Et polynom er et uttrykk med en sum av ledd, der hvert ledd består av en konstant multiplisert med en variabel opphøyd i et ikke−negativt heltall. Konstantene kaller vi koeffisienter. Den høyeste eksponenten angir graden til polynomet. Vi sorterer leddene fra venstre mot høyre etter synkende eksponenter.
Variabelen kalles ofte x, men det kan finnes tilfeller der vi velger andre variabelnavn.
Eksempel 1:
7x2 − 9x + 4 er et polynom som består av en sum av tre ledd. Selv om vi egentlig subtraherer leddet 9x, kan vi tenke på uttrykket som en sum av ledd der en av koeffisientene er negativ: 7x2 + (−9x) + 4.
Polynomet er av andre grad fordi den høyeste eksponenten er 2. Koeffisienten til andregradsleddet er 7, koeffisienten til førstegradsleddet er −9, og vi har et konstantledd som er 4.
I artikkelen om potensregning så vi at å opphøye i 1 ikke har noen effekt, og at alle tall opphøyd i 0 blir 1. Tar vi med eksponentene 1 og 0 i polynomet i eksempel 1, blir det 7x2 − 9x1 + 4x0. Vi ser at alle leddene består av en koeffisient multiplisert med en potens av en variabel, der eksponenten er et ikke−negativt heltall, i henhold til definisjonen av et polynom. Men det er ikke vanlig å skrive eksponenten som er 1, den er underforstått. Det er heller ikke vanlig å ta med x0, vi skriver bare den tilhørende koeffisienten, og kaller leddet et konstantledd.
Det er bare eksponentene som må være ikke-negative heltall, koeffisientene kan være alle typer tall. På dette nettstedet arbeider vi imidlertid bare med polynomer der koeffisientene er hele tall.
Et førstegradspolynom skriver vi generelt på formen ax + b, der a og b er vilkårlige tall, og x er en variabel, for eksempel 2x + 3 eller −5x + 4.
Et andregradspolynom skriver vi generelt på formen ax2 + bx + c, der a, b og c er vilkårlige tall, og x er en variabel, for eksempel 7x2 − 9x + 4 som i eksempel 1.
Vi kan lage polynomer av høyere grad ved å legge til et tredjegradsledd, x3, et fjerdegradsledd, x4, og så videre. Hvert ledd multipliserer vi med en koeffisient. I førstegradspolynomet brukte vi a og b som navn på koeffisientene, i andregradspolynomet brukte vi a, b og c. I et tredjegradspolynom kan vi legge til en koeffisient, d, og få uttrykket ax3 + bx2 + cx + d. Slik kan vi fortsette, men tar vi med mange nok ledd, vil vi slippe opp for bokstaver. Vi kaller derfor i stedet koeffisientene i et polynom av grad n for a0, a1 og så videre opp til an. Det generelle uttrykket for et polynom av grad n blir da
anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0
Eksempel 2:
x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1 er et fjerdegradspolynom. Koeffisientene er henholdsvis 1, 6, 7, −5 og −1.
Bortsett fra den første koeffisienten, an, kan hvilken som helst av koeffisientene i et polynom være 0.
Eksempel 3:
−2x5 + 3x er et femtegradspolynom. Koeffisientene er henholdsvis −2, 0, 0, 0, 3 og 0.
Kilder
-
- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag