Trigonometri med GeoGebra

De trigonometriske funksjonene

GeoGebra har alle de seks trigonometriske funksjonene innebygd:

Sinus: sin

Cosinus: cos

Tangens: tan

Cosekant: csc eller cosec

Sekant: sec

Cotangens: cot

For sinus, cosinus og tangens finnes inverse funksjoner:

Sinus: asin eller arcsin

Cosinus: acos eller arccos

Tangens: tan eller arctan

For å plotte grafen til sinus, for eksempel, skriver vi: sin(x) i inntastingsfeltet.

Grader og radianer

GeoGebra forventer at argumentet til de trigonometriske funksjonene oppgis i radianer. Vi ser for eksempel i bildet under at grafene til sinus og cosinus skjærer x-aksen i multipler av $\frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$.

 

Kurvene til sinus og cosinus, skala langs x-aksen i radianer

GeoGebra tilbyr imidlertid en enkel måte å konvertere fra grader til radianer på, vi skriver bare et gradetegn, °, bak gradtallet. For eksempel er sin 90° = 1. sin(x°) vil tegne grafen til sinus basert på grader. Gradetegnet får vi fram ved å trykke <alt>o, eller velge fra menyen som blir tilgjengelig når vi setter markøren i inntastingsfeltet:

Velge gradetegn fra meny i geogebra.

Vi ser at denne menyen også inneholder en del andre spesialtegn, blant annet π. π kan vi også få fram ved å trykke <alt>p.

For å få $\pi$ eller $\frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$ som akseenhet, slik det er vist over, velger vi “Avstand” i Innstillinger-dialogboksen:

Velge pi / 2 som enhet på x-aksen

Illustrere definisjonen av sinus og cosinus

Med GeoGebra kan vi illustrere definisjonen av sinus og cosinus grafisk. Med basis i en enhetssirkel, er sinus og cosinus til en vinkel definert som vist i figuren under:

Definisjon av sinus og cosinus

Eksempel 1:

Vi skal illustrere definisjonen av sinus i GeoGebra:

      1. Zoom og panorer slik at en sirkel med radius 1 vises godt og tydelig.
         
      2. Lag en enhetssirkel:
        ​Velg “Sirkel definert ved sentrum og radius” fra denne menyen:
        Meny for å sette inn sirkel
        Klikk i origo og oppgi 1 som radius i dialogboksen som kommer opp.
        GeoGebra tegner enhetssirkelen i grafikkfeltet og oppgir formelen i algebrafeltet under navnet c: x2 + y2 = 1.
        GeoGebra lager også et punkt, A, i origo.
         
      3. Lag en sirkelbue på enhetssirkelen:
        Velg “Sirkelbue definert ved sentrum, radius og punkt” fra denne menyen:
        Illustrasjon av menypunkt
        Klikk i origo, deretter i punktet (1, 0), deretter et stykke opp på sirkelen, for eksempel tilsvarende C i figuren over.
        GeoGebra lager et punkt, B, i (1, 0) og C der vi klikket på sirkelen. Punktet C kan skyves rundt på sirkelen. Punktene vises i grafikkfeltet og koordinatene kommer opp i algebrafeltet. I algebrafeltet kommer også lengden av sirkelbuen BC opp under navnet d.
         
      4. Lag et linjestykke mellom A og C:
        Skriv: Linjestykke[A, C] i inntastingsfeltet.
        GeoGebra tegner en linje mellom A og C i grafikkfeltet. I algebrafeltet kommer lengden på linjestykket opp under navnet a.
        Men denne lengden vet vi jo allerede alltid er 1.
         
      5. Lag et linjestykke mellom C og x-aksen. Dette linjestykket representerer sinus:
        Skriv: Linjestykke[C, (x(C), 0)] i inntastingsfeltet. Her er (x(C), 0) punktet som har samme x-koordinat som C, og y-koordinat 0. Dette punktet vil med andre ord alltid ligge på x-aksen rett under C.
        GeoGebra tegner en loddrett linje mellom C og x-aksen i grafikkfeltet. I algebrafeltet kommer lengden på linjestykket opp under navnet b.

​Når vi nå drar punktet C langs enhetssirkelen, illustreres sinus som et linjestykke i grafikkfeltet og et tall i algebrafeltet.

Oppgave 1:

Modifiser oppskriften i eksempel 1 til å illustrere definisjonen av cosinus.

Se løsningsforslag

GeoGebra-filSe GeoGebra-fil med eksempel 1 og oppgave 1
 

Eksempel 2:

Vi skal bygge ut det vi laget i eksempel 1 slik at en sinuskurve tegnes opp ved å plotte sinus som en funksjon av vinkelen BAC.

      1. Hent fram fila fra eksempel 1.
         
      2. Finn sinus til vinkelen:
        Skriv: y(C) i inntastingsfeltet. Dette er y-koordinaten til punktet C, altså avstanden fra C til x-aksen, med andre ord sinus til BAC.
         
      3. GeoGebra viser tallverdien i algebrafeltet under navnet f.
        I eksempel 1 markerte vi denne avstanden med ei linje. GeoGebra viser lengden på denne linja som b i algebrafeltet. Men vi kan ikke bruke den som sinus fordi den aldri blir negativ.
         
      4. Lag et punkt som har x-koordinat lik vinkelen (i radianer) og y-koordinat lik sinus til vinkelen:
        Skriv: (d, f) i inntastingsfeltet. d har vi fra eksempel 1 som lengden av sirkelbuen fra x-aksen opp til punktet C, altså størrelsen på vinkelen BAC målt i radianer. f er sinus vi laget i punkt 2.
         
      5. GeoGebra oppretter et punkt som kalles D.
        Når vi drar i C, ser vi at D beveger seg langs en sinuskurve.
         
      6. Hvis nødvendig, zoom ut og panorer slik at ikke D forsvinner ut til høyre.
         
      7. Sett sporing på punktet D:
        Høyreklikk i D og velg “Slå på sporing”.

GeoGebra tegner opp en graf som følger punktet D.

Oppgave 2:

Modifiser oppskriften i eksempel 2 til å tegne grafen til cosinus.

Se løsningsforslag

GeoGebra-filSe GeoGebra-fil med eksempel 2 og oppgave 2
 

ScreencastSe film som viser eksempel 1 og 2
 

Polarkoordinater

I GeoGebra kan vi ikke velge bort det kartesiske koordinatsystemet til fordel for et system med polarkoordinater. Men vi kan få rutenettet til å vise polarkoordinater. Det gjør vi ved å velge “Rutenett” fra Innstillinger-dialogboksen og sette “Type rutenett” til “Polar”. Husk også å huke av for “Vis rutenett”.

Illustrasjon av hvordan en velger polart rutenett.

Skal vi angi et punkt i polarkoordinater i GeoGebra, angir vi r og θ mellom parenteser, atskilt med semikolon. Forskjellen på å angi polarkoordinater og kartesiske koordinater er altså at vi bruker semikolon som skilletegn i stedet for komma. θ måles i radianer hvis vi ikke angir grader ved å skrive et gradetegn, °, slik som beskrevet i et tidligere avsnitt.

Eksempel 3:

Vi skal plotte punktet r = 2, θ = 45° i GeoGebra. Da skriver vi: (2; 45°) i inntastingsfeltet.

Oppgave 3:

Plott punktet r = 1, θ = 60° i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Selv om vi oppgir θ i radianer, viser GeoGebra verdien i grader i algebrafeltet.

I algebrafeltet kan vi bytte mellom kartesiske koordinater og polarkoordinater ved å høyreklikke på koordinatene og velge “Kartesiske koordinater” eller “Polare koordinater”.

ScreencastSe film som illustrerer bruk av polarkoordinater i GeoGebra
 

Kilder

  • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
  • Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget