Et matematisk resonnement kan gå over mange trinn. For å lenke sammen flere trinn, bruker vi ofte implikasjoner, det vi si påstander av typen «A impliserer (medfører) B». Det vil si at vi hevder at hvis påstand A er riktig, er påstand B riktig.
Eksempel 1:
Alle klærne til Johnny er svarte.
Det betyr at hvis påstand A, «klærne tilhører Johnny», er riktig, impliserer det at påstand B, «klærne er svarte», er riktig.
Implikasjon indikerer vi gjerne med en implikasjonspil. A ⇒ B betyr at påstand A impliserer (medfører) påstand B.
Et mer matematisk eksempel:
Eksempel 2:
x = 2 ⇒ x2 = 4
Å snu en implikasjon er ikke generelt riktig. At A impliserer B, betyr ikke nødvendigvis at B impliserer A.
Eksempel 3:
«Alle klærne til Johnny er svarte.»
Selv om påstand B, «klærne er svarte», er riktig, behøver ikke påstand A, «klærne tilhører Johnny», være riktig. Klærne kan tilhøre hvem som helst, selv om de er svarte.
Eksempel 4:
Vi snur implikasjonspila i eksempel 2, og får
x = 2 ⇐ x2 = 4
Dette er ikke riktig. Selv om x2 = 4, trenger ikke x være 2. x kan også være −2.
I noen tilfeller kan imidlertid en implikasjon gå begge veier, slik at vi både har A ⇒ B og B ⇒ A. Dette kaller vi en ekvivalens, og indikerer det med en dobbeltpil: A ⇔ B.
Eksempel 5:
2x = 4 ⇔ x = 2
Generelt er det imidlertid slik at hvis A impliserer B, og B er uriktig, vil A være uriktig. I matematisk notasjon uttrykker vi det slik: Hvis A ⇒ B, vil B ⇒ A.
Eksempel 6:
«Alle klærne til Johnny er svarte.»
Det betyr at hvis påstand B, «klærne er svarte», er uriktig, medfører det at påstand A, «klærne tilhører Johnny», er uriktig. Er klærne for eksempel rosa, kan vi konkludere med at de ikke tilhører Johnny.
Et vers fra en barnesang illustrerer dette prinsippet glimrende:
«Min hatt, den har tre kanter. Tre kanter har min hatt. Og har den ei tre kanter, så er det ei min hatt».
Til slutt et par matematiske eksempler.
Eksempel 7:
Hvis x = 2 ⇒ x2 = 4, vil x2 ≠ 4 ⇒ x ≠ 2
Eksempel 8:
I eksempel 2 i artikkelen om ugyldige bevis viser vi at påstanden «alle tall på formen 2p − 1 er primtall hvis p er et primtall» er feil.
Uten at vi går inn på beviset, er det imidlertid slik at påstanden «alle tall på formen 2n − 1 er sammensatte tall hvis n er et sammensatt tall» er riktig.
Hvis påstand A, «n er et sammensatt tall», er riktig, medfører det altså at påstand B, «2n − 1 er et sammensatt tall», er riktig.
Når A ⇒ B, vil B ⇒ A. Det vil si at hvis påstanden «2n − 1 er et sammensatt tall» er uriktig, er påstanden «n er et sammensatt tall» uriktig.
At et tall ikke er sammensatt, betyr at det er et primtall. Vi har altså at følgende påstand er riktig: «Hvis 2n − 1 er et primtall, er n et primtall».
En påstand som er bevist, kalles gjerne et teorem, og en påstand som umiddelbart følger av et teorem, kalles en korollar. Vi har altså:
Teorem: Hvis n er et sammensatt tall, er 2n − 1 et sammensatt tall.
Korollar: Hvis 2n − 1 er et primtall, er n et primtall.
Under følger et «bevis» for at 1 = −1. Hva er feilen i dette «beviset»?
$2 − 1 = 2 − 1$
⇓
$2 − 1 = −1 \cdot (1 − 2)$
⇓
$(2 − 1)^2 = (−1)^2 \cdot (1 − 2)^2$
⇓
$(2 − 1)^2 = 1 \cdot (1 − 2)^2$
⇓
$(2 − 1)^2 = (1 − 2)^2$
⇓
$\sqrt{(2 − 1)^2 }= \sqrt{(1 − 2)^2}$
⇓
$2 − 1 = 1 − 2$
⇓
$1 = −1$
Kilder
-
- Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.