Et matematisk bevis består av en påstand og en kjede argumenter som ender opp med å slå fast om påstanden er riktig eller uriktig.
Vi tar bare for oss påstander som enten er riktige eller uriktige, såkalte utsagn. Eksempler på slike påstander er «vinkelsummen i en trekant er 180 grader» og «april har 31 dager», som er henholdsvis et sant og et usant utsagn. Påstander som «jordbær er godt» eller «Gerhardsen gjorde en god jobb som statsminister» er subjektive, og vi kan ikke bevise om de er riktige eller uriktige.
Når vi skal formulere en påstand vi skal bevise, må vi passe på å uttrykke oss slik at påstanden ikke kan tolkes på forskjellige måter. Vanlig språk er ofte dårlig egnet til å formulere matematiske påstander fordi dagligtalen er full av unøyaktigheter. Ta for eksempel påstanden «Mellom 20 og 25 finnes tre heltall med to primtallsfaktorer». Betyr «tre heltall» nøyaktig tre heltall eller minst tre heltall? Betyr «to primtallsfaktorer» nøyaktig to primtallsfaktorer, eller minst to primtallsfaktorer? Betyr «mellom 20 og 25» at 20 og 25 regnes med eller ikke?
For å unngå slike uklarheter, er det utviklet en egen matematisk terminolog som er fri for tvetydigheter. For eksempel kan vi uttrykke at «et tall, n, er mellom 20 og 25″ som n ∈ [20, 25], som betyr at 20 og 25 skal telle med, eller n ∈ (20, 25), som betyr at 20 og 25 ikke skal telle med. En påstand som utelukkende er uttrykt gjennom matematiske symboler, kan imidlertid være tung å lese, så på dette nettstedet bruker vi vanlig språk når det ikke kan føre til feiltolkninger. For eksempel uttrykker vi påstanden over som «Det finnes nøyaktig tre heltall, n ∈ [20, 25], som består av nøyaktig to primtallsfaktorer.»
En beviskjede kan være kort eller lang.
Eksempel 1:
Påstand: 4 er et primtall.
Bevis for at påstanden er uriktig: 4 kan faktoriseres som 2 · 2, og er derfor ikke et primtall.
Påstand: Det finnes ingen heltallige, x, y, z, slik at xn + yn = zn når n > 2.
Beviset for denne påstanden er 150 sider langt og tok 7 år å utarbeide. Påstanden sto ubevist i over 350 år.
I eksempel 1 er det er underforstått at vi vet hva et primtall er, og at vi vet at et tall som kan faktoriseres ikke er et primtall. Det vil som regel være slik at vi i et bevis må anta at en del begreper er kjent på forhånd.
Ikke alle påstander kan bevises, og det kan bevises at enkelte påstander ikke kan bevises.
Bevis henger sammen nøye med argumentasjon, en kan si at et bevis er en strukturert form for argumentasjon.
Utgangspunktet for et bevis er ofte ikke at en starter med å ville bevise noe. Det kan være at en oppdager mønstre som en er interessert i å utforske nærmere, og så ender opp med en hypotese som krever et bevis.