20 representanter tilfeldig fra gruppen. Bruk sannsynlighetskalkulatoren til å finne sannsynligheten for at

1. Ingen av representantene er negative.
    
2. Én av representantene er negativ.
    
3. To eller flere av representantene er negative.

Disse beregningene gjorde vi for hånd i oppgave 4 og 3 i artikkelen om diskrete sannsynlighetsfordelinger.

Se løsningsforslag

Poissonfordeling

Når vi skal gjøre beregninger i en poissonfordelt modell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, velger vi naturligvis «Poissonfordeling».

Her heter imidlertid ikke hyppigheten λ, men «μ». Det er et naturlig valg, siden forventningsverdien i en poissonfordeling er lik λ.

Eksempel 7:

Bildet under viser hva vi fyller ut for å beregne sannsynligheten for 7 trær i et skogsområde når λ = 8, som vi regnet ut i eksempel 5 i artikkelen om diskrete sannsynlighetsfordelinger.

Vi får som svar at sannsynligheten er om lag 0,1396.

Oppgave 6:

I en vannprøve er det i gjennomsnitt to hoppekreps. Anta at mengden hoppekreps er poissonfordelt, og bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å finne sannsynligheten for at en annen, like stor vannprøve inneholder

1. Ingen hoppekreps.
    
2. Én hoppekreps.
    
3. To eller flere hoppekreps.

Disse beregningene gjorde vi for hånd i oppgave 5 i artikkelen om diskrete sannsynlighetsfordelinger.

Se løsningsforslag

Normalfordeling

Når vi skal gjøre beregninger i en normalfordelt modell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, velger vi naturligvis «Normalfordeling».

Vi må da fylle ut fordelingens forventning, «μ», og standardavvik, «σ».

Eksempel 8:

Bildet under viser hva vi fyller ut for å beregne sannsynligheten for at en person er mellom 170 og 180 cm når forventningen er 177 cm og standardavviket 7 cm. Vi ser at GeoGebra finner verdien 0,5072.
Dette regnet vi ut ved hjelp av tabeller i eksempel 4, punkt 3 i artikkelen om normalfordelingen. Da fikk vi 0,5077, som ikke er helt korrekt på grunn av avrundingsfeil i standardiseringen.

Oppgave 7:

På en eksamen er resultatene normalfordelt med en forventning på 14 poeng og et standardavvik på 2, N(14, 2²). Laveste poengsum for å stå er 12 poeng. Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne hvor stor del av de som tar eksamenen kan forventes å stryke.

Dette regnet vi ut for hånd i oppgave 2 i artikkelen om normalfordelingen.

​Se løsningsforslag

Diskret fordeling og normaltilnærming samtidig

I en diskret sannsynlighetsfordeling kan vi samtidig vise en tilnærmet normalfordeling ved å klikke på knappen med den røde normalfordelingskurven. Bildet under viser en binomisk fordeling med 20 forsøk og suksess-sannsynlighet 0,6, der den tilhørende normalfordelingen er tegnet inn.

Konfidensintervaller

Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra gir også mulighet for å beregne konfidensintervaller og utføre tester. Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og klikker på fanen «Statistikk».

Så velger vi type estimat, avhengig av hvilken modell vi er i.

Målemodell, kjent standardavvik

For å lage et konfidensintervall for et gjennomsnitt i en målemodell når en populasjons standardavvik er kjent, velger vi «Z-estimat av et gjennomsnitt». Så angir vi ønsket konfidensnivå, gjennomsnitt, standardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner grensene i konfidensintervallet.

Eksempel 9:

Vi skal finne et 95 % konfidensintervall for et gjennomsnitt i en normalfordelt populasjon med kjent standardavvik 0,7. Vi har målt 13 elementer, og funnet et gjennomsnitt på 4,14.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [3,7595, 4,5205].

Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 4 i artikkelen om estimering.

Oppgave 8:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 99 % konfidensintervall for dagsproduksjonen av støtfangere, basert på at gjennomsnittet målt over seks dager er X = 217 enheter og at produksjonen er normalfordelt med standardavvik σ = 5,8.

​Se løsningsforslag

Målemodell, ukjent standardavvik

For å lage et konfidensintervall for et gjennomsnitt i en målemodell når en populasjons standardavvik er ukjent, velger vi «T-estimat av et gjennomsnitt». Så angir vi ønsket konfidensnivå, gjennomsnitt, utvalgsstandardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner grensene i konfidensintervallet.

Eksempel 10:

Vi skal finne et 95 % konfidensintervall for et gjennomsnitt i en normalfordelt populasjon der vi har målt 13 elementer, og funnet et gjennomsnitt på 4,14 og et utvalgsstandardavvik på 0,71.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [3,711, 4,569].

Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 8 i artikkelen om estimering.

Oppgave 9:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 90 % konfidensintervall for dagsproduksjonen av støtfangere, basert på at gjennomsnittet målt over seks dager er X = 217 enheter og at utvalgsstandardavviket er beregnet til S = 6.

​Se løsningsforslag

Binomisk modell

For å lage et konfidensintervall for en sannsynlighet i en binomisk modell, velger vi «Z-estimat av en andel». Så angir vi ønsket konfidensnivå, antall suksesser og antall forsøk totalt.

GeoGebra beregner grensene i konfidensintervallet.

Eksempel 11:

Vi skal finne et 95 % konfidensintervall for sannsynligheten for kron hos en mynt som har gitt kron i 33 av 50 kast.

For å estimere et konfidensintervall til en sannsynlighet bruker vi menyvalget «Z-estimat av en andel» i sannsynlighetskalkulatoren.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [0,5287, 0,7913].

Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 9 i artikkelen om estimering.

Oppgave 10:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 95 % konfidensintervall for sannsynligheten for at en vilkårlig mobillader er defekt, når det blant 2000 stikkprøver ble funnet 35 defekte.

​Se løsningsforslag

Hypotesetester

Under fanen «Statistikk» i sannsynlighetskalkulatoren kan vi også utføre hypotesetester. GeoGebra beregner da blant annet en såkalt P-verdi. P-verdien er, gitt at nullhypotesen er sann, sannsynligheten for et resultat som er likt med eller mer ekstremt enn det observerte. Definisjonen er tung, men anvendelsen enkel: Hvis P-verdien er mindre enn testens signifikansnivå, kan nullhypotesen forkastes.

Binomisk modell

For å gjøre en hypotesetest i en binomisk modell, velger vi «Z-test av en andel». Så angir vi nullhypotesen, om vi ønsker en venstresidig, høyresidig eller tosidig test, antall suksesser og antall forsøk totalt.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 12:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om en mynt som gir 524 kron i 1000 kast har større sannsynlighet enn 0,5 for å få kron.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Vi angir altså «p = 0,5» som verdien i nullhypotesen fordi dette er sannsynligheten for at en normal mynt gir kron. Så velger vi «>» for den alternative hypotesen fordi dette er en høyresidig test.

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 1,5179. Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 2 i artikkelen om hypotesetesting.

Denne verdien kan vi så sammenlikne med z_α = z_0,05 ≈ 1,6449, og konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det trenger vi ikke, for GeoGebra gir også ut P-verdien 0,0645. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Oppgave 11:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om henholdsvis 20 av 100 og 200 av 1000 seksere ved terningkast tyder på at terningen gir for mange seksere.

​Se løsningsforslag

Målemodell, kjent standardavvik

For å gjøre en hypotesetest i en målemodell med kjent standardavvik, velger vi «Z-test av et gjennomsnitt». Så angir vi nullhypotesen, om vi ønsker en venstresidig, høyresidig eller tosidig test, gjennomsnitt, standardavvik og antall målinger..

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 13:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 1 % signifikansnivå på om en maskin som i snitt skal gi ut 10 ml. olje, normalfordelt med et standardavvik på 0,65, gir ut for mye olje, når gjennomsnittsmengden i 20 målinger i snitt er 10,5 ml.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Vi angir altså «μ = 10» som verdien i nullhypotesen fordi dette er den oljemengden maskinen forventes å gi ut. Så velger vi «>» for den alternative hypotesen fordi dette er en høyresidig test.

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 3,4401. Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 3 i artikkelen om hypotesetesting.

Denne verdien kan vi så sammenlikne med z_α = z_0,01 ≈ 2,3263, og konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det trenger vi ikke, for GeoGebra gir også ut P-verdien 0,0003. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,01, kan nullhypotesen forkastes.

Målemodell, ukjent standardavvik

For å gjøre en hypotesetest i en målemodell med ukjent standardavvik, velger vi «T-test av et gjennomsnitt». Så angir vi nullhypotesen, om vi ønsker en venstresidig, høyresidig eller tosidig test, gjennomsnitt, utvalgsstandardavvik og antall målinger..

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 14:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om en maskin som normalfordelt i snitt skal gi ut 425 gram bønner gir ut feil mengde, når gjennomsnittsmengden i 20 målinger i snitt er 427,5 gram. Utvalgsstandardavviket er 5 gram.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Vi angir altså «μ = 425» som verdien i nullhypotesen fordi dette er den mengden bønner maskinen forventes å gi ut. Så velger vi «≠» for den alternative hypotesen fordi dette er en tosidig test.

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag t ≈ 2,2361.

Denne verdien kan vi så sammenlikne med t_{0,025 (19)} ≈ 2,0930, og konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det trenger vi ikke, for GeoGebra gir også ut P-verdien 0,0375. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan nullhypotesen forkastes.

Oppgave 12:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om angitt gjennomsnittlig ventetid på 30 sekunder på en telefontjeneste er satt for lavt når 15 oppringninger gir en gjennomsnittlig ventetid på 37 sekunder, med et standardavvik på 14.

​Se løsningsforslag

Hypotesetester mellom to utvalg

Målemodell, standardavvik kjent

For å gjøre en hypotesetest mellom to utvalg i en målemodell, når standardavvik i begge utvalg er kjent, velger vi «Z-test. Forskjell mellom gjennomsnitt». Så angir vi nullhypotesen, det vil si forventet forskjell på to gjennomsnitt, om vi ønsker en venstresidig, høyresidig eller tosidig test, gjennomsnitt, standardavvik og antall målinger i hvert av de to utvalgene.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 15:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på mengden sukker to maskiner tilsetter en matvare. Maskin X opererer med et standardavvik på 0,11, og 70 stikkprøver viser at den i snitt tilsetter 10,103 gram sukker. Maskin Y opererer med et standardavvik på 0,13, og 85 stikkprøver viser at den i snitt tilsetter 10,069 gram sukker. 

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Vi angir altså «μ1 = μ2 = 0» som nullhypotese, altså at de to gjennomsnittene er like. Så velger vi «≠» for den alternative hypotesen fordi dette er en tosidig test.

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 1,7636. Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 5 i artikkelen om å sammenlikne datasett.

Denne verdien kan vi så sammenlikne med Z_0,025 ≈ 1,9600, og konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det trenger vi ikke, for GeoGebra gir også ut P-verdien 0,0778. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Oppgave 13:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre samme test som i eksempel 15, men basert på at 60 stikkprøver av maskin X gir et snitt på 10,107 gram sukker, og 75 stikkprøver av maskin Y gir et snitt på 10,061 gram sukker. Standardavvikene kan forutsettes å være de samme, 0,11 gram for maskin X og 0,13 gram for maskin Y.

​Se løsningsforslag

Målemodell, standardavvik ukjent

For å gjøre en hypotesetest mellom to utvalg i en målemodell, når standardavvik i ett eller begge utvalg er ukjent, velger vi «T-test. Differanse mellom gjennomsnitt». Så angir vi nullhypotesen, det vil si forventet forskjell på to gjennomsnitt, om vi ønsker en venstresidig, høyresidig eller tosidig test, gjennomsnitt, utvalgsstandardavvik og antall målinger i hvert av de to utvalgene.

GeoGebra beregner t-verdi og P-verdi.

Eksempel 16:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på frukthøsten fra to trær, av type X og Y når 13 trær av type X i gjennomsnitt gir 45,154 kg med et utvalgsstandardavvik på 7,998 og 12 trær av type X i gjennomsnitt gir 42,250 kg med et utvalgsstandardavvik på 8,740.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Vi angir altså «μ₁ = μ₂ = 0″ som nullhypotese, altså at de to gjennomsnittene er like. Så velger vi «≠» for den alternative hypotesen fordi dette er en tosidig test.

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag t ≈ 0,8644. Dette regnet vi ut for hånd i oppgave 3 i artikkelen om å sammenlikne datasett.

Denne verdien kan vi så sammenlikne med t_{0,025 (23)} ≈ 2,0687, og konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det trenger vi ikke, for GeoGebra gir også ut P-verdien 0,3965. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Binomisk modell

For å gjøre en hypotesetest mellom to utvalg i en binomisk modell, velger vi «Z-test. Forskjell mellom andeler». Så angir vi nullhypotesen, det vil si forventet forskjell på to sannsynligheter, om vi ønsker en venstresidig, høyresidig eller tosidig test, antall suksesser og antall forsøk totalt i hvert av de to utvalgene.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 17:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell mellom antallet defekte PC-skjermer ved to forskjellige anlegg, når det på det ene anlegget ble målt at 17 av 200 var defekte, og på det andre at 31 av 200 var defekte.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, velger «Statistikk» og fyller ut som vist under.

Vi angir altså «p₁ – p₂ = 0″ som nullhypotese, altså at de to sannsynlighetene er like. Så velger vi «≠» for den alternative hypotesen fordi dette er en tosidig test.

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ -2,1541. Dette regnet vi ut for hånd i eksempel 8 i artikkelen om å sammenlikne datasett.

Denne verdien kan vi så sammenlikne med Z_0,025 ≈ 1,9600, og konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det trenger vi ikke, for GeoGebra gir også ut P-verdien 0,0312. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan nullhypotesen forkastes.

Oppgave 14:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på antall defekte sømmer på bukser produsert ved to produksjonslinjer når det ved første produksjonslinje er 147 av 2500 defekter og ved andre 151 av 2000.

​Se løsningsforslag

Kilder

• Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
• Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk